가가 정리 문서 원본 보기

[[대수기하학]]에서 '''가가 정리'''(GAGA定理, {{llang|en|GAGA theorems}})는 [[복소수]]에 대한 사영 [[스킴 (수학)|스킴]]이 해석적 다양체와 유사한 성질을 갖는다는 것을 보이는 일련의 정리들이다.

== 주요 진술 ==
''<math>X</math>''를 사영 복소 [[대수다양체|대수 다형체]]라고 하자. ''<math>X</math>''는 복소수이기 때문에 복소수 점 ''<math>X(\C)</math>''의 집합에 조밀 복소 해석 공간의 구조가 주어질 수 있다. 이 해석 공간은 <math> X^\mathrm{an} </math>로 표시된다. 마찬가지로, 만약 <math>\mathcal{F}</math>가 ''<math>X</math>''위의 층이면 대응하는 <math> X^\mathrm{an} </math>위의 층 <math>\mathcal{F}^\text{an}</math>가 존재한다. 해석적 대상과 대수적 대상의 이러한 연결은 함자이다. ''<math>X</math>''와 <math> X^\mathrm{an} </math>에 관한 원형 정리는 ''<math>X</math>''위의 두 개의 [[연접층]] <math>\mathcal{F}</math>와 <math>\mathcal{G}</math>에 대해 자연 준동형

: <math>\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G})\rightarrow\text{Hom}_{\mathcal{O}^{\text{an}}_X}(\mathcal{F}^{\text{an}},\mathcal{G}^{\text{an}})</math>

이 동형사상이라고 한다. 여기서 <math>\mathcal{O}_X</math>는 대수적 다형체 ''<math>X</math>''의 [[환 달린 공간|구조 층]]이고 <math>\mathcal{O}_X^{\text{an}}</math>는 해석적 다형체 <math> X^\mathrm{an} </math>의 구조 층이다. 즉, 대수 다형체 ''<math>X</math>''에 대한 연접층의 범주는 해석적 다형체 <math> X^\mathrm{an} </math>에 대한 해석적 연접층의 범주와 동등하며, 그 동등성은 사상 <math>\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F}^\text{an}</math>에 의해 대상에 부여된다. (특히 <math>\mathcal{O}^{\text{an}}_X</math> 그 자체는 연접층이며, 이는 Oka 일관성 정리로 알려진 결과이며,<ref>{{하버드 인용|Hall|2023}}</ref> 또한 "Faisceaux Algebriques Coherents"( {{하버드 인용 본문|Serre|1955}} )에서 대수적 다형체 <math>\mathcal{O}_X</math>의 구조 층이 연접층이라고 증명되었다.<ref>{{하버드 인용|Remmert|1994}}</ref> )

또 다른 중요한 진술은 다음과 같다. 대수적 다형체 ''<math>X</math>''에서 임의의 연접층 <math>\mathcal{F}</math>에 대해 준동형

: <math>\varepsilon_q\ :\ H^q(X,\mathcal{F}) \rightarrow H^q(X^{an},\mathcal{F}^{an})</math>

들은 모든 ''q''' 에 대해 동형사상이다. 이는 ''<math>X</math>'' 상의 ''q'' 번째 코호몰로지 군이 <math> X^\mathrm{an} </math> 상의 코호몰로지 군과 동형임을 의미한다.

정리는 위에서 언급한 것보다 훨씬 더 일반적으로 적용된다(아래 [[가가 정리|공식 설명]] 참조). 그것과 그 증명은 [[가가 정리|저우 정리]], [[가가 정리|립시츠 원리]] 및 고다이라 소멸 정리와 같은 많은 결과를 가져온다.

== 배경 ==
대수적 다형체는 국소적으로 다항식의 공통 영점 집합으로 정의되며 복소수에 대한 다항식은 [[정칙 함수]]이기 때문에 '''<math> \C </math>'''에 대한 대수적 다형체는 해석 공간으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 다형체 사이의 정규 사상은 해석 공간 사이의 정칙 사상으로 해석된다. 다소 놀랍게도 대수적 방법으로 해석 대상을 해석하기 위해 반대 방향으로 가는 것이 종종 가능하다.

예를 들어, [[리만 구]]에서 자기 자신에 대한 해석 함수가 유리 함수이거나 동일한 무한 함수([[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]의 확장)임을 쉽게 증명할 수 있다. 그러한 함수 '''''<math> f </math>'''''가 상수가 아닌 경우 '''''<math> f(z) </math>'''''가 무한대인 ''z'' 집합이 분리되고 리만 구가 콤팩트하므로 '''''<math> f(z) </math>'''''가 무한대인 ''z''가 유한하게 많다. 이러한 모든 ''z''에서 [[로랑 급수|로랑 급수 전개]]를 고려하고 특이 부분을 뺀다. 우리는 리우빌의 정리에 의해 상수인 '''<math> \C </math>'''의 값을 갖는 리만 구에 함수를 남긴다. 따라서 '''''<math> f </math>'''''는 유리 함수이다. 이 사실은 대수 다형체로서 또는 [[리만 구]]로서 [[리만 구|복소 사영 직선]] 사이에 본질적인 차이가 없음을 보여준다.

== 중요한 결과 ==
19세기부터 시작된 대수 기하학과 해석 기하학 사이의 비교 결과에 대한 오랜 역사가 있다. 중요한 결과 중 일부는 연대순으로 여기에 나열되어 있다.

=== 리만의 존재 정리 ===
[[리만 곡면]] 이론은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 리만 곡면에 충분한 [[유리형 함수]]가 있어 (매끄러운 사영) [[대수 곡선]]을 만든다는 것을 보여준다. '''리만 존재 정리'''<ref>{{하버드 인용|Grauert|Remmert|1958}}</ref><ref>{{하버드 인용|Harbater|2003}}</ref><ref>{{하버드 인용|Grothendieck|Raynaud|2002}}</ref><ref>{{하버드 인용|Hartshorne|1977}}</ref>라는 이름으로 콤팩트 리만 곡면의 분기된 덮개에 대한 더 깊은 결과가 알려졌다. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 보았을 때 그러한 ''유한'' 덮개는 [[분기화|분기점]]의 여집합의 [[기본군|기본 군]]의 순열 표현으로 분류된다. 리만 곡면의 성질은 국소적이기 때문에 이러한 덮개는 복소 해석적 의미에서 덮개로 쉽게 볼 수 있다. 그런 다음 그것들이 대수 곡선의 덮개 사상에서 나온다는 결론을 내릴 수 있다 &#x2014; 즉, 그러한 덮개는 모두 [[유리 함수층|함수체]]의 유한 확장에서 나온다.

=== 레프셰츠 원리 ===
20세기에 [[솔로몬 렙셰츠|솔로몬 레프셰츠]]의 이름을 딴 '''레프셰츠 원리'''는 '''''<math> K </math>'''''를 복소수 체인 것처럼 취급하여 [[환의 표수|표수]] 0의 [[대수적으로 닫힌 체]] '''''<math> K </math>'''''에 대한 대수 기하학에 대한 위상 수학 기법 사용을 정당화하기 위해 대수 기하학에서 인용되었다. 그것의 기본 형식은 '''<math> \C </math>'''에 대한 체의 1차 이론의 참 진술이 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 '''''<math> K </math>'''''에 대해 참이라고 주장한다. 정확한 원리와 그 증명은 [[알프레트 타르스키|알프레드 타르스키]]가 했으며 [[수리 논리학|수리 논리]]를 기반으로 한다.<ref>For discussions see {{하버드 인용 본문|Seidenberg|1958}}, ''Comments on Lefschetz's Principle''; {{하버드 인용 본문|Frey|Rück|1986}}, ''The strong Lefschetz principle in algebraic geometry''.</ref><ref>{{하버드 인용|Kuhlmann|2001}}</ref>

이 원리는 '''<math> \C </math>'''에 대한 대수적 다형체에 대한 해석적 또는 위상 수학적 방법을 사용하여 얻은 일부 결과를 표수 0의 다른 대수적으로 닫힌 기저 체로 옮길 수 있도록 한다.<ref>{{하버드 인용|Kawamata|Matsuda|Matsuki|1987}}</ref> )

== 정리 ==
'''가가 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.

=== 해석 공간의 존재 ===
<math>X</math>가 <math>\operatorname{Spec}\mathbb C</math> 위의 [[유한형 스킴]]이라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 [[환 달린 공간]] <math>(X^{\operatorname{an}},\mathcal O_X^{\operatorname{an}})</math>이 존재한다.
* <math>X^{\operatorname{an}}</math>의 점들은 <math>X</math>의 [[자리스키 위상|자리스키 닫힌 점]]들이다.
* 포함 사상 <math>\lambda_X\colon X^{\operatorname{an}}\hookrightarrow X</math>은 [[연속 함수]]이며 [[환 달린 공간]]의 사상이다.
<math>X</math> 위의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal F</math>에 대하여, [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal F^{\operatorname{an}}</math>을 <math>X</math> 위에 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\lambda_X^{-1} \mathcal F \otimes_{\lambda_X^{-1} \mathcal O_X} \mathcal O_X^{\operatorname{an}}</math>
이는 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]]의 범주에서 <math>\mathcal O_X^{\operatorname{an}}</math>-층의 범주로 가는 [[완전 함자]]이다.

두 복소수 위의 스킴 <math>X,Y</math>에 대하여, 복소수 위의 국소 유한형 사상 <math>\phi\colon X\to Y</math>가 주어졌다면, 다음을 만족시키는 연속 함수 <math>\phi^{\operatorname{an}}\colon X^{\operatorname{an}}\to Y^{\operatorname{an}}</math>가 존재한다.
* <math>\lambda_Y\circ\phi^{\operatorname{an}}=\phi\circ\lambda_X</math>
* <math>\phi^{\operatorname{an}}</math>은 [[환 달린 공간]]의 사상이다.

=== 연접층의 성질 ===
가가 정리에 따르면, [[연접층]]의 경우 스킴 위의 연접층과 해석 공간 위의 연접층 사이에 다음과 같은 조건 아래 [[일대일 대응]]이 존재한다.
* <math>X^{\operatorname{an}}</math>이 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[콤팩트 공간]]이며, <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 두 [[연접층]] <math>\mathcal F</math>, <math>\mathcal G</math>가 주어졌고, <math>f\colon \mathcal F^\mathrm{an} \to \mathcal G^\mathrm{an} </math>가 <math>\mathcal O_X^{\operatorname{an}}</math>-층의 사상이라면, <math>f=\phi^{\operatorname{an}}</math>인 유일한 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>f\colon\mathcal F\to\mathcal G</math>가 존재한다.
* 반대로, <math>\mathcal R</math>가 <math>(X^{\operatorname{an}},\mathcal O_X^{\operatorname{an}})</math> 위의 [[연접층]]이라면, <math>\mathcal F^{\operatorname{an}}\cong\mathcal R</math>인 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>가 존재한다.

복소수 위의 스킴 사이의 [[유한형 사상]] <math>\phi\colon X\to Y</math> 및 [[연접층]] <math>\mathcal F</math>에 대하여, 자연스러운 사상 <math> (\phi_* \mathcal F)^{\operatorname{an}}\to\phi_*^{\operatorname{an}} \mathcal F^{\operatorname{an}}</math>은 [[단사 사상]]이며, 만약 <math>\phi</math>가 [[고유 사상]]이라면 이는 [[동형 사상]]이다.

=== 저우 정리 ===
([[특이점 (대수기하학)|비특이]] 해석적) [[복소다양체]] <math>X</math>에서 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^n</math> 속으로 가는 단사 [[쌍정칙 함수]] <math>\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb{CP}^n</math>가 주어졌다고 하자. '''저우 정리'''([周]定理, {{llang|en|Chow’s theorem}})에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용 |last1=Griffiths |first1=Philip |저자링크=필립 오거스터스 그리피스 |last2=Harris |first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | series=Wiley Classics Library | publisher= Wiley | 날짜=1994-08 | isbn=978-0-471-05059-9 | doi=10.1002/9781118032527|판=2|zbl=0836.14001|mr=1288523 |언어=en }}
</ref>{{rp|167}}<ref>{{서적 인용
 | 이름=Joe|성=Harris
 | 날짜 = 1995
 | title = Algebraic geometry: a first course
 | series=Graduate Texts in Mathematics|권=133|issn=0072-5285
 | publisher = Springer
 | isbn =978-0-387-97716-4
 | zbl = 0779.14001 | mr=1416564  | 언어=en
 | doi =10.1007/978-1-4757-2189-8
}}</ref>{{rp|8, Theorem 1.9}}
* <math>\iota(X)</math>는 복소수 사영 공간의 (비특이 해석적) 닫힌 부분 복소다양체를 이룬다. 즉, <math>\iota(X)</math>는 복소수 사영 공간의 표준적 (해석적) 위상에 대하여 [[닫힌집합]]이다.
* <math>\iota(X)</math>는 복소수 사영 공간의 닫힌 부분 [[대수다양체]]를 이룬다. 즉, <math>\iota(X)</math>는 복소수 사영 공간의 [[자리스키 위상]]에 대하여 [[닫힌집합]]이다.

== 예 ==
가가 정리는 연접층이 왜 중요한 개념인지를 설명한다. 예를 들어, [[상수층]] <math>\underline{\mathbb C}</math>를 생각하자. 이 경우, 모든 <math>p>0</math>에 대하여 <math>H^i(X;\underline{\mathbb C})=0</math>이지만, <math>X^{\operatorname{an}}</math>이 위상수학적으로 자명하지 않는 경우 <math>H^i(X^{\operatorname{an}};\underline{\mathbb C})</math>는 (복소 계수 [[특이 코호몰로지]]와 일치하므로) 자명하지 않다.

== 역사 ==
[[장피에르 세르]]가 1956년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Serre | first=Jean-Pierre | authorlink=장피에르 세르 | title=Géométrie algébrique et géométrie analytique | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 | mr=0082175 | 날짜=1956 | journal=Annales de l’Institut Fourier | issn=0373-0956 | volume=6 | pages=1–42 | doi=10.5802/aif.59 | 언어=fr}}</ref> 이름의 "가가"({{llang|fr|GAGA}})는 세르의 논문의 제목인 {{llang|fr|géométrie algébrique et géométrie analytique|제오메트리 알제브리크 에 제오메트리 아날리티크}}(대수기하학과 [[해석기하학]])의 약자이다. 이후 [[알렉산더 그로텐디크]]가 이를 [[스킴 (수학)|스킴]]의 언어로 재정리하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Analytic space}}
* {{nlab|id=GAGA}}
* {{nlab|id=analytification|title=Analytification}}
* {{nlab|id=Chow's theorem}}
* {{서적 인용|url=http://amslaurea.unibo.it/1569/|제목=La corrispondenza GAGA di Serre|기타=Laurea specialistica LS-DM509|출판사=[[볼로냐 대학교]]|성=Loviglio|이름=Annalisa|언어=it}}

== 같이 보기 ==
* [[카르탕 정리]]
* [[에탈 코호몰로지]]

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:대수기하학]]