가산 집합 문서 원본 보기

'''가산 집합'''(可算集合, countable set)은 [[자연수]]의 [[집합]]으로의 [[단사 함수]]가 존재하는 집합을 말한다. 가령 짝수의 집합은 무한집합이지만 각 짝수는 자연수에 순서대로 1:1 대응이 가능하므로 가산(셀 수있다)집합이다.

가산집합이 아닌 집합을 '''비가산 집합'''(非可算集合, uncountable set)이라 한다. [[자연수]], [[정수]], [[유리수]]의 집합은 가산집합이고, [[실수]]의 집합은 비가산집합이다. [[칸토어 집합]]은 비가산 무한집합이다.

어떤 집합이 가산 집합인 경우, 그 집합(의 원소의 개수)을 '''셀 수 있다''' 혹은 '''가산 개'''의 원소가 있다고 정의한다.

일반적으로 가산 집합에는 [[유한 집합]]이 포함되지만, [[유한 집합]]을 제외하고 셀 수 있는 [[무한 집합]]만을 가리키는 경우도 있다. 앞의 경우는 '''가산 이하'''(at most countable)라는 표현을, 뒤의 의미에 대해 '''가산 무한'''(countable infinite)이나 '''가부번 집합'''(可附番集合, denumerable set)이라고 표현한다. 엄밀히는 유한 집합(가산 이하)은 [[자연수]] [[집합]]으로 [[단사 함수]]가 존재하나 [[원소 (수학)|원소]]의 개수가 유한한 집합을 말하며, 가부번 집합은 [[자연수]] [[집합]]으로 [[전단사 함수]]가 존재하는 집합을 말한다.

== 예 ==
* [[자연수]], [[정수]], [[유리수]]의 집합은 가산 집합이다.
* [[실수]]의 집합, 자연수의 [[멱집합]], [[무리수]]의 집합은 비가산 집합이며 비가부번 집합이다. 이것은 [[대각선 논법]]이나 [[베르 범주 정리|범주정리]], [[실수의 연속성]] 등으로 증명할 수 있다.

== 성질 ==
가산 개의 가산 집합의 [[합집합]]은 가산 집합이다.

== 같이 보기 ==
* [[알레프 수]]
* [[셈]]
* [[힐베르트 호텔]]
== 각주 ==
{{각주}}
* [http://www.math.snu.ac.kr/~kye/lecture/02_1_set_theory/%BE%E7%C0%BA%C7%FD.htm 칸토어와 집합론-비가부번 집합]

{{집합론}}
{{위키데이터 속성 추적}}
{{토막글|수학}}

[[분류:집합론]]