고유 사상 문서 원본 보기

{{다른 뜻|고유 함수|[[대수기하학]]에서 [[스킴 (수학)|스킴]]의 사상의 종류|[[일반위상수학]]에서 함수의 종류}}
[[대수기하학]]에서 '''고유 사상'''(固有寫像, {{llang|en|proper morphism}})은 [[복소다양체]] 사이의 [[고유 함수]]를 일반화하는 스킴 사상의 종류이다.

== 정의 ==
[[스킴 사상]] <math>X\to S</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''보편 닫힌 사상'''(普遍닫힌寫像, {{llang|en|universally closed morphism}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|100}}
* 임의의 [[스킴 사상]] <math>S'\to S</math>에 대하여, 밑 전환 (즉, [[당김 (범주론)|당김]]의 사영 사상) <math>X\times_SS'\to S'</math>은 항상 ([[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 함수로서) [[닫힌 함수]]이다.

두 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>S</math> 사이의 사상 <math>f\colon X\to S</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''고유 사상'''이라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|100}}
* 보편 닫힌 사상이다.
* [[유한형 사상]]이다.
* [[분리 사상]]이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[대수다양체]] <math>X</math>에 대하여, 만약 한 점으로 가는 사상 <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>가 고유 사상이라면, <math>X</math>를 '''완비 대수다양체'''(完備代數多樣體, {{llang|en|complete variety}})라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105}} 이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[콤팩트 공간|콤팩트성]]에 대응하는 조건이다. 위상 공간 <math>X</math>의 경우, 한 점을 갖는 위상 공간으로의 사상 <math>X\to\{\bullet\}</math>이 [[고유 함수]]인 것은 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]인 것과 동치이기 때문이다.

=== 값매김 조건 ===
'''고유성의 값매김 조건'''({{llang|en|valuative criterion of properness}})에 따르면, 임의의 스킴 <math>X</math>와 [[국소 뇌터 스킴]] <math>Y</math> 사이의 [[준콤팩트 함수|준콤팩트]] [[분리 사상|분리]] [[유한형 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="EGA2">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1961
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 8
 |mr           = 0217084
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 |doi          = 10.1007/bf02699291
 |언어       = fr
 |access-date  = 2016-02-26
 |archive-date = 2017-01-12
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20170112024503/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 |url-status   = dead
}}</ref>{{rp|144, Théorème 7.3.8}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|101, Theorem II.4.7}}
* <math>f</math>는 고유 사상이다.
* 임의의 [[이산 값매김환]] <math>R</math>에 대하여, 자연스러운 포함 관계 <math>i\colon\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R\to\operatorname{Spec}R</math>에 대한 [[오른쪽 유일 올림 성질]]을 만족시킨다. 즉, 임의의 [[값매김환]] <math>R</math>, 임의의 사상 <math>x\colon\operatorname{Spec}R\to X</math> 및 임의의 사상 <math>\bar y\colon\operatorname{Spec}R\to X</math>에 대하여, 만약 <math>\bar y\circ i=f\circ x</math>라면, <math>x=\bar x\circ i</math>인 사상 <math>\bar x\colon\operatorname{Spec}R\to X</math>가 항상 유일하게 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R&\xrightarrow x&X\\
{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow{\scriptstyle\exists!\bar x}&\downarrow\scriptstyle f\\
\operatorname{Spec}R&\xrightarrow[\bar y]{}&Y
\end{matrix}</math>

이 조건에서, "유일하게 존재한다"를 "존재한다면 유일하다"로 바꾸면, [[분리 사상]]의 값매김 조건을 얻는다. 즉, 공역이 [[국소 뇌터 스킴]]인 [[유한형 사상]]에 대하여, 다음과 같은 값매김 조건이 존재한다.
{| class=wikitable
! 조건 || 올림이 항상 존재? || 올림이 존재한다면 유일?
|-
! 보편 닫힌 사상
|| 예 || 아니오
|-
! [[분리 사상]]
|| 아니오 || 예
|-
! 고유 사상
|| 예 || 예
|}
여기서 "올림"은 [[값매김환]]의 닫힌 점의 포함 사상 <math>\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R\to\operatorname{Spec}R</math>에 대한 것이다.

== 성질 ==
모든 [[유한 사상]]은 고유 사상이다. 특히, 모든 [[닫힌 몰입]]은 고유 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:스킴 사상 ⊇ [[국소 유한형 사상]] ⊇ [[유한형 사상]] ⊇ 고유 사상 ⊇ [[유한 사상]] ⊇ [[닫힌 몰입]]

=== 완비 대수다양체 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 [[사영 대수다양체]]는 항상 완비 대수다양체이다. 낮은 차원에서는 그 역이 부분적으로 성립한다.
* 1차원: 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 (기약) [[대수 곡선]]은 사영 대수다양체이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark II.4.10.2(a)}}
* 2차원: 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 (기약) [[비특이 대수다양체|비특이]] [[대수 곡면]]은 사영 대수다양체이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark II.4.10.2(b)}} 반면 특이점을 갖는, 사영 대수다양체가 아닌 복소수 완비 대수다양체가 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark II.4.10.2(c)}}<ref name="Nagata"/>{{rp|Theorem 1, Example 1}}
* 3차원 이상에서는 '''히로나카의 예'''({{llang|en|Hironaka’s example}})로 불리는, 사영 대수다양체가 아닌 복소수 비특이 완비 대수다양체가 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark II.4.10.2(d)}}<ref name="Nagata">{{저널 인용|성=Nagata|이름=Masayoshi|저자링크=나가타 마사요시|제목=Existence theorems for non-projective complete algebraic varieties|저널=Illinois Journal of Mathematics|url=
http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255454111|mr=0097406|zbl=0081.37503|권=2|호=4A|날짜=1958|쪽=490–498|issn=0019-2082|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 2}}<ref>{{서적 인용|이름=Heisuke|성=Hironaka|저자링크=히로나카 헤이스케|제목=On the theory of birational blowing-up|기타=박사 학위 논문|출판사=[[하버드 대학교]]|날짜=1960|oclc=76987668|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Hironaka|이름=Heisuke|저자링크=히로나카 헤이스케|날짜=1962|제목=An example of a non-Kählerian complex-analytic deformation of Kählerian complex structures|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1962-01_75_1/page/190|저널=Annals of Mathematics|권=75|쪽=190–208|jstor=1970426|mr=0139182|언어=en}}</ref>

[[복소수]] 위의 [[비특이 대수다양체]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 완비 대수다양체이다.
* <math>X</math>에 대응하는 [[복소다양체]] <math>X^{\operatorname{an}}</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.

=== 나가타 콤팩트화 정리 ===
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>에서 [[뇌터 스킴]] <math>S</math>로 가는 [[분리 사상|분리]] [[유한형 사상]] <math>f\colon X\to S</math>이 주어졌다고 하자. '''나가타 콤팩트화 정리'''({{llang|en|Nagata compactification theorem}})<ref>{{저널 인용 | last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link=나가타 마사요시 | title=Imbedding of an abstract variety in a complete variety | url=http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250524969 |mr=0142549 | year=1962 | journal=Journal of Mathematics of Kyoto University | issn=0023-608X | volume=2 | issue=1 | pages=1–10 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link=나가타 마사요시 | title=A generalization of the imbedding problem of an abstract variety in a complete variety | url=http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250524859 |mr=0158892 | year=1963 | journal=Journal of Mathematics of Kyoto University | issn=0023-608X | volume=3 | issue=1 | pages=89–102 | 언어=en}}</ref>
에 따르면, <math>f</math>는 다음과 같은 꼴로 분해될 수 있다.
:<math>f=\bar f\circ \iota</math>
여기서
* <math>\bar X</math>는 [[스킴 (수학)|스킴]]이며, <math>\bar f\colon\bar X\to S</math>는 고유 사상이다.
* <math>\iota\colon X\to\bar X</math>는 [[열린 몰입]]이다.
이에 따라, 뇌터 스킴 위의 모든 [[분리 사상|분리]] [[유한형 사상]]은 고유 사상에 가깝다. 특히, 대수다양체의 경우, 모든 대수다양체는 완비 대수다양체의 [[자리스키 위상|자리스키]] [[열린집합]]으로 나타내어진다.

보다 일반적으로, 이 정리는 <math>S</math> 위의 조건을 [[뇌터 스킴]]에서 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[준분리 스킴]]으로 약화시켜도 성립한다.<ref>{{웹 인용|url=http://math.stanford.edu/~conrad/papers/nagatafinal.pdf|제목=Deligne’s notes on Nagata compactifications|이름=Brian|성=Conrad|날짜=2007-08-10|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Proper morphism}}
* {{eom|title=Complete algebraic variety}}
* {{nlab|id=proper map|title=Proper map}}
* {{nlab|id=universally closed morphism|title=Universally closed morphism}}
* {{nlab|id=valuative criterion of properness|title=Valuative criterion of properness}}
* {{nlab|id=complete algebraic variety|title=Complete algebraic variety}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:스킴 이론]]