곱셈 문서 원본 보기

[[파일:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|섬네일|오른쪽|{{개행 금지|1=4 × 3= 12}}. 네 보따리 안에 세 개씩 들어있는 구슬은 총 열두 개이다. ]]
[[파일:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|섬네일|오른쪽|한 줄에 5개씩인 [[정사각형]]이 4줄 늘어서서 얻어진 큰 [[직사각형]]의 넓이는 20이다({{개행 금지|1=5 × 4 = 20}}). 4개씩 5줄로 늘어서도 넓이는 같다({{개행 금지|1=4 × 5 = 20}}). 이는 [[교환법칙]]의 반영이다.]]
[[파일:Multiplication as scaling integers.gif|섬네일|오른쪽|3이 2배 확대되면 6. 자연수뿐 아니라 정수, 유리수, 실수도 확대 배수일 수 있다.]]

'''곱셈'''({{llang|en|multiplication}}) 또는 '''승법'''(乘法)<ref>{{저널 인용|제목=승법|url=https://ko.wiktionary.org/w/index.php?title=%EC%8A%B9%EB%B2%95&oldid=3925837|날짜=2018-07-10|언어=ko}}</ref>은 주로 '×', '*'로 표기되는 연산으로, [[산술]]에서 [[덧셈]], [[뺄셈]], [[나눗셈]]과 함께 [[사칙연산]]을 이룬다. 두 [[자연수]]의 곱셈은 덧셈의 반복(같은 수를 반복해서 더한 것)을 나타낸다.<ref>{{harvnb|Tao|2008|p=23}}</ref> 예를 들어 4와 3의 '''곱'''('''4 × 3''', '''4 곱하기 3''')은 3를 4번 반복해 더한 것, 즉

:<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12</math>

와 같다(오른쪽 첫째 그림).

곱셈의 요인이 되는 수들을 '''[[인수]]'''(因數, factor), 그 결과의 값이 되는 수를 '''[[곱]]'''(product)이라고 한다.

곱셈은 [[정수]], 더 나아가 [[유리수]], [[실수]], [[복소수]]들에게도 유효하며, [[교환법칙]], [[결합법칙]], 덧셈에 대한 [[분배법칙]]을 만족한다. 어떤 수에 1을 곱하면 자기 자신 그대로이며, 0을 곱한 결과는 0이다. 곱셈의 역연산은 [[나눗셈]]이다. 예를 들어, 3에 4를 곱하면 12이므로, 12를 3으로 나누면 4다. 같은 수를 여러 번 곱한 연산을 [[거듭제곱]]이라고 한다. 곱셈은 더 일반적인 대상, 이를테면 [[행렬]], [[함수]] 등에게도 정의된다. 더 일반적인 [[대수 구조]]에서도 정의 가능하다. 예를 들어 [[군 (수학)|군]]의 연산은 많은 경우 곱셈으로 불린다.

곱셈에게는 직사각형의 넓이(오른쪽 둘째 그림), 확대와 축소(오른쪽 셋째 그림) 등의 의미도 부여된다.

== 일반적인 정의 ==
(0이 아닌) 자연수 ''a'' (피승수)와 ''b'' (승수)에 대하여, 다음과 같이 a를 총 b번 더한다고 하자.
:<math>\underbrace{a + \cdots + a}_b</math>
이 덧셈의 결과를 <math>b \times a</math> 로 표기하고 a와 b의 '''[[곱]]''' 또는 '''적'''(積, {{llang|en|product}})이라고 한다. 또한 여기서 반복해서 더해진 수 a를 '''피승수'''(被乘數, {{llang|en|multiplicand}})라 하고, 그 더한 횟수를 나타낸 수 b를 '''승수'''(乘數, {{llang|en|multiplier}})라 한다. 또한 이 두 수를 통틀어 '''인수'''(因數, {{llang|en|factor}})라 하며, 둘 중 어느 것이 피승수이며 승수인지는 문맥에 따라 다르나 [[교환법칙]]이 성립하는 한 순서에 상관없이 같은 값을 낸다.

=== 표기 ===
예컨대 a와 b의 곱은 a×b, a·b, ab 등으로 다양하게 표기되는데, 이는 흔히 a '''곱하기''' b라고 읽는다. 이 중 [[곱셈 기호]] '×'를 사용한 [[중위 표기법]]이 가장 일반적인 표기 중 하나이다.

때론 점연산 기호 '⋅'가 곱셈 기호를 대신한다. [[마침표]]를 [[소수점]]으로 하는 곳([[대한민국]], [[미국]], [[영국]] 등)에서 이는 일반적인 사용법이다. [[쉼표 (문장 부호)|쉼표]]를 소수점으로 하는 [[독일]], [[프랑스]] 등에서는 점연산 기호 '⋅' 또는 마침표 '.'가 곱셈을 표기하는 데 쓰인다. 5 곱하기 2로 예를 들면:
: <math>5 \cdot 2</math> 또는 <math>5\, . \,2</math>

[[대수학]]에서 인수가 문자로 표기될 때, 또는 인수가 괄호에 감싸진 경우, 곱셈 기호를 생략할 수 있다. 예:
:<math>7x</math> (7 곱하기 ''x''. 이때 7과 같은 수를 [[계수]]라고 한다)
:<math>ab</math> (''a''×''b'')
:<math>2(1 + 6)</math> (2×(1 + 6))

다만 곱셈 기호를 생략하면 혼동이 생기는 경우도 있다. 예컨대 [[십진법]]으로 표기한 52는 {{개행 금지|5 x 2}}로 오인될 수 있다.<ref>{{harvnb|Tao|2008|p=447}}</ref> 괄호가 감싼 인수와의 곱셈 ''a''(''b'' + ''c'')는 [[함수]]의 표기법과 혼동된다.
* 셋 이상의 수의 곱셈을 표기할 때, 괄호를 통해 연산 순서를 명시해줄 수 있다. 하지만 [[결합법칙]]이 성립하는 대부분의 경우, 괄호를 생략해도 무방하다. 예:
*: <math>1 \times 2 \times 3</math> (1, 2, 3의 곱)
*: <math>abcde</math> (''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e''의 곱)

[[벡터]] 간의 곱셈에서는 '<math>\times</math>' 기호는 [[벡터곱]]을, '<math>\cdot</math>' 기호는 [[스칼라곱]]을 뜻한다.

컴퓨터 연산에서는 보통 [[별표]] '*'를 곱셈에 사용한다. 이러한 관례는 [[포트란]] [[프로그래밍 언어]]에서 시작되었다.

== 성질 ==
n과 m이 자연수일 때, n을 m번 더한 것과 m을 n번 더한 것은 같은 수이다. 곧,
* [[교환법칙]]: n × m = m × n

이 성립한다.
【예: 2 × 1 = 2, 1 × 2 = 2】

또한 여러 번의 곱셈의 결과는 그 곱을 내는 중간 순서에 따라서 달라지지 않는다. 곧,
* [[결합법칙]]: (n × m) × l = n × (m × l)
이 성립한다.

또한 곱과 합 사이에는 다음의 법칙이 성립한다:
* [[분배법칙]]: n × (m + l) = n × m + n × l

* 두 자연수 ''m'', ''n''의 곱셈은 위에서처럼 반복되는 덧셈으로 정의된다.
*: <math>n \times m = \underbrace{m + m + m + \cdots + m}_n = \sum_{i = 1}^{n} m</math>
* [[부호 (수학)|부호]]가 있는 두 수의 곱셈은 부호가 없는 듯이 곱한 뒤 알맞은 부호를 추가해준다. '[[양수 (수학)|양수]] × 양수 = 양수', '양수 × [[음수]] = 음수', '음수 × 양수 = 음수', '음수 × 음수 = 양수' 가 성립한다.
* 두 정수의 곱셈, 예를 들어 {{수학|1=3 × (-5) = -15}}는 부호 있는 수 사이의 곱셈의 예이다. 유리수 또는 실수와는 달리, 모든 두 정수 사이에 어떤 정수 '배수'를 찾을 수는 없다. {{참고|나누어떨어짐}}
* 복소수의 곱셈은 실수 곱셈으로의 전환을 통해 계산된다. {{수학|1=(''a'' + ''bi'')(''c'' + ''di'') = (''ac'' - ''bd'') + (''ad'' + ''bc'')''i''}}. {{수학|1=(''r<sub>1</sub>e''<sup>''i''θ<sub>1</sub></sup>)(''r<sub>2</sub>e''<sup>''i''θ<sub>2</sub></sup>) = ''r<sub>1</sub>r<sub>2</sub>e''<sup>''i''(θ<sub>1</sub> + θ<sub>2</sub>)</sup>}}. 이는 어떤 면에서 '[[회전 (수학)|회전]]'의 의미를 포함한다.

== 형식적 정의 ==
=== 자연수의 곱셈 ===
[[페아노 공리계|페아노 산술]]에서는, 자연수의 곱셈을 다음과 같은 두 [[공리]]로 기술한다.

:<math>m \times 0 = 0</math>
:<math>m \times S(n) = m \times n + m</math>

(''S''(''n'')은 ''n''의 [[순서수|따름수]]이다.) 이 둘은 [[자연수의 집합론적 모형]]에서 자연수 곱셈의 정의로서 사용되는데, 이때 곱셈의 존재성과 유일성은 [[자연수에 대한 재귀정리]]에 의해 보장된다.

=== 정수, 유리수, 실수, 복소수의 곱셈 ===
:<math>\N,\Z,\Q,\R</math>는 각각 자연수,정수,유리수,실수 일때,

정수 내지 복소수 수 체계를 공리화했을 때, 곱셈은 일정한 조건을 만족하는 이항 연산으로서 기술된다. 이들을 형식적으로 구성할 수도 있다. (특히 [[집합론]]에서) 정수 체계는 ℕ × ℕ 위의 [[동치류]]로서 구성되며, 이때 곱셈은 다음과 같은 방법으로 [[w:Well-defined|잘 정의된]](well-defined) 것으로 된다.

:<math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc)</math>

:<math>(a, b, c, d </math>는 자연수<math> ) </math>

이와 비슷하게 유리수, 실수, 복소수 체계는 각각 ℤ × ℤ⧵{0}의 동치류, [[실수의 구성 #데데킨트 절단에 의한 구성|데데킨트 절단]] 집합, ℝ<sup>2</sup>로서 구성되며 곱셈의 구성은 각각 다음과 같다.

:<math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac, bd) ,\quad a,b,c,d \in \Z ,\ b,d \ne 0</math>

:<math>r_1 r_2 = \begin{cases}
\mathbb{Q}^- \cup \{xy : x \in r_1,\ y \in r_2,\ x,y \ge 0\} & r_1, r_2 \ge 0 \\
\varepsilon |r_1||r_2| & \text{otherwise} \end{cases} ,\quad r_1, r_2 \in \R</math>

:<math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc),\quad a,b,c,d \in \R</math>

== 계산법 ==
[[파일:Poser-une-multiplication.gif|섬네일|오른쪽|170px|{{개행 금지|43 × 25}}의 계산법]]

역사적으로는 곱셈을 빨리 행하기 위해 [[수판|주산]] 등의 도구가 사용되기도 했다. 또한 비교적 작은 자연수의 곱셈의 [[암산]]을 위해 [[구구단]], [[19단]] 등을 외우기도 한다.

큰 자연수(이를테면 두 자릿수와 두 자릿수의 곱셈)를 곱할 때에는 곱하려는 두 수를 세로로 나열해 구구법에 기초하여 계산할 수 있다(위 그림)

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[곱셈기호]]
* [[곱셈 알고리즘]]
* [[나눗셈]]
* [[역수]]
* [[소인수분해]]
* [[수열의 곱]]
* [[곱집합]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}

{{사칙연산}}
{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:곱셈| ]]
[[분류:이항연산]]