그로텐디크 위상 문서 원본 보기

[[대수기하학]]과 [[범주론]]에서, '''그로텐디크 위상'''(Grothendieck位相, {{llang|en|Grothendieck topology}})은 [[열린 덮개]]의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 개념을 '''위치'''(位置, {{llang|en|site}})로 일반화할 수 있다.

그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, [[에탈 코호몰로지]] · [[fppf 위상|fppf 코호몰로지]] · [[결정 코호몰로지]]({{llang|en|crystalline cohomology}})와 같은 각종 [[코호몰로지]] 이론을 정의하는 데 필요하다.

== 정의 ==
그로텐디크 위상은 주어진 대상 위의 "덮개"가 무엇인지의 데이터를 담고 있다. 그로텐디크 위상은 두 가지로 정의할 수 있다.
* 일반적인 범주에서 그로텐디크 위상은 [[체 (범주론)|체]]의 개념을 통해 정의되며, 그로텐디크 위상은 어떤 [[체 (범주론)|체]]들이 '''덮개체'''({{llang|en|covering sieve}})를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다.
* 만약 범주가 [[당김 (범주론)|당김]]을 가진다면, [[체 (범주론)|체]] 대신 단순히 사상들의 집합을 사용할 수 있다. 이 경우, 그로텐디크 (준)위상은 어떤 사상 집합들이 덮개를 이루는지에 대한 정보를 담고 있다. 이 정의는 더 직관적이지만, 일반적 범주에 적용할 수 없어 덜 일반적이다.
두 정의 모두, 그로텐디크 위상은 세 개의 공리들로 정의된다. 이들은 대략 다음과 같다.
* (덮개의 제한) <math>U</math>의 덮개를, <math>U</math>의 부분 <math>V</math>로 국한하여도 이는 <math>V</math>의 덮개를 이룬다.
* (덮개의 세분) <math>U</math>가 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>들로 덮히며, 덮개의 각 성분 <math>U_i</math>를 또 그 위의 덮개 <math>\{U_{i,j}\}_{j\in J_i}</math>로 세분한다면, 세분된 덮개 <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}\{U_{i,j}\}_{j\in J_i}</math> 역시 <math>U</math>의 덮개를 이룬다.
* (자명한 덮개) 모든 대상은 스스로의 덮개이다.
그러나 이 세 공리는 덮개의 개념을 어떻게 형식화하느냐에 따라 달리 표현된다.

그로텐디크 위상을 갖춘 범주를 '''위치'''라고 한다. [[작은 범주|작은]] 위치 위의 [[층 (수학)|층]]의 범주와 [[범주의 동치|동치]]인 [[범주 (수학)|범주]]를 '''[[그로텐디크 토포스]]'''라고 한다.

[[집합]] 위의 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 더 [[위상의 비교|섬세함·엉성함]]에 따라 비교할 수 있는 것처럼,
주어진 범주 위의  그로텐디크 위상들의 [[모임 (집합론)|모임]] 위에는 [[부분 순서]]가 존재한다. 즉, 같은 범주 위의 두 그로텐디크 위상에 대하여, 첫째가 둘째보다 더 '''섬세'''({{llang|en|finer}})하다고 할 수 있다. (이는 둘째가 첫째보다 더 '''엉성'''({{llang|en|coarser}})하다는 것과 같다.) 더 섬세한 위상에서는
* 더 많은 수의 덮개들이 존재한다.
* [[준층]]이 [[층 (수학)|층]]을 이루는 것이 더 어렵다. (이는 각 덮개에 대하여 [[층 (수학)|층]]의 짜깁기 공리가 성립하여야 하기 때문이다.)
반대로, 더 엉성한 위상에서는
* 더 적은 수의 덮개들이 존재한다.
* [[준층]]이 [[층 (수학)|층]]을 이루는 것이 더 쉽다.

=== 체를 통한 정의 ===
[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 '''그로텐디크 위상'''({{llang|en|Grothendieck topology}})은 다음과 같은 데이터로 정의된다.
* 각 대상 <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>U</math>에 대한 [[체 (범주론)|체]]들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak J(U)\subseteq\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)</math>. 이를 <math>U</math>의 '''덮개체'''({{llang|en|covering sieve}})의 모임이라고 한다.
이들은 다음과 같은 공리들을 따라야 한다. 임의의 <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여,
* (덮개의 제한) 덮개체의 제한은 덮개체이다. 즉, 모든 덮개체 <math>S\subseteq\hom(-,U)</math> 및 사상 <math>f\colon V\to U</math>에 대하여, <math>S</math>를 <math>V</math>로 제한하여 얻는 체 <math>f^*S\subseteq\hom(-,V)</math> 역시 덮개체이다. 여기서 제한체는 구체적으로 <math>\textstyle g \in f^*S \stackrel{\operatorname{def}}\iff f\circ g\in S</math>이다.
* (덮개의 세분) 덮개체의 각 성분의 덮개체를 짜기워 더 섬세한 덮개체를 얻을 수 있다. 즉, <math>U</math> 위의 체 <math>T\subseteq \hom(-,U)</math>가 덮개체가 될 [[충분 조건]]은 어떤 덮개체 <math>S\in\mathfrak J(U)</math> 및 모든 대상 <math>V\in\mathcal C</math> 및 모든 <math>f\in S(V)\subseteq\hom(V,U)</math>에 대하여, <math>f^*T\subseteq\hom(-,V)</math>가 덮개체가 되는 것이다.
*:<math>W_{i,j}\overset{\in f^*T}\to V\overset{f\in S}\to U</math>
* (자명한 덮개) 요네다 체 <math>\hom(-,U)</math>는 덮개체이다.

<math>\mathcal C</math> 위의 두 그로텐디크 위상 <math>\mathfrak J</math>, <math>\mathfrak J'</math>에 대하여, 만약 모든 <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여 <math>\mathfrak J(U)\subseteq\mathfrak J'(U)</math>라고 한다면, <math>\mathfrak J</math>가 <math>\mathfrak J'</math>보다 더 '''엉성'''하며, 반대로 <math>\mathfrak J'</math>이 <math>\mathfrak J</math>보다 더 '''섬세'''하다고 한다.

=== 사상 집합을 통한 정의 ===
[[체 (범주론)|체]]는 [[함자 (수학)|함자]] 조건에 의하여, 매우 많은 수의 사상들을 포함한다. 이를 대신하여, 주어진 [[체 (범주론)|체]]를 생성하는 더 적은 수의 사상만으로 그로텐디크 위상을 정의할 수 있다. 이러한 데이터를 그로텐디크 준위상이라고 한다. (그러나 서로 다른 두 그로텐디크 준위상이 같은 그로텐디크 위상을 생성할 수 있다.)

[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 '''그로텐디크 준위상'''(Grothendieck準位相, {{llang|en|Grothendieck pretopology}})은 다음과 같은 데이터로 정의된다.
* 각 대상  <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>U</math>로 향하는 사상들의 집합들의 모임 <math>\mathfrak D(U)</math>. <math>\mathfrak D(U)</math>의 원소를 <math>U</math>의 '''덮개'''라고 한다.
이 데이터 또한 일련의 공리들을 만족시켜야 한다.
* (덮개의 제한) 임의의 사상 <math>f\colon V\to U</math> 및 <math>U</math>의 덮개 <math>\{f_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, 이를 <math>V</math>에 제한하여 얻은 <math>\{f_i\times_U V\colon U_i\times_UV\to V\}</math>는 <math>V</math>의 덮개이다. 또한, 이 정의에서 등장하는 당김 <math>\{U_i\times_UV\}_{i\in I}</math>가 항상 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
U_i\times_UV&\overset{f_i\times_UV}\to&V\\
\downarrow&&\downarrow\\
U_i&\underset{f_i}\to&U
\end{matrix}</math>
* (덮개의 세분) 임의의 대상 <math>U\in\mathcal C</math> 및 덮개 <math>\{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I} \in\mathfrak D(U)</math> 및 덮개 <math>\{f_{i,j}\colon U_{i,j}\to U_i\}_{j\in J_i}\in\mathfrak D(U_i)</math>에 대하여, <math>\{f_i\circ f_{i,j}\}</math> 역시 <math>U</math>의 덮개이다.
*:<math>U_{i,j}\overset{f_{i,j}}\to U_i\overset{f_i}\to U</math>
* (자명한 덮개) 임의의 [[동형 사상]] <math>i\colon U\to V</math>에 대하여, <math>\{i\}</math>는 <math>V</math>의 덮개이다.

[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 그로텐디크 준위상 <math>\mathfrak D</math>가 주어졌다면, 이에 대응하는 그로텐디크 위상 <math>\mathfrak J_{\mathfrak D}</math>를 정의할 수 있다. <math>\mathfrak J_{\mathfrak D}</math>에서 <math>U\in\mathcal C</math>의 덮개체들은 적어도 하나의 덮개를 포함하는 [[체 (범주론)|체]]들이다.
:<math>S\in\mathfrak J_{\mathfrak D}(U)\iff\exists d\in\mathfrak D(U)\colon S(U)\supset d\ne\varnothing</math>

=== 로비어-티어니 위상 ===
'''로비어-티어니 위상'''({{llang|en|Lawvere–Tierney topology}})의 개념은 그로텐디크 위상의 개념의 일반화이다. 로비어-티어니 위상은 임의의 [[토포스]] 위에 정의된다. [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 [[준층]]의 범주 <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>는 [[토포스]]를 이루며, 그 위의 로비어-티어니 위상은 <math>\mathcal C</math> 위의 그로텐디크 위상과 동치이다.

[[토포스]] <math>\mathcal T</math> 위의 [[부분 대상 분류자]] <math>(\Omega,\top)\in\mathcal T</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal T</math> 위의 '''로비어-티어니 위상''' <math>j\colon\Omega\to\Omega</math>은 다음 조건들을 만족시키는 [[사상 (수학)|사상]]이다.
* 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
*:<math>
\begin{matrix}
1&\overset\top\to&\Omega\\
&{\scriptstyle\top}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\
&&\Omega
\end{matrix}
</math>
* 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
*:<math>
\begin{matrix}
\Omega&\overset j\to&\Omega\\
&{\scriptstyle j}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\
&&\Omega
\end{matrix}
</math>
* 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
*:<math>
\begin{matrix}
\Omega&\overset\land\to&\Omega\\
&{\scriptstyle j\times j}\searrow&\downarrow\scriptstyle j\\
\Omega\times\Omega&\underset\land\to&\Omega
\end{matrix}
</math>
부분 대상 분류자의 정의에 의하여, 로비어-티어니 위상 <math>j\colon\Omega\to\Omega</math>을 고르는 것은 <math>\Omega</math>의 [[부분 대상]] <math>J\hookrightarrow\Omega</math>을 고르는 것과 같다.

[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 [[준층]] 범주 <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>에서 [[부분 대상 분류자]] <math>\operatorname{Sieve}</math>는 대상 <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여 그 위의 모든 [[체 (범주론)|체]]들의 [[집합]] <math>\operatorname{Sieve}(U)</math>를 대응시킨다. 따라서 [[부분 대상 분류자]] <math>\operatorname{Sieve}</math>의 [[부분 대상]] <math>J</math>는 각 대상 <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여, 그 위의 [[체 (범주론)|체]]들의 집합 <math>J(U)\subseteq\operatorname{Sieve}(U)</math>을 대응시키는 [[준층]]이다. 이것이 준층을 이룬다는 것은 덮개체의 집합이 당김에 대하여 닫혀 있다는 조건이며, 이는 그로텐디크 위상의 세 공리 가운데 하나이다. 그로텐디크 위상의 나머지 두 공리는 로비어-티어니 위상의 공리들과 동치이다.

== 예 ==
=== 이산 위상과 비이산 위상 ===
범주 <math>\mathcal C</math> 위의 '''이산 위상'''({{llang|en|discrete topology}})은 모든 [[체 (범주론)|체]]가 덮개체를 이루는 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 (같은 [[공역]]을 갖는) 임의의 사상들의 모임이 덮개를 이루는 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 섬세한 위상이다.

범주 <math>\mathcal C</math> 위의 '''비이산 위상'''({{llang|en|indiscrete topology}})은 덮개체가 <math>\mathfrak J(U)=\{\hom(-,U)\}</math>인 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 덮개가 <math>\mathfrak D(U)=\{\operatorname{id}_U\}</math>인 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 엉성한 위상이다. 비이산 위상을 부여한 위치 위에서 모든 [[준층]]은 [[층 (수학)|층]]을 이룬다.

=== 표준 위상 ===
임의의 [[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 [[준층]]들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak F</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathfrak F</math>들이 모두 [[층 (수학)|층]]을 이루는, 가장 섬세한 그로텐디크 위상이 존재한다.<ref name="Johnstone">{{서적 인용|이름=Peter T.|성=Johnstone|제목=Topos theory|날짜=1977|출판사=Academic Press|총서=London Mathematical Society Monographs|권=10|zbl=0368.18001|mr=0470019|언어=en}}</ref>{{rp|14, Lemma 0.35}}

[[표현 가능 함자|표현 가능]] 준층은 임의의 대상 <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여 <math>\hom(-,U)</math>의 꼴의 준층이다. 모든 표현 가능 준층이 [[층 (수학)|층]]을 이루는 가장 섬세한 그로텐디크 위상을 '''표준 위상'''({{llang|en|canonical topology}})이라고 한다. 표준 위상보다 더 엉성한 위상을 '''준표준 위상'''({{llang|en|subcanonical topology}})이라고 한다. 즉, 준표준 위상은 모든 요네다 준층이 층을 이루는 위상이다.

[[그로텐디크 토포스]] <math>\mathcal T</math> 위에 표준 위상을 부여한다면, <math>\mathcal T</math> 위의 모든 [[층 (수학)|층]]은 [[표현 가능 함자|표현 가능]]하다. 즉, 이 경우 <math>\mathcal T</math>와 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal T)</math>는 서로 [[범주의 동치|동치]]이다.

=== 조각 범주 ===
[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 및 대상 <math>B\in\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자.

<math>\mathcal C</math> 속의 임의의 사상 <math>u\colon U\to B</math> 및 [[체 (범주론)|체]] <math>S\subseteq\hom(-,U)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[조각 범주]] <math>\mathcal C/B</math>의 대상 <math>u</math> 위에 [[체 (범주론)|체]] <math>S/B</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>S/B=\left\{
\begin{matrix}
V&\overset f\to&U\\
&{\scriptstyle v}\searrow&\downarrow\scriptstyle u\\
&&B
\end{matrix}
\colon f\in S
\right\}</math>

<math>\mathcal C</math> 위의 그로텐디크 위상 <math>\mathfrak J</math>가 주어졌을 때, 각 <math>u\in\mathcal C/B</math>에 대하여
:<math>(\mathfrak J/B)(u)=\{S/B\colon S\in\mathfrak J(U)\}</math>
로 정의하면, <math>\mathfrak J/B</math>는 <math>\mathcal C/B</math> 위의 그로텐디크 위상을 이룬다. 이를 [[조각 범주]] <math>\mathcal C/B</math> 위의 '''유도 위상'''({{llang|en|induced topology}})이라고 한다.

=== 위상 공간의 작은 위치 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Open}(X)</math>를 생각하자. 이 경우, 대상은 [[열린집합]]들이고, [[사상 (수학)|사상]]은 포함 관계 <math>\iota_{UV}\colon U\hookrightarrow V</math>들이다. 즉, 임의의 <math>U,V\in\operatorname{Open}(X)</math>에 대하여, <math>\hom(U,V)</math>는 공집합이거나 아니면 <math>\iota_{UV}\colon U\hookrightarrow V</math> 하나의 원소만을 포함한다.

==== 열린집합 범주에서의 체 ====
<math>\operatorname{Open}(X)</math>에서 [[열린집합]] <math>U\in\operatorname{Open}(X)</math> 위의 체는 다음 조건을 만족시키는 [[열린집합]]들의 집합 <math>\mathcal S\subset\operatorname{Open}(X)</math>으로 주어진다.
* (상계) 모든 <math>V\in\mathcal S</math>에 대하여, <math>V\subseteq U</math>
* (하향 닫힘) 모든 <math>V,W\in\operatorname{Open}(X)</math>에 대하여, 만약 <math>V\subseteq W</math>이며 <math>W\in\mathcal S</math>라면 <math>V\in\mathcal S</math>
구체적으로, 요네다 함자의 부분 함자 <math>S\colon\operatorname{Open}(X)^{\operatorname{op}}\to\operatorname\operatorname{Set}</math>가 주어진다면,
:<math>\mathcal S=\{V\in\operatorname{Open}(X)\colon S(V)\ne\varnothing\}</math>
이다. 즉, 열린집합의 범주에서 <math>U</math> 위의 체는 하향으로 닫힌 <math>U</math>의 부분 집합들의 모임과 같다.

<math>V\subset U</math>이며, <math>U</math> 위의 체 <math>\mathcal S</math>가 주어졌다고 하자. 포함 관계 <math>\iota\colon V\hookrightarrow U</math>에 따른 체의 당김 <math>\iota^*\mathcal S</math>는 다음과 같은 체이다.
:<math>\iota^*\mathcal S=\{W\in\mathcal S\colon W\subseteq V\}</math>

==== 열린집합 범주에서의 그로텐디크 준위상 ====
<math>\operatorname{Open}(X)</math>에서는 모든 [[당김 (범주론)|당김]]이 존재하며, 열린집합의 [[교집합]]과 같다. 즉, <math>V,W\subseteq U</math>일 때, <math>V\times_UW=V\cap W</math>이다. 따라서, 사상 집합을 통한 정의를 사용할 수 있다.
* (덮개의 국한) <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 열린집합 <math>U</math>의 덮개이고, <math>V\subseteq U</math>라면, <math>\{U_i\cap V\}_{i\in I}</math>는 <math>V</math>의 덮개이다.
* (덮개의 세분) 열린집합 <math>U</math>의 덮개 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> 및 각 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>U_i</math>의 덮개 <math>\{U_{i,j}\}_{j\in J_i}</math>가 주어졌을 때, <math>\{U_{i,j}\}_{i\in I,j\in J_i}</math>는 <math>U</math>의 덮개이다.
* (자명한 덮개) <math>\{U\}</math>는 <math>U</math>의 덮개이다.
즉, 이는 일반적인 [[열린 덮개]]의 성질을 공리화한 것이다.

==== 열린집합 범주에서의 그로텐디크 위상 ====
<math>\operatorname{Open}(X)</math>에서 그로텐디크 위상의 공리들을 번역하면 다음과 같다.
* (덮개체의 올곱) <math>V\subseteq U</math>이며, <math>U</math>의 덮개체 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌다면, <math>\{U_i\cap V\}_{i\in I}</math>는 <math>V</math>의 덮개체이다.
* (덮개체의 합성) <math>U</math>의 덮개체 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> 및 <math>U</math> 위의 임의의 체 <math>\{T_j\}_{j\in J}</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>\{T_j\cap U_i\}_{j\in J}</math>가 <math>U_i</math>의 덮개체를 이룬다고 하자. 그렇다면 <math>\{T_j\}_{j\in J}</math>는 <math>U</math>의 덮개체이다.
* (자명한 덮개체) <math>\{V\colon V\subseteq U\}</math>는 <math>U</math>의 덮개체이다.

<math>\operatorname{Open}(X)</math> 위에, 덮개체들을 [[열린 덮개]]의 하향 폐포들로 고른다면, 이는 위치를 이룬다. 이 위치를 <math>X</math>의 '''작은 위치'''({{llang|en|small site}})라고 한다. 이 위치는 그로텐디크 준위상으로도 정의할 수 있으며, 이 경우 덮개들은 열린 덮개와 같다.

=== 위상 공간의 큰 위치 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]들의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>를 생각하자. 이 위에 다음과 같은 그로텐디크 위상이 존재한다. 위상 공간 <math>X\in\operatorname{Top}</math>의 덮개 <math>\Phi=\{\phi\colon\operatorname{dom}\phi\to X\}_{\phi\in\Phi}</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[연속 함수]]들의 집합이다.
:<math>\bigcup_{\phi\in\Phi}\phi(\operatorname{dom}\phi)=X</math>
이는 준표준 위상을 이룬다.

위상 공간 <math>X\in\operatorname{Top}</math>가 주어졌을 때, <math>\operatorname{Top}/X</math>는 <math>X</math>로 가는 사상([[연속 함수]])들을 대상으로 하는 범주이다. 이 경우, <math>\operatorname{Top}/X</math>의 두 대상 ([[연속 함수]])
:<math>\phi_1\colon Y_1\to X</math>
:<math>\phi_2\colon Y_2\to X</math>
사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>\chi\colon Y_1\to Y_2</math>이다.
:<math>\phi_1=\phi_2\circ\chi</math>
이 경우, <math>\operatorname{Top}/X</math>는 <math>\operatorname{Top}</math>로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘 <math>\operatorname{Top}/X</math>를 <math>X</math>의 '''큰 위치'''({{llang|en|big site}})라고 한다.

=== 스킴의 범주의 그로텐디크 위상 ===
{{본문|스킴 (수학)#그로텐디크 위상}}
[[스킴 (수학)|스킴]]들의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math> 위에는 다음과 같은 특별한 그로텐디크 위상들이 존재한다.
* [[자리스키 위상]] <math>\operatorname{Zar}</math>. 이는 스킴 위의 고전적인 위상이나 매우 엉성하다.
* [[니스네비치 위상]]. 이는 예브세이 니스네비치({{llang|ru|Евсей А. Нисневич}})가 도입하였으며, [[대수적 K이론]]과 [[모티브 (수학)|모티브]] 이론에서 사용된다.
* [[에탈 위상]] <math>\operatorname{\acute Et}</math>. 이 경우, 덮개는 [[에탈 사상]]을 통한 덮개이다. [[에탈 코호몰로지]]를 정의할 때 쓰인다.
* [[평탄 위상]]({{llang|en|flat topology}})
** fppf 위상
** fpqc 위상
이들은 섬세함에 따라 다음과 같이 [[전순서]]를 이룬다. (즉, 왼쪽으로 갈 수록 더 엉성한 위상이며, 오른쪽으로 갈수록 더 섬세한 위상이다.)
:비이산 위상 → [[자리스키 위상]] → [[니스네비치 위상]] → [[에탈 위상]] → [[fppf 위상]] → [[fpqc 위상]] → 표준 위상 → 이산 위상
이들 모두 준표준 위상이다.
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>에 대하여, 그 위의 [[조각 범주]] <math>\operatorname{Sch}/X</math> 위에는 이 위상들의 유도 위상들을 부여할 수 있다.

각 표수 <math>p</math>에 대하여, [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 또는 <math>\mathbb Q</math> 위의 분리 거듭제곱 농화(-濃化, {{llang|en|divided power thickening}})들의 범주 위에, <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 위상 가운데 하나를 사용하여 위상을 줄 수 있다. 이러한 위치들을  '''무한소 위치'''({{llang|en|infinitesimal site, crystalline site}})라고 하며, [[결정 코호몰로지]]({{llang|en|crystalline cohomology}})를 정의하는 데 쓰인다.

== 역사 ==
1949년에  [[앙드레 베유]]는 [[유한체]] 위의 [[대수다양체]]에 대한 [[베유 추측]]을 제시하였고, 이들을 증명하려면 [[베유 코호몰로지]]라는 새로운 [[코호몰로지]] 이론이 필요하다고 제안하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Weil | first1=André | author1-link=앙드레 베유 | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | url=http://www.ams.org/bull/1949-55-05/S0002-9904-1949-09219-4/home.html | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4  | mr=0029393 | year=1949 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | issn=0002-9904 | volume=55 | pages=497–508 | issue=5|언어=fr}}</ref> 그러나 베유 자신은 베유 코호몰로지를 정의하는 데 실패하였다.

1958년에 [[장피에르 세르]]는 베유 코호몰로지를 정의하기 위하여 등자명 피복({{llang|en|isotrivial cover}})의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 [[에탈 사상]]의 개념과 관련돼 있다.) 세르는 이 개념을 1958년 4월 28일 세미나에서 강의하였고, 이를 청강하던 [[알렉산더 그로텐디크]]는 이를 사용하여 베유 코호몰로지를 성공적으로 정의할 수 있다고 확신하였다.<ref name="McLarty">{{서적 인용|장=The rising sea: Grothendieck on simplicity and generality|이름=Colin|성=McLarty|쪽=301–325|editor1-first=Jeremy J.|editor1-last=Gray|editor2-first=Karen Hunger|editor2-last=Parshall|제목=Episodes in the history of modern algebra (1800–1950)|장url=http://www.landsburg.com/grothendieck/mclarty1.pdf|url=http://bookstore.ams.org/hmath-32/|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-6904-8|총서=History of Mathematics|권=32|날짜=2007|언어=en}}</ref> 그러나 세르는 그로텐디크와 달리 이에 대하여 회의적이었다고 한다.<ref name="McLarty"/>{{rp|321}}

1960년대 초에 그로텐디크는 [[에탈 사상]]을 사용하여, 베유 코호몰로지의 최초의 예인 [[에탈 코호몰로지]] 및 [[에탈 기본군]] 등을 정의하였다. 이를 정의하기 위하여 그로텐디크는 고전적 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 개념을 버리고 대신 위치(그로텐디크 위상을 갖춘 범주)의 개념을 도입하였다. 1961년 가을에 그로텐디크는 [[하버드 대학교]]를 방문하여 [[마이클 아틴]] · [[오스카 자리스키]] · [[데이비드 멈퍼드]]와 토론하였고, 아틴은 이듬해 봄에 위치에 대하여 강의하였다. 아틴의 강의록은 곧 출판되었으며,<ref>{{저널 인용|이름=Michael|성=Artin|저자링크=마이클 아틴|제목=Grothendieck topologies. Notes on a seminar by M. Artin, Spring, 1962|출판사=Harvard University Department of Mathematics|zbl=0208.48701|날짜=1962|url=http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~larsh/teaching/S2013_AG/grothendiecktopologies.pdf|언어=en}}</ref> 이것이 그로텐디크 위상을 다루는 최초의 문헌이다. 이후 위치와 그로텐디크 위상의 이론은 《마리 숲 대수기하학 세미나》({{llang|fr|Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie}}) 3권(1970년) ·4권(1972년)에서 자세하게 다뤄졌다.

그로텐디크는 위치와 그로텐디크 위상의 개념으로부터, [[그로텐디크 토포스]](위치 위의 [[층 (수학)|층]] 범주와 동치인 범주)의 개념을 정의하였다. 훗날 그로텐디크는 자신의 회고록에서 위치의 개념이 단지 "[[토포스]]라는 핵심적인 개념의 기술적, 임시적 형태"({{llang|fr|version technique provisoire de la notion cruciale de topos}})<ref>{{서적 인용|이름=Alexander|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|제목=Récoltes et semailles|출판사=Université des Sciences et Techniques du Languedoc|위치=[[몽펠리에]]|언어=fr}}</ref>{{rp|P24}}<ref name="McLarty"/>에 불과하다고 평했다.

1970년 [[세계 수학자 대회]]에서 [[프랜시스 윌리엄 로비어]]와 마일스 티어니({{llang|en|Myles Tierney}})는 그로텐디크 위상의 개념을 일반화한 로비어-티어니 위상의 개념을 발표하였다.<ref>{{서적 인용|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0329.0334.ocr.pdf|장=Quantifiers and sheaves|이름=F. W.|성=Lawvere|이름2=Myles|성2=Tierney|제목=Actes du Congrès international des mathématiciens, 1/10 Septembre, 1970. Tome 1|쪽=329–334|출판사=Gauthier-Villars|언어=en|access-date=2016-02-17|archive-date=2015-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20150326142702/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0329.0334.ocr.pdf}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|이름2=Ieke|성2=Moerdijk|날짜=1992|제목=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|출판사=Springer|zbl=0822.18001|doi=10.1007/978-1-4612-0927-0|isbn=978-0-387-97710-2|총서=Universitext|issn=0172-5939|언어=en}}

== 외부 링크 ==
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* {{웹 인용|url=http://www.neverendingbooks.org/the-birthday-of-grothendieck-topologies/|제목=The birthday of Grothendieck topologies|이름=Lieven|성=Le Bruyn|날짜=2014-06-15|웹사이트=Neverendingbooks|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2007/09/17/grothendieck-topologies/|제목=Grothendieck topologies|웹사이트=Rigorous Trivialities|날짜=2007-09-17|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/09/06/descent-part-i-grothendieck-topologies/|제목=Descent part I: Grothendieck topologies|날짜=2010-009-06|이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[층 (수학)]]
* [[토포스]]

{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:스킴 이론]]
[[분류:층론]]