그뢰브너 기저 문서 원본 보기

[[가환대수학]]에서 '''그뢰브너 기저'''(Gröbner基底, {{llang|en|Gröbner basis}})는 다항식환의 [[아이디얼]]의 여러 성질들을 쉽게 계산할 수 있게 하는 부분집합이다.

== 정의 ==
<math>n</math>개의 변수 <math>(x_1,\dots,x_n)</math>에 대한 '''단항식'''(單項式, {{llang|en|monomial}})은
:<math>x_1^{m_1}x_2^{m_2}\cdots x_n^{m_n}\qquad(m_1,\dots,m_n\in\mathbb N=\mathbb Z^+\cup\{0\})</math>
과 같은 꼴의 다항식이다. <math>n</math>개 변수에 대한 '''단항식 순서'''(單項式順序, {{llang|en|monomial order}})는 다음 성질들을 만족시키는, 단항식 집합 위의 [[전순서]] <math>\le</math>이다. 모든 단항식 <math>M,N,P</math>에 대하여,
* <math>M<N\iff MP<NP</math>
* <math>M<MP</math>

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[다항식환]] <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>을 생각하자. 그렇다면 다항식 <math>p\in K[x_1,\dots,x_n]</math>은, 단항식의 <math>K</math>-선형 결합으로 표현할 수 있다. 단항식 순서 <math>\le</math>에 대한 다항식 <math>p</math>의 '''최고차항'''({{llang|en|leading term}}) <math>\operatorname{lt} p</math>은 <math>p</math>를 구성하는 단항식들 가운데, 단항식 순서 <math>\le</math>에 대하여 가장 큰 단항식이다.

[[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq K[x_1,\dots,x_n]</math>와 단항식 순서 <math>\le</math>가 주어졌다고 하자. 만약 다항식 집합 <math>G\subset \mathfrak a</math>의 최고차항들로 생성되는 아이디얼 <math>(\operatorname{lt}G)</math>가 <math>\mathfrak a</math>의 최고차항으로 생성되는 아이디얼 <math>(\operatorname{lt}\mathfrak a)</math>와 일치한다면, <math>G</math>를 <math>\mathfrak a</math>의 '''그뢰브너 기저'''라고 한다.
:<math>(\operatorname{lt} \mathfrak a)=(\operatorname{lt}G)</math>

== 역사 ==
브루노 부흐베르거({{llang|de|Bruno Buchberger}})가 박사 학위 논문에서 1965년에 정의하고, 이를 계산하는 [[알고리즘]]을 발표하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal|이름=Bruno|성=Buchberger|기타=[[인스브루크 대학교]] 박사 학위 논문|날짜=1965|url=http://www.risc.jku.at/Groebner-Bases-Bibliography/gbbib_files/publication_706.pdf|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Bruno|성=Buchberger|제목=Ein algorithmisches Kriterium für die Lösbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems|저널=Aequationes Mathematicae|issn= 0001-9054|권= 4|호=3|날짜=1970-10|쪽=374–383|doi=10.1007/BF01844169|zbl=0212.06401|언어=de}}</ref> "그뢰브너 기저"라는 이름은 부흐베르거의 박사 과정 지도 교수 볼프강 그뢰브너({{llang|de|Wolfgang Gröbner}})의 이름을 딴 것이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|저널=Scholarpedia|제목=Groebner basis|doi=10.4249/scholarpedia.7763|권=5|호=10|쪽=7763|날짜=2010|이름=Bruno|성=Buchberger|공저자=Manuel Kauers|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|저널=Scholarpedia|제목=Buchberger's algorithm|doi=10.4249/scholarpedia.7764|권=6|호=10|쪽=7764|날짜=2011|이름=Bruno|성=Buchberger|공저자=Manuel Kauers|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=What is … a Gröbner basis?|이름=Bernd|성=Sturmfels|url=http://www.ams.org/notices/200510/what-is.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2005-11|쪽=1199–1200|권=52|호=10|zbl=1093.13512|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Practical Gröbner basis computation|url=http://www.broune.com/papers/issac2012.html|이름=Bjarke Hammersholt|성=Roune|공저자=Michael Stillman|arxiv=1206.6940|bibcode=2012arXiv1206.6940H|저널=Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation|날짜=2012|언어=en|access-date=2014-08-15|archive-date=2014-03-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20140320182633/http://www.broune.com/papers/issac2012.html|url-status=}}
* {{서적 인용|이름=Thomas|성=Becker|공저자=Volker Weispfenning|제목=Gröbner bases: a computational approach to commutative algebra|출판사=Springer|날짜=1993|isbn=978-0-387-97971-7|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-0913-3|권=141|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Gröbner bases|이름=Bernd|성=Sturmfels|웹사이트=New Horizons in Undergraduate Mathematics|형식=비디오|출판사=Mathematical Sciences Research Institute|날짜=2006-06-29|url=http://www.msri.org/web/msri/pages/244|언어=en|확인날짜=2014-08-15|보존url=https://web.archive.org/web/20140825211033/http://www.msri.org/web/msri/pages/244#|보존날짜=2014-08-25|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Gröbner bases and convex polytopes|이름=Bernd|성=Sturmfels|형식=비디오|출판사=Mathematical Sciences Research Institute|url=http://www.msri.org/web/msri/pages/244|언어=en|확인날짜=2014-08-15|보존url=https://web.archive.org/web/20140825211033/http://www.msri.org/web/msri/pages/244#|보존날짜=2014-08-25|url-status=dead}}
* {{매스월드|id=GroebnerBasis|title=Gröbner basis}}
* {{eom|title=Gröbner basis}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:기호 계산]]