단체 범주 문서 원본 보기

[[호모토피 이론]]에서 '''단체 범주'''(單體範疇, {{llang|en|simplex category}})는 공집합이 아닌 [[유한 집합|유한]] [[정렬 집합]]들의 범주이며, '''첨가 단체 범주'''(添加單體範疇, {{llang|en|augmented simplex category}})는 공집합을 포함한 모든 [[유한 집합|유한]] [[정렬 집합]]들의 범주이다.<ref>{{서적 인용 | last1=Goerss | first1=Paul G. | last2=Jardine | first2=John Frederick | title=Simplicial homotopy theory | publisher=Birkhäuser | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | 날짜=1999 | volume=174 |언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | last1=Gelfand | first1=Sergei I. | last2=Manin | first2=Yuri Ivanovitch |저자링크2=유리 마닌| title=Methods of homological algebra | doi=10.1007/978-3-662-12492-5 | 출판사=Springer | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | 이름=Edward B. | 성= Curtis | doi=10.1016/0001-8708(71)90015-6 | 제목=Simplicial homotopy theory|저널=Advances in Mathematics|권=6|호=2|날짜=1971-04 |쪽=107–209|mr=279808|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=An elementary illustrated introduction to simplicial sets|arxiv=0809.4221|이름=Greg|성=Friedman|날짜=2012|bibcode=2008arXiv0809.4221F|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|권=42|호=2|쪽=353–423|doi=10.1216/RMJ-2012-42-2-353|mr=2915498|zbl=06035442|issn=0035-7596|언어=en}}</ref> 임의의 범주 속의 '''단체 대상'''(單體對象, {{llang|en|simplicial object}})과 '''첨가 단체 대상'''(添加單體對象, {{llang|en|augmented simplicial object}})은 각각 단체 범주의 [[반대 범주]] 또는 첨가 단체 범주의 [[반대 범주]]를 [[정의역]]으로 하는 [[함자 (수학)|함자]]이다. 이는 일종의 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 가지는 대상으로 여길 수 있으며, 이 경우, “위상”은 [[특이 호몰로지]]에서의 특이 [[단체 (수학)|단체]]들을 사용하여 대수적으로 나타내어진다. 특히, 집합의 범주 속의 단체 대상은 '''[[단체 집합]]'''이라고 한다.

== 정의 ==
'''단체 범주''' <math>\triangle</math>와 '''첨가 단체 범주''' <math>\triangle_+</math>와 '''준단체 범주'''(準單體範疇, {{llang|en|pre-simplex category}}) <math>\triangle_{\operatorname{pre}}</math>는 세 개의 특별한 [[작은 범주]]이며, 그 개념은 여러 가지로 정의될 수 있다.
* 단체 범주는 유한 [[정렬 집합]]들의 범주(와 동치인 [[작은 범주]])로 정의될 수 있다.
* (첨가) 단체 범주는 하나의 [[모노이드 대상]]으로 생성되는 자유 [[모노이드 범주]]로 정의될 수 있다.
* 단체 범주는 [[단체 (수학)|단체]]들과 그 사이의 특정한 [[연속 함수]]들의 범주로 정의될 수 있다.
이 세 정의는 모두 서로 [[범주의 동치|동치]]인 범주를 정의한다.

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 '''단체 대상'''은 단체 범주 위의, <Math>\mathcal C</math> 값을 갖는 [[준층]]이다. 즉, [[함자 (수학)|함자]] <math>\triangle^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>이다.

마찬가지로, <math>\mathcal C</math>의 '''첨가 단체 대상'''은 첨가 단체 범주 위의, <Math>\mathcal C</math> 값을 갖는 [[준층]]이다. 즉, [[함자 (수학)|함자]] <math>\triangle_+^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>이다.

(첨가) 단체 대상의 '''사상'''은 [[준층]]의 사상, 즉 함자 사이의 [[자연 변환]]이다.

단체 대상의 범주는 보통
:<math>\operatorname s(\mathcal C)=\mathcal C^{\triangle^{\operatorname{op}}}</math>
로 표기되며, 첨가 단체 대상의 범주는 보통
:<math>\operatorname s_+(\mathcal C)=\mathcal C^{\triangle_+^{\operatorname{op}}}</math>
로 표기된다.

'''[[단체 집합]]'''은 [[집합]]의 범주 위의 단체 대상이다. 다른 범주 위의 단체 대상 역시 마찬가지로 불린다. 예를 들어, '''단체 아벨 군'''(單體Abel群, {{llang|en|simplicial Abelian group}})은 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> 위 단체 대상이다.

=== 순서론적 정의 ===
모든 [[정렬 집합]]과 [[증가 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Ord}</math>를 생각하자.

'''첨가 단체 범주''' <math>\triangle_+</math>는 <math>\operatorname{Ord}</math> 가운데, [[유한 집합]]만으로 구성된 [[충만한 부분 범주]]이다.

'''단체 범주''' <math>\triangle</math>는 <math>\operatorname{Ord}</math> 가운데, [[공집합]]이 아닌 [[유한 집합]]만으로 구성된 [[충만한 부분 범주]]이다.

'''준단체 범주''' <math>\triangle_{\operatorname{pre}}</math>는 <math>\operatorname{Ord}</math> 가운데, [[공집합]]이 아닌 [[유한 집합]]들만을 대상으로 하며, [[단사 함수]]만을 사상으로 하는, 충만하지 않은 부분 범주이다.

다시 말해, 첨가 단체 범주는 단체 범주에 공집합을 “첨가”한 것이다.

이들은 엄밀히 말하면 [[작은 범주]]가 아니지만, 같은 [[순서형]]의 [[정렬 집합]]은 서로 [[동형]]이므로, <math>\triangle</math> 및 <math>\triangle_+</math> 및 <math>\triangle_{\operatorname{pre}}</math>는 각각 [[가산 무한]] 개의 [[동형류]]를 갖는다. 구체적으로, <math>\triangle_+</math>의 동형류들은 [[자연수]](유한 [[순서수]])에 대응하며, <math>\triangle</math>와 <math>\triangle_{\operatorname{pre}}</math>의 동형류들은 양의 정수에 대응한다. 따라서, 이들과 [[범주의 동치|동치]]인 [[작은 범주]]들을 취할 수 있다.

=== 대수적 정의 ===
'''첨가 단체 범주''' <math>\triangle_+</math>는 하나의 [[모노이드 대상]] <math>e</math>로 생성되는 자유 [[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes)</math>이다. 즉, <math>\triangle_+</math>의 대상은
:<math>\overbrace{e\otimes e\otimes\dotsb\otimes e}^n\qquad(n\in\mathbb N)</math>
의 꼴이며, 사상들은 <math>e</math>의 모노이드 연산
:<math>\mu \colon e^{\otimes2} \to e</math>
:<math>\eta \colon e^{\otimes0} \to e</math>
들의 텐서곱들의 합성이다.

첨가 단체 범주 <math>\triangle_+</math>에서, [[시작 대상]] <math>e^{\otimes0}</math> 및 이를 [[정의역]] 또는 [[공역]]으로 갖는 모든 [[사상 (수학)|사상]]들을 삭제한 [[충만한 부분 범주]]를 '''단체 범주''' <math>\triangle</math>라고 한다.

<math>\triangle</math>에서, <math>\mu</math>를 포함한 모든 사상들을 삭제한 (충만하지 않은) 부분 범주 <math>\triangle_{\operatorname{pre}}</math>를 '''준단체 범주'''라고 한다.

=== 위상수학적 정의 ===
'''첨가 단체 범주의 [[반대 범주]]''' <math>\triangle_+^{\operatorname{op}}</math>는 다음과 같은 [[작은 범주]]이다.
* <math>\triangle^{\operatorname{op}}</math>의 대상들은 −1 이상의 정수 <math>n\in\mathbb N\cup\{-1\}</math>에 대하여 <math>\Delta_n</math>이다. 이를 '''<math>n</math>차원 단체'''({{llang|en|<math>n</math>-simplex}})라고 한다.
이 범주의 사상들은 다음과 같은 사상들의 (유한 개의) 합성으로 주어진다.
* 각 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>i\in\{0,1,\dots,n\}</math>에 대하여, 사상 <math>\partial_{n,i}\colon \Delta_n\to \Delta_{n-1}</math>. 이를 '''면 사상'''(面寫像, {{llang|en|face morphism}})이라고 하며, 이는 <math>n+1</math>개의 면을 갖는 <math>n</math>차원 단체의 <math>i</math>번째 면을 뜻한다.
* 각 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>i\in\{0,1,\dots,n\}</math>에 대하여, 사상 <math>s_{n,i}\colon \Delta_n\to \Delta_{n+1}</math>. 이를 '''퇴화 사상'''(退化寫像, {{llang|en|degeneracy map}})이라고 한다. 이는 <math>i</math>번째 꼭짓점이 <math>i+1</math>번째 꼭짓점과 일치하는 퇴화 단체를 뜻한다.
이 사상들은 다음과 같은 '''단체 항등식'''(單體恒等式, {{llang|en|simplicial identity}})들을 만족시켜야 한다.
* (면의 면) <math>\partial_{n-1,i}\circ\partial_{n,j}=\partial_{n-1,j-1}\circ\partial_{n,i}\qquad(0\le i<j\le n)</math>
* (퇴화 단체의 퇴화 단체) <math>s_{n+1,i}\circ s^j_n=s_{n+1,j+1}\circ s_{n,i}\qquad(0\le i\le j\le n)</math>
* (퇴화 단체의 면) <math>\partial_{n+1,i}\circ s_{n,j}=
\begin{cases}
s_{n-1,j-1}\circ\partial_{n,i}&i<j\\
\operatorname{id}_{\Delta_n} & i=j,j+1\\
s_{n-1,j}\circ\partial_{n,i-1} & i >j+1
\end{cases}\qquad(0\le i\le n+1,\;0\le j\le n)</math>

위 정의에서, 기하학적으로 해석이 불가능한 <math>\Delta_{-1}</math>을 생략하고, <math>\partial_{0,0}\colon \Delta_0 \to \Delta_{-1}</math>을 생략하면, '''단체 범주의 반대 범주''' <math>\triangle^{\operatorname{op}}</math>을 얻는다. 즉, <math>\triangle_+^{\operatorname{op}}</math>는 <math>\triangle^{\operatorname{op}}</math>와 비교했을 때 대상 <math>\Delta_{-1}</math>(“−1차원 단체”) 및 사상 <math>\partial_{0,0}</math>(“0차원 단체의 유일한 −1차원 면”)을 추가로 갖는다. 단체 범주의 반대 범주 속에서, 퇴화 사상들을 포함하는 사상들을 삭제한, 충만하지 않은 부분 범주를 '''준단체 범주의 반대 범주''' <math>\triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}}</math>라고 한다.

'''단체 범주''' <math>\triangle</math>는 <math>\triangle^{\operatorname{op}}</math>의 [[반대 범주]]이며, '''첨가 단체 범주''' <math>\triangle_+</math>는 <math>\triangle_+^{\operatorname{op}}</math>의 [[반대 범주]]이며, '''준단체 범주''' <math>\triangle_{\operatorname{pre}}</math>는 <math>\triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}}</math>의 [[반대 범주]]이다.

=== 정의 사이의 관계 ===
이 정의 사이의 관계는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 순서론적 정의 !! 대수적 정의 !! 위상수학적 정의
|-
| [[집합의 크기|크기]] <math>n</math>의 [[정렬 집합]] <math>(S,\le)</math> || <math>e^{\otimes n}</math> || <math>n-1</math>차원 단체 <math>\Delta_{n-1}</math>
|-
| [[증가 함수]] <math>f_i^n\colon k\in\{0,\dots,n-1\}\mapsto\begin{cases}
k&k<i\\
k+1&k\ge i\end{cases}</math>
| 모노이드 곱 <math>\overbrace{\operatorname{id}_e \otimes\dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^i \otimes \mu \otimes \overbrace{\operatorname{id}_e \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^{n-i-2}</math>
| 면 사상 <math>\partial_{n,i}\colon\Delta_n\to\Delta_{n-1}</math>의 반대 사상
|-
| [[증가 함수]] <math>g_i^n\colon k\in\{0,\dots,n+1\}\mapsto\begin{cases}
k&k\le i\\
k-1&k>i\end{cases}</math>
| 모노이드 항등원 <math>\overbrace{\operatorname{id}_e \otimes\dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^i \otimes \eta \otimes \overbrace{\operatorname{id}_e \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^{n-i}</math>
| 퇴화 사상 <math>s_{n,i}\colon\Delta_n\to\Delta_{n+1}</math>의 반대 사상
|-
| 두 [[전순서 집합]]의 [[분리합집합]] <math>(S,T)\mapsto S\sqcup T</math>, <math>s<_{S\sqcup T}t\;\forall (s,t)\in S\times T</math>
| 모노이드 연산 <Math>(e^{\otimes m},e^{\otimes n}) \mapsto e^{\otimes(m+n)}</math>
| <math>\Delta_m</math>과 <math>\Delta_n</math>의 <math>(m+1)+(n+1)</math>개의 꼭짓점들로 구성된 단체 <math>\Delta_{m+n+1}</math>
|}
모든 증가 함수 <math>\{0,1,\dots,n\}\to\{0,1,\dots,k\}</math>는 <math>f_i^n</math> 및 <math>g_i^n</math>와 같은 함수들의 [[함수의 합성|합성]]으로 나타낼 수 있다.

== 성질 ==
=== 범주론적 성질 ===
<math>\mathcal C</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]이며, [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]라고 하자. 그렇다면, [[쌍대곱]] 함자
:<math>\mathcal C\times\operatorname{Set}\to\mathcal C</math>
:<math>(X,S)\mapsto X^{\sqcup S}=\coprod_{s\in S}X</math>
가 존재하며, [[자연 동형]]
:<math>\hom_{\mathcal C}(X^{\sqcup S},Y)\cong \hom_{\operatorname{Set}}(S,\hom_{\mathcal C}(X,Y))</math>
이 존재한다. 이에 따라, 자연스럽게 함자
:<math>\operatorname s(\mathcal C)\times\operatorname s(\operatorname{Set})\to\operatorname s(\mathcal C)</math>
가 존재하며, 이에 따라
:<math>\hom_{\operatorname s(\mathcal C)}(X,Y)</math>
는 자연스럽게 [[단체 집합]]을 이룬다. 이에 따라, 단체 대상 범주 <math>\operatorname s(\mathcal C)</math>는 [[단체 집합]]의 [[데카르트 모노이드 범주]] 위의 [[풍성한 범주]]를 이룬다.

==== 첨가 단체 범주 ====
첨가 단체 범주 <math>\triangle_+</math>의 경우, 다음과 같은 [[모노이드 범주]]를 이룬다.
:<math>\{0,1,\dotsc,m-1\} \otimes \{0,1,\dotsc,n-1\} = \{0,1,\dotsc,m+n-1\}</math>
(그 항등원은 <math>\{0\}</math>인데, 이는 <math>\triangle</math>에 속하지 않는다. 따라서 이는 위와 같이 [[모노이드 범주]]를 이루지 못한다.)

=== 호몰로지 ===
{{본문|정규화 사슬 복합체}}
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 준단체 대상 <math>M_\bullet</math>을 생각하자. 그렇다면, 면 사상이
:<math>\partial_{n,i} \colon M_n \to M_{n-1} \qquad (0\le i \le n)</math>
이라고 하면, 다음을 정의할 수 있다.
:<math>\partial_n \colon M_n \to M_{n-1}</math>
:<math>\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i}</math>
그렇다면, <math>(M_\bullet,\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다.

이를 <math>M_\bullet</math>의 '''무어 복합체'''({{llang|en|Moore complex}})라고 하며, <math>M_\bullet</math>의 '''호몰로지'''란 이 [[사슬 복합체]]의 [[호몰로지]]를 뜻한다.<ref name="Loday">{{서적 인용|이름=Jean-Louis |성=Loday|저자링크=장루이 로데|제목=Cyclic homology|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |권= 301 | 출판사=Springer-Verlag | 날짜= 1998 | isbn= 978-3-642-08316-7|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-662-11389-9|zbl=0885.18007|판=2|mr=1217970|언어=en}}</ref>{{rp|45, Definition 1.6.2}}

== 예 ==
=== 단체 집합 ===
{{본문|단체 집합}}
[[집합]]과 [[함수]]의 범주 속의 단체 대상은 '''[[단체 집합]]'''이라고 한다. 이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 조합론적 모형으로 여겨질 수 있으며, 단체 집합의 범주는 [[그로텐디크 토포스]]를 이룬다. 이 때문에 단체 집합은 위상 공간을 대체하기 위하여 [[호모토피 이론]]에서 널리 쓰인다.

=== 쌍대 모노이드 대상 ===
{{본문|모노이드 대상}}
첨가 단체 범주 <math>\triangle_+</math>는 하나의 원소로 생성되는 자유 [[모노이드 범주]]이므로, 다음 세 개념이 서로 [[동치]]이다.
* [[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes)</math> 속의 [[모노이드 대상]]
* [[모노이드 함자]] <math>\triangle_+ \to \mathcal C</math>
* <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math> 속의 첨가 단체 대상
특히, 모든 [[모노이드 대상]]은 그 [[반대 범주]] 속의 단체 대상을 이룬다.

특히, 만약 <math>\mathcal C=\hom_{\operatorname{Cat}}(\mathcal D,\mathcal D)</math>가 [[자기 함자]]의 범주라고 하자. 그 속의 [[모노이드 대상]]은 [[모나드 (범주론)|모나드]]이며, 이 개념은 [[반대 범주]] <math>\hom_{\operatorname{Cat}}(\mathcal D,\mathcal D)^{\operatorname{op}}</math> 속의 첨가 단체 대상과 [[동치]]이다.

=== 막대 복합체 ===
{{본문|막대 복합체}}
{{본문|호흐실트 호몰로지}}
[[호몰로지 대수학]]에서 등장하는 [[막대 복합체]]와 [[호흐실트 사슬 복합체]]는 둘 다 [[가군]] [[범주 (수학)|범주]] 속의 단체 대상을 이룬다.

=== 돌트-칸 대응 ===
{{본문|돌트-칸 대응}}
<math>\mathcal A</math>가 [[아벨 범주]]라고 하고, 그 속의 단체 대상들의 범주를 <math>\operatorname s(\mathcal A)=[\triangle^{\operatorname{op}},\mathcal A]</math>라고 하자. 그렇다면, 이 범주는 <math>\mathcal A</math> 위의, [[자연수]] (음이 아닌 정수) 등급을 갖는 [[사슬 복합체]]들의 범주 <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>와 [[범주의 동치|동치]]이며, 이는 또한 [[모형 범주]]의 [[퀼런 동치]]를 이룬다. 이를 '''[[돌트-칸 대응]]'''이라고 한다.
:<math>\operatorname s(\mathcal A)\simeq\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>

=== 모노이드 돌트-칸 대응 ===
{{본문|돌트-칸 대응}}
다음이 주어졌다고 하자.
* [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
* <math>K</math> 위의 [[가환환|가환]] [[결합 대수]]들의 범주 <math>\operatorname{CRing}/K</math> (즉, [[가환환]]의 범주의 [[조각 범주]])
* <math>K</math>-[[가환 미분 등급 대수]]의 [[모형 범주]] <math>\operatorname{CDGA}_K</math> 속의, 0차 성분이 자명한 (<math>\dim_K A^0 \le 1</math>인) [[가환 미분 등급 대수]] <math>A^\bullet</math>들로 구성된 [[충만한 부분 범주]] <math>\operatorname{CDGA}^{\operatorname{conn}}_K</math>
그렇다면, 다음 두 [[모형 범주]] 사이에 [[퀼런 동치]]가 존재하며, 이를 '''모노이드 돌트-칸 대응'''({{llang|en|monoidal Dold–Kan correspondence}})이라고 한다.
:<math>\operatorname s(\operatorname{CRing}/K) \leftrightarrows \operatorname{CDGA}_K^{\operatorname{conn}}</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Simplicial object in a category}}
* {{nlab|id=simplicial object|title=Simplicial object}}
** {{nlab|id=simplicial object in Cat|title=Simplicial object in Cat}}
** {{nlab|id=simplicial presheaf|title=Simplicial presheaf}}
** {{nlab|id=simplicial topological space|title=Simplicial topological space}}
** {{nlab|id=simplicial manifold|title=Simplicial manifold}}
* {{nlab|id=cosimplicial object|title=Cosimplicial object}}
* {{nlab|id=simplicial identities|title=Simplicial identities}}
* {{nlab|id=simplex category|title=Simplex category}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/171920/whats-special-about-the-simplex-category | 제목=What’s special about the simplex category? | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:범주론]]
[[분류:대수적 위상수학]]