단체 복합체 문서 원본 보기

[[대수적 위상수학]]에서 '''단체 복합체'''(單體複合體, {{llang|en|simplicial complex}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 [[단체 (수학)|단체]]들로 [[집합의 분할|분할]]하는 구조이다. 이를 사용하여 위상 공간의 [[호몰로지]]를 계산할 수 있다.<ref name="Hatcher">{{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}</ref>{{rp|§2.1}}

== 정의 ==
단체 복합체의 개념은 [[층 (수학)|층]] 이론을 사용하여 추상적으로 정의할 수도 있고, [[조합론]]적으로 구체적으로 정의할 수도 있다.

=== 추상적 정의 ===
[[공집합]]이 아닌 유한 집합과 함수의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{finSet}_+</math>를 생각하자. 그 위의 (집합 값의) [[준층]]을 '''대칭 단체 집합'''({{llang|en|symmetric simplicial set}})이라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목= Finite sets and symmetric simplicial sets |이름=Marco|성=Grandis|저널=Theory and Applications of Categories|url=http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/8/n8/8-08abs.html|권=8|날짜=2001|호=8|쪽=244–252|언어=en}}</ref> 즉, 대칭 단체 집합의 범주는 <math>\operatorname{PSh}(\operatorname{finSet}_+)</math>이다. 이는 [[그로텐디크 토포스]]를 이룬다.

일반적으로, 임의의 [[작은 범주]] 위의 준층 <math>F\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>의 원소 가운데 '''구체적 준층'''({{llang|en|concrete presheaf}})은 다음과 같은 표준적인 함수
:<math>F(U)\to\hom_{\operatorname{Set}}(\hom_{\mathcal C}(1,U),F(1))</math>
가 [[단사 함수]]인 경우이다. (여기서 <math>1\in\mathcal C</math>는 [[시작 대상]]이다.) 모든 준층의 범주 <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>는 [[그로텐디크 토포스]]를 이루지만, 모든 구체적 준층 <math>\operatorname{concPSh}(\mathcal C)</math>의 [[충실충만한 함자|충실충만한]] 부분 범주는 [[준토포스]]를 이룬다.

<math>\operatorname{finSet}_+</math> 위의 구체적 준층을 '''단체 복합체'''라고 한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=0807.1704|제목=Convenient categories of smooth spaces|doi=10.1090/S0002-9947-2011-05107-X |mr=2817410|날짜=2011|이름=John C.|성=Baez|이름2=Alexander E.|성2=Hoffnung|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=363|호=11|쪽= 5789–5825 |issn=0002-9947|언어=en}}</ref>{{rp|Proposition 27}} 단체 복합체의 범주
:<math>\operatorname{SimpComp}=\operatorname{concPSh}(\operatorname{finSet}_+)</math>
는 [[준토포스]]를 이룬다. 정의에 따라 모든 단체 복합체는 대칭 단체 집합이다.

대칭 단체 집합 <math>F\colon\operatorname{finSet}_+^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>에서, [[한원소 집합]] <math>\{\bullet\}\in \operatorname{finSet}_+</math>의 상 <math>F(\{\bullet\})\in\operatorname{Set}</math>의 원소를 단체 복합체의 '''꼭짓점'''({{llang|en|vertex}})이라고 한다. 보다 일반적으로, 크기 <math>n+1</math>의 집합 <math>S\in\operatorname{finSet}_+</math>의 상 <math>F(S)\in\operatorname{Set}</math>의 원소를 (퇴화되었을 수 있는) <math>n</math>차원 '''단체'''({{llang|en|<math>n</math>-simplex}})라고 한다. (따라서 꼭짓점은 0차원 단체이다.) 표준적인 함수
:<math>F(S)\to F(\{\bullet\})^S\cong F(\{\bullet\}^{n+1}</math>
아래, <math>\sigma\in F(S)</math>의 상 <math>(v_0,v_1,\dots,v_n)\in F(\{\bullet\}^{n+1}</math>의 성분들을 단체 <math>\sigma</math>의 '''꼭짓점'''(-點, {{llang|en|vertex}})이라고 한다. 단체 복합체의 경우 단체는 그 꼭짓점들로부터 완전히 결정되지만, 일반적 대칭 단체 집합의 경우 그렇지 않다. 모든 꼭짓점들이 서로 다른 단체를 '''비퇴화 단체'''({{llang|en|nondegenerate simplex}})라고 하고, 일부 꼭짓점들이 일치하는 단체를 '''퇴화 단체'''({{llang|en|degenerate simplex}})라고 한다. (모든 꼭짓점은 [[한원소 집합]]으로서 비퇴화 단체이다.)

대칭 단체 집합의 '''단체 사상'''({{llang|en|simplicial map}})은 준층의 사상이다 (즉, 함자의 [[자연 변환]]이다).

=== 구체적 정의 ===
단체 복합체의 개념은 매우 구체적으로 정의할 수 있으며, 이 정의는 [[준층]]을 통한 추상적 정의와 동치이다.

'''단체 복합체''' <math>(V,\Sigma)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>V</math>는 [[집합]]이다. <math>V</math>의 원소를 '''꼭짓점'''이라고 한다.
* <math>\Sigma\subset\mathcal P(V)</math>는 <math>V</math>의, 공집합이 아닌 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]들로 구성된 집합이다. <math>\Sigma</math>의 원소 가운데, 크기가 <math>n+1</math>인 것을 <math>n</math>차원 '''비퇴화 단체'''({{llang|en|nondegenerate <math>n</math>-simplex}})라고 한다. <math>n</math>차원 단체 <math>\sigma\in\Sigma</math>의, 크기가 <math>n-1</math>인, [[공집합]]이 아닌 부분 집합을 <math>\sigma</math>의 '''면'''({{llang|en|facet}})이라고 한다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* 비퇴화 단체의 면은 비퇴화 단체이다. 즉, 만약 <math>\varnothing\ne\sigma\subseteq\sigma'\in\Sigma</math>라면 <math>\sigma\in\Sigma</math>이다.
* 꼭짓점(의 [[한원소 집합]])은 비퇴화 단체이다. 즉, 모든 꼭짓점 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\{v\}\in\Sigma</math>이다.

[[중복집합]]에서, 중복되는 원소를 제거하여 집합으로 만드는 과정을 <math>\operatorname{supp}</math>라고 하자. 그렇다면, 꼭짓점들로 구성된 [[중복집합]] <math>\sigma</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{supp}\sigma</math>가 비퇴화 단체라면, <math>\sigma</math>를 '''단체'''({{llang|en|simplex}})라고 한다. 비퇴화 단체가 아닌 단체를 '''퇴화 단체'''({{llang|en|degenerate simplex}})라고 한다.

두 단체 복합체 <math>(V,\Sigma)</math>, <math>(V',\Sigma')</math> 사이의 '''단체 사상'''({{llang|en|simplicial map}}) <math>f\colon(V,\Sigma)\to(V',\Sigma')</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]] <math>f\colon V\to V'</math>이다.
* 모든 비퇴화 단체 <math>\sigma\in\Sigma</math>에 대하여, 그 상 <math>f(\sigma)\subseteq V'</math> 역시 단체이다.
즉, 단체 사상은 <math>n</math>차원 단체는 <math>n</math>차원 단체에 대응시킨다. 다만, 비퇴화 단체 또한 (같은 차원의) 퇴화 단체에 대응될 수 있다.

단체 복합체 <math>(V,\Sigma)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 <math>n</math>차원 (추상적) 비퇴화 단체에 ([[위상 공간 (수학)|위상 공간]]인) 실제 단체 <math>\triangle^n\subset\mathbb R^n</math>을 대응시키고, 그 면들을 경계 사상을 통해 서로 적절히 [[붙임 공간|붙여]] 위상 공간을 정의할 수 있다. 이를 단체 복합체의 '''기하학적 실현'''({{llang|en|geometric realization}}) <math>|(V,\Sigma)|</math>이라고 한다. 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 만약 단체 복합체 <math>(V,\Sigma)</math>의 기하학적 실현이 <math>X</math>와 [[위상 동형]]이라면, <math>(V,\Sigma)</math>를 <math>X</math> 위의 '''삼각 분할'''({{llang|en|triangulation}})이라고 한다.

== 델타 복합체 ==
델타 복합체도 단체 복합체나 [[단체 집합]]과 같이 [[준층]]으로서 정의할 수 있으며, 구체적으로 정의할 수도 있다.

=== 추상적 정의 ===
'''델타 복합체'''는 [[공집합]]이 아닌 [[유한 집합|유한]] [[전순서 집합]]과 증가 단사 함수의 범주 <math>\operatorname{finOrd_+^{inj}}</math> 위의 [[준층]]이다.<ref name="Friedman"/> 모든 증가 함수 대신 단사 함수만을 여기는 것은 ([[단체 집합]]과 달리) 경계 사상만 있고, 퇴화 사상이 없는 것을 뜻한다. 퇴화 사상이 없으므로, 모든 단체들이 비퇴화 단체가 된다.

델타 복합체의 '''델타 사상'''({{llang|en|delta-map}})은 [[준층]]의 [[사상 (수학)|사상]]이다. (즉, [[자연 변환]]이다.) 그런데 모든 단체들이 비퇴화 단체이므로, 델타 사상은 비퇴화 단체를 항상 비퇴화 단체에 대응시켜야 한다. 즉, 단체 복합체나 [[단체 집합]]의 사상과는 달리, 델타 사상 아래 단체가 퇴화될 수 없다.

=== 구체적 정의 ===
'''델타 복합체'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 집합 <math>\Sigma_n</math>. 그 원소를 <math>n</math>차원 '''단체'''라고 한다.
* 각 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>i\in\{0,1,\dots,n\}</math>에 대하여, 함수 <math>\partial_n^i\colon\Sigma_n\to\Sigma_{n-1}</math>. 이를 <math>i</math>번째 '''면 사상'''({{llang|en|face map}})이라고 한다.
이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다. (이는 [[단체 집합]]의 정의에 등장하는 첫째 단체 항등식이다.)
:<math>\partial^i_{n-1}\circ\partial^j_n=\partial^{j-1}_{n-1}\circ\partial^i_n\qquad(0\le i<j\le n)</math>

델타 복합체 역시 '''기하학적 실현'''({{llang|en|geometric realization}})을 정의할 수 있다. 이 경우 모든 단체들이 비퇴화 단체가 된다.

델타 복합체와 단체 복합체의 주된 차이는 다음과 같다.
* 단체의 꼭짓점들의 [[전순서]]를 가진다. (이는 [[단체 집합]]도 마찬가지이다.)
* 단체의 꼭짓점과 면들이 중복될 수 있다. 즉, 한 단체의 여러 꼭짓점이나 면들이 서로 붙어 있을 수 있다. (이는 [[단체 집합]]도 마찬가지이다.)
* 단체가 그 꼭짓점 집합으로부터 유일하게 결정되지 않을 수 있다. 즉, 같은 꼭짓점들을 공유하는 여려 단체들이 존재할 수 있다. (이는 [[단체 집합]]도 마찬가지이다.)
그러나 단체 복합체와 마찬가지로 ([[단체 집합]]과 달리) 델타 복합체는 자명하지 않은 퇴화 단체들을 갖지 않는다. 따라서, 델타 복합체는 단체 복합체와 단체 집합의 중간 개념으로 생각할 수 있다.

== 성질 ==
위상 공간 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\Sigma_n</math>을 모든 연속 함수 <math>\triangle^n\to X</math>의 집합으로 하고, 이들을 면을 따라 이어붙여 매우 큰 공간 <math>S(X)</math>를 만들 수 있다. 그렇다면, <math>S(X)</math>의 단체 사슬 복합체는 <math>X</math>의 [[특이 사슬 복합체]]와 같다. 즉, 특이 호몰로지는 단체 호몰로지의 특수한 경우이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|§2.1, 108}}

델타 복합체로 나타낼 수 있는 위상 공간은 항상 단체 복합체로서 나타낼 수 있다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|133, Exercise 2.1.23}}

단체 복합체에서 위상 공간으로 가는 기하학적 실현 함자
:<math>\operatorname{concPSh}(\operatorname{finSet}_+)\to\operatorname{Top}</math>
는 유한 곱조차 보존하지 않는다. (반면 [[단체 집합]]의 기하학적 실현은 [[동등자]]와 유한 곱을 보존한다.)

주어진 [[다양체]]가 삼각 분할을 갖는지 여부는 어려운 문제이다. 모든 [[매끄러운 다양체]]는 삼각 분할을 갖지만, (위상) [[다양체]]의 경우 일반적으로 그렇지 않다.

=== 단체 호몰로지 ===
델타 복합체 구조로부터, 위상 공간의 [[호몰로지]]를 계산할 수 있다. 이를 '''단체 호몰로지'''(單體homology, {{llang|en|simplicial homology}})라고 한다.

위상 공간 <math>X</math> 위의 델타 복합체 <math>(\Sigma_n)_{n\in\mathbb N}</math>가 주어졌다고 하자. <math>X</math> 위의 <math>n</math>차 '''단체 사슬'''의 군은 <math>n</math>차 단체들로 생성되는 [[자유 아벨 군]]이다.
:<math>C_n(X)=\mathbb Z^{\oplus\Sigma_n}</math>
<math>n</math>차 단체 <math>\sigma\in\Sigma_n</math>의 '''경계'''({{llang|en|boundary}}) <math>\partial\sigma\in\Sigma_{n-1}</math>는 다음과 같다.
:<math>\partial \sigma=\sum_{i=0}^n(-)^i\sigma|_{[v_0,\dots,\hat v_i,\dots,v_n}]</math>
여기서 <math>v_0,\dots,v_n\in\triangle^n</math>은 표준 단체 <math>\triangle^n</math>의 꼭짓점들이며, <math>[v_0,\dots,\hat v_i,\dots,v_n]\subseteq\triangle^n</math>은 <math>v_i</math>를 포함하지 않는 유일한 면이다.

이 정의를 단체 사슬 군에 <math>\mathbb Z</math>-선형으로 확장하여, [[사슬 복합체]]
:<math>\cdots\to C_n(X)\xrightarrow{\partial_n}C_{n-1}(X)\to\cdots \to C_0(X)\to0</math>
를 정의할 수 있다. (<math>\partial_{n-1}\circ\partial_n=0</math>인 것은 쉽게 확일할 수 있다.) 이를 '''단체 사슬 복합체'''({{llang|en|simplicial chain complex}})라고 하며, 그 [[호몰로지]]를 '''단체 호몰로지'''({{llang|en|simplicial homology}})
:<math>\operatorname H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math>
라고 한다.

델타 복합체의 [[특이 호몰로지]]는 단체 호몰로지와 동형이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|Theorem 2.27}} 따라서, 단체 호몰로지는 사용한 델타 복합체 구조에 의존하지 않는다.

=== 단체 집합과의 단체 복합체의 관계 ===
<math>\operatorname{finOrd}_+</math>를 공집합이 아닌 [[유한 집합|유한]] [[전순서 집합]]과 [[증가 함수]]의 범주라고 하자. 그렇다면, '''[[단체 집합]]'''의 범주는 [[준층]] 범주 <math>\operatorname{PSh}(\operatorname{finOrd}_+)</math>이다. [[전순서]]를 잊는 망각 함자
:<math>\operatorname{finOrd}_+\to\operatorname{finSet}_+</math>
를 통해, 다음과 같은 단체 복합체 → 대칭 단체 집합 → 단체 집합으로 가는 함자들이 존재한다.
:<math>\operatorname{concPSh}(\operatorname{finSet}_+)\hookrightarrow\operatorname{PSh}(\operatorname{finSet}_+)\to\operatorname{PSh}(\operatorname{finOrd}_+)</math>

=== 단체 집합과 델타 복합체의 관계 ===
[[단체 집합]]은 [[공집합]]이 아닌 [[유한 집합|유한]] [[전순서 집합]]과 모든 증가 함수의 범주 <math>\operatorname{finOrd_+}</math> 위의 준층이다. 따라서, [[충만한 함자|충만]]하지 않는 포함 함자
:<math>\operatorname{finOrd_+^{inj}}\hookrightarrow\operatorname{finOrd_+}</math>
에 대하여 망각 함자
:<math>\operatorname{sSet}\simeq\operatorname{PSh}(\operatorname{finOrd_+})\to \operatorname{PSh}(\operatorname{finOrd_+^{inj}})</math>
가 존재한다. 이는 [[단체 집합]]에서 퇴화 사상을 망각하는 것에 해당한다. 이 함자 아래 퇴화 단체도 비퇴화 단체에 대응되므로, 이 함자는 기하학적 실현과 호환되지 않는다.

== 역사 ==
델타 복합체의 개념은 [[사무엘 에일렌베르크]]와 조지프 에이브러햄 질버({{llang|en|Joseph Abraham Zilber}})가 1949년에 "반단체 복합체"({{llang|en|semi-simplicial complex}})라는 이름으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Semi-simplicial complexes and singular homology|jstor=1969364|저널=Annals of Mathematics|권=51|호=3|doi=10.2307/1969364|날짜=1950-05|url=https://people.math.osu.edu/davis.12/courses/6801-02/Eilenberg-Semisimplicial.pdf|언어=en}}</ref> 이후 이 이름은 에일렌베르크와 질버가 도입한 개념 대신 [[단체 집합]]을 지칭하게 되었고, 대신 에일렌베르크와 질버의 원래 개념은 "델타 복합체"로 불리게 되었다. (그 뒤 반단체 복합체는 다시 "[[단체 집합]]"으로 간단히 불리게 되었다.)<ref name="Friedman">{{저널 인용|제목=An elementary illustrated introduction to simplicial sets|arxiv=0809.4221|이름=Greg|성=Friedman|날짜=2012|bibcode=2008arXiv0809.4221F|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|권=42|호=2|쪽=353–423|doi=10.1216/RMJ-2012-42-2-353|mr=2915498|zbl=06035442|issn=0035-7596|언어=en}}</ref>{{rp|§3}}

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[단체 집합]]
* [[CW 복합체]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Simplicial complex}}
* {{eom|title=Simplicial space}}
* {{eom|title=Triangulation}}
* {{eom|title=Polyhedron, abstract}}
* {{매스월드|id=SimplicialComplex|title=Simplicial complex}}
* {{매스월드|id=SimplicialSubcomplex|title=Simplicial subcomplex}}
* {{매스월드|id=SimplicialHomology|title=Simplicial homology}}
* {{매스월드|id=LocallyFiniteComplex|title=Locally finite complex}}
* {{매스월드|id=AbstractSimplicialComplex|title=Abstract simplicial complex}}
* {{매스월드|id=Triangulation|title=Triangulation}}
* {{nlab|id=simplicial complex|title=Simplicial complex}}
* {{nlab|id=simplicial homology|title=Simplicial homology}}
* {{nlab|id=singular simplicial complex|title=Singular simplicial complex}}
{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:대수적 위상수학]]