대수기하학 문서 원본 보기

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'''대수기하학'''(代數幾何學, {{llang|en|algebraic geometry}})은 대수적 방정식들의 해집합으로 정의될 수 있는 기하학적 대상들 및 이들 사이의 관계를 대수적 방법으로 연구하는 [[수학]] 분야이며, 현재 수학 분야들 중 가장 세분화된 분야 중 하나다.

== 전개 ==
=== 다항식의 영점 ===
[[파일:Slanted circle.png|프레임|[[구 (기하학)|구]]와 기울어진(slanted) [[원 (기하학)|원]]]]
고전적인 대수기하학에서 주 관심사는 여러 [[다항식]]들을 모은 집합이 있을 때 거기에 속하는 모든 다항식들의 값이 0이 되는 집합이 기하학적으로 어떤 성질을 갖는가 하는 것이었다. 예를 들어, 2차원 [[구 (기하학)|구]]는 3차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^3</math>에서

:<math>x^2\ +\ y^2\ +\ z^2-1\ =\ 0</math>

을 만족시키는 점 <math>(x, y, z)</math>들의 집합으로 정의될 수 있다. 비슷하게, <math>\mathbb R^3</math>에서 다음의 두 식

:<math>
\begin{array}{lllllll}
x^2 &+& y^2 &+& z^2-1 &=& 0 \\
x   &+& y   &+& z     &=& 0
\end{array}
</math>

을 둘 다 만족시키는 점들의 집합은 원이 된다.

=== 아핀 대수다양체 ===
{{본문|아핀 대수다양체}}
먼저 <math>k</math>가 [[체 (수학)|체]]라 하자. 고전적 대수기하학에서는 언제나 <math>k</math>를 복소수체 <math>\mathbb C</math>로 놓았으나, 실제로는 <math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체|대수적으로 닫혀있다]]는 가정만 하면 대부분의 결과가 동일하게 성립한다. 이때 <math>\mathbb A^n(k)</math>를 <math>k_n</math>으로 정의하여 '''<math>k</math>상의 <math>n</math>차원 아핀 공간'''이라 하고, <math>k</math>가 문맥에서 명확한 경우에는 단순히 <math>\mathbb A^n</math>이라고 쓴다. 이는 쓸데없는 정의로 보일 수도 있지만, <math>k^n</math>이 갖는 [[벡터 공간]]으로서의 구조를 '무시하기' 위한 것으로 볼 수 있다. 즉, <math>\mathbb A^n</math>을 단순한 점집합으로 보자는 것이다.

함수 <math>f: \mathbb A^n \to \mathbb A^1</math>가 다항식으로 표현될 수 있을 경우, 이를 '''정칙 함수'''(regular function)라 한다. 구체적으로는, <math>k[x_1,\cdots,x_n]</math>에 속하는 적당한 다항식 <math>p</math>가 있어서 <math>\mathbb A^n</math>에 속하는 임의의 점 <math>(t_1,\cdots,t_n)</math>에 대해 <math>f(t_1,\cdots,t_n) = p(t_1,\cdots,t_n)</math>이 성립하는 경우를 말한다.

따라서 <math>n</math>차원 아핀 공간 상의 정칙 함수는 <math>k</math>상의 <math>n</math>변수 다항식과 동일한 것이며, 이를 <math>k[\mathbb A^n]</math>로 쓴다.

다항식의 값이 0이 되는 점을 그 다항식의 '''영점'''이라고 한다. <math>S</math>가 <math>k[\mathbb A^n]</math>의 부분집합일 때, <math>S</math>에 속하는 모든 다항식들이 0이 되는 점을 <math>V(S)</math>로 쓰고, '<math>S</math>의 영점'이라고 한다. 기호로 쓰면 다음과 같다:

:<math>V(S) = \{(t_1,\cdots,t_n) \in\mathbb A^n | \forall p \in S, p(t_1,\cdots,t_n) = 0\}</math>

<math>\mathbb A^n</math>의 부분 집합이 적당한 <math>S</math>에 대해 <math>V(S)</math>와 일치할 경우, 이를 '''대수적 집합'''이라 한다. 여기에서 <math>V</math>는 아래에서 설명할 특수한 종류의 대수적 집합인 [[대수다양체]]({{llang|en|variety}})의 첫 글자를 딴 것이다.

역으로, 대수적 집합 <math>U</math>가 주어졌을 때 이로부터 <math>V(S) = U</math>가 되는 집합 <math>S</math>를 찾아내는 문제를 생각해 보자. <math>U</math>가 임의의 <math>\mathbb A^n</math>의 부분집합일 때, <math>I(U)</math>를 영점이 <math>U</math>를 포함하는 다항식들의 집합으로 정의한다. 여기에서 <math>I</math>는 ideal([[아이디얼]])의 첫 글자이다. 다항식 <math>f</math>와 <math>g</math>가 <math>U</math>에서 0이 될 경우, <math>f+g</math>도 <math>U</math>에서 0이 되며, 임의의 다항식 <math>h</math>에 대해 <math>hf</math>도 <math>U</math>에서 0이 되므로, <math>I(U)</math>는 언제나 <math>k[\mathbb A^n]</math>의 아이디얼이 되기 때문이다.

이제 다음과 같은 두 질문을 제기할 수 있다.
# <math>\mathbb A^n</math>의 부분집합 <math>U</math>에 대해, 어떤 경우에 <math>U = V(I(U))</math>가 성립할까?
# 다항식들의 집합 <math>S</math>에 대해, 어떤 경우에 <math>S = I(V(S))</math>가 성립할까?

첫 번째 질문에 대한 대답은 [[자리스키 위상]]을 도입함으로써 얻을 수 있다. 자리스키 위상은 <math>\mathbb A^n</math> 상에 정의되는, <math>k[\mathbb A^n]</math>의 대수적 구조가 반영된 위상이다. 이때 <math>U = V(I(U))</math>가 성립할 [[필요충분조건]]은 <math>U</math>가 자리스키 위상에서 닫힌 집합이라는 것이다. 두 번째 질문에 대한 대답은 [[힐베르트 영점 정리]]이다. 이 정리의 한 형태에 따르면, <math>I(V(S))</math>는 <math>S</math>에 의해 생성되는 [[소근기]]이다. 보다 추상적인 언어로 말하자면, <math>I</math>와 <math>V</math> 사이에는 [[갈루아 대응]](Galois connection)이 있으며, 둘을 합성하면 [[폐포 (위상수학)|폐포 연산자]]가 된다는 것이다.

[[힐베르트 기저 정리]](Hilbert's basis theorem)에 따르면 <math>k[\mathbb A^n]</math>의 모든 아이디얼은 유한 생성된다. 따라서 아이디얼 전체가 아닌 유한개의 다항식만을 대상으로 논리를 전개해서 정리를 증명할 수도 있으며, 이는 기초적인 대수기하학에서 중요한 도구가 된다.

그보다 작은 두 대수 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 대수 집합을 '''기약 대수 집합'''(irreducible algebraic set)이라 하며, 이를 또한 '''[[대수다양체]]'''라고도 부른다. 대수 집합이 대수다양체가 될 필요충분조건은 그 집합을 정의하는 다항식들의 집합이 다항식환 내에서 [[소 아이디얼]]을 생성한다는 것이다.

즉, [[대수적으로 닫힌 체]] ''k''의 경우, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.
{| class="wikitable"
|-
! 다항식환 <math>k[\mathbb A^n]</math>의 대수적 성질 !! [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n(k)</math>의 기하학적 대상
|-
| [[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math> || 아핀 대수 집합 <math>V(\mathfrak a)=\bigcap_{a\in\mathfrak a}a^{-1}(0)\subset\mathbb A^n</math> ([[자리스키 위상]]에서 닫힌 부분 집합)
|-
| 환의 원소 <math>f\in k[\mathbb A^n]</math> || 아핀 공간 위의 정칙함수 <math>f\colon \mathbb A^n\to k</math>
|- 
| [[극대 아이디얼]] <math>(x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_n-a_n)</math> || 아핀 공간의 점 <math>(a_1,a_2,\dots,a_n)\in\mathbb A^n</math> ([[스킴 (수학)|스킴]]에서의 닫힌 점)
|-
| [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math> || (기약) 아핀 대수다양체 <math>V(\mathfrak p)=\bigcap_{p\in\mathfrak p}p^{-1}(0)\subset\mathbb A^n</math> ([[스킴 (수학)|스킴]]에서의 닫히지 않은 점)
|-
| (유한 개의) 아이디얼의 곱 <math>\mathfrak a\mathfrak b</math> || 대수 집합의 합집합 <math>V(\mathfrak a)\cup V(\mathfrak b)</math>
|- 
| (임의의 개수의) 아이디얼의 합 <math>\sum_{\alpha\in I}\mathfrak a_\alpha</math> || 대수 집합의 교집합 <math>\bigcap_{\alpha\in I}V(\mathfrak a_\alpha)</math>
|-
| [[소근기]] <math>\sqrt{\mathfrak a}</math> || [[자리스키 위상]]에서의 [[폐포 (위상수학)|폐포]] <math>\operatorname{cl}(V(\mathfrak a))</math>
|-
| 영 아이디얼 <math>\{0\}\subset k[\mathbb A^n]</math> || 아핀 공간 전체 <math>\mathbb A^n</math>
|-
| 단위 아이디얼 <math>k[\mathbb A^n]</math> || 공집합 <math>\varnothing\subset\mathbb A^n</math>
|-
| 아이디얼에  대한 [[몫환]] <math>k[\mathbb A^n]/\mathfrak a</math> || 대수 집합 위 정칙함수(regular function) <math>V(\mathfrak a)\to k</math>들의 환 <math>I(V(\mathfrak a))</math>
|-
| 몫환에서의 동치류 <math>f+\mathfrak a\in k[\mathbb A^n]/\mathfrak a</math> || 정칙함수의 <math>V(\mathfrak a)</math>에 대한 제한
|-
| [[소 아이디얼]]에 대한 [[몫환]]의 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}(k[\mathbb A^n]/\mathfrak p)</math> || 대수다양체 <math>V(\mathfrak p)</math> 위 [[유리 함수층|유리 함수체]]
|-
| 소 아이디얼에 대한 몫환의 [[크룰 차원]] (=몫환의 분수체의 [[초월 차수]](transcendence degree)) || 대수다양체의 차원
|}

즉, 아이디얼들의 곱과 합은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서 닫힌 집합들의 공리(유한개의 닫힌 집합의 합집합 또는 임의의 개수의 닫힌 집합의 교집합 역시 닫힌 집합)를 만족한다. 따라서, 아이디얼들을 어떤 위상의 닫힌 집합으로 볼 수 있다. 이를 [[자리스키 위상]]이라고 한다.

=== 정칙 함수 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서 자연스러운 사상은 [[연속 함수]]이고 [[매끄러운 다양체]]에서 자연스러운 사상이 [[매끄러운 함수]]인 것처럼, 대수 집합에서도 소위 '''정칙 함수'''(regular functions)라고 부르는 자연스러운 함수 부류가 있다. [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n</math>에 속해있는 대수 집합 <math>V</math> 상의 정칙 함수란, 앞서 우리가 정의한 의미로, <math>\mathbb A^n</math> 상의 정칙 함수에 제한 함수(restriction)로써 정의된다.

정칙 함수가 임의의 공간으로 항상 확장되기를 요구하는 것은 부자연스러운 제약처럼 보이며, 매우 비슷한 상황이 정규 (위상) 공간에도 있다. 이때는 [[티체 확장정리]]에 의하여, [[닫힌 집합]] 위에 정의된 [[연속 함수]]는 반드시 임의의 위상 공간으로 확장 가능하다는 것이 보장된다.

아핀 공간 상의 정칙 함수에서도, <math>V</math> 상의 정칙 함수들은 환을 이루며, <math>k[V]</math>로 표시한다. 이 환을 <math>V</math>의 '''좌표환'''(坐標環,{{llang|en|coordinate ring}})이라고 한다.

<math>V</math> 상의 정칙 함수들은 <math>\mathbb A^n</math> 상의 정칙 함수에서 나오므로, 이들의 좌표환들 사이에는 관련성이 있다. 특히, <math>k[V]</math> 안의 함수를 얻기 위하여 <math>k[\mathbf A^n]</math> 의 함수를 잡자. 만약 이것이 <math>V</math>에서도 값을 가질 때에, 그 값이 같게 나온다면, 우리는 그것이 다른 함수(<math>k[V]</math>안의 함수들)들과 같은 것이라고 말한다. 이것은 <math>V</math> 상에서 그(함수)들의 차가 0이라는 것과 같다. 이것으로부터, <math>k[V]</math>는 <math>k[\mathbf A^n]/I(V)</math>으로 볼 수도 있다.

== 분야 ==
대수기하학의 주된 분야로는 다음이 있다.
* '''고전적 대수기하학'''은 [[복소수]]와 같은 [[대수적으로 닫힌 체]]에서의 [[대수다양체]]의 분류를 목표로 한다. 즉, 주어진 차원에서 대수다양체의 [[쌍유리 동치]]에 대한 동치류를 열거하고, 또한 주어진 대수다양체 속에서 부분다양체로 존재하는 대수다양체들의 동치류를 분류한다.
* '''[[불변량 이론]]'''({{llang|en|invariant theory}})은 [[군 (수학)|군]]의 [[대수다양체]] 위의 [[군의 작용|작용]]을 연구한다. 현대 대수기하학에서, 이는 [[데이비드 멈퍼드]]의 '''[[기하 불변량 이론]]'''({{llang|en|geometric invariant theory}})으로, [[스킴 (수학)|스킴]]의 언어로 재정의되었다.
* '''[[교차 이론]]'''({{llang|en|intersection theory}})은 대수기하학 위에, [[대수적 위상수학]]의 [[호몰로지]]와 유사한 구조들을 정의하는 이론이다.
* '''[[산술기하학]]'''은 [[유리수체]]나 [[대수적 수체]] 위의 [[스킴 (수학)|스킴]]을 다룬다. 예를 들어, [[디오판토스 방정식]]은 이러한 스킴을 정의한다. 이 경우, 수론적인 문제를 기하학적인 문제로 재해석하여, 기하학적 기법을 적용할 수 있다.
* '''실수 대수기하학'''({{llang|en|real algebraic geometry}})은 복소수 대신 [[실수]] 위의 초곡면들을 다룬다. 이 경우, 실수가 [[대수적으로 닫힌 체]]가 아니기 때문에 복소수의 경우 등장하지 않는 여러 현상들이 존재한다.
* '''특이점 이론'''({{llang|en|singularity theory}})에서는 [[대수다양체]]의 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]을 분류·연구한다.
* '''계산 대수기하학'''({{llang|en|computational algebraic geometry}})에서는 주어진 [[대수다양체]]의 성질들을 계산하는 [[알고리즘]]을 다룬다.
* '''비가환 대수기하학'''({{llang|en|noncommutative algebraic geometry}})은 [[스킴 (수학)|스킴]]이 국소적으로 [[가환환]]인 것과 반대로, 비가환 대수적 구조들을 기하학적 기법들로 다룬다. 이는 (해석적) [[비가환 기하학]]에 대응한다.

== 역사 ==
대수기하학은 초기에는 [[데카르트 좌표계]] 위에 [[유한]]개의 대수방정식들을 만족하는 해들의 자취로 표현되는 대상, 이른바 [[대수다양체]]를 연구하는 [[기하학]] 분야였다. 그러나 시간이 지날수록 급격한 발달을 거치면서, 그 연구 대상이 점점 확대되다가 20세기 중반 이후 [[알렉산더 그로텐디크]]에 의해서 굉장히 일반화 된 [[스킴 (수학)|스킴]]이 탄생하면서부터 전통적인 복소대수기하학에서부터 [[정수론]]까지 폭넓은 분야를 연구하는 기본적인 도구로 사용되고 있다.

=== 19세기 이전 ===
고대 그리스의 수학자들은 [[원뿔 곡선]] 및 [[이차 곡면]]과 같은, 간단한 실수 [[대수다양체]]들을 연구하였다. 또한, 고대의 수학은 [[대수학]] 대신 [[기하학]]에 중점을 두었으므로, 대수적인 문제들을 기하학적인 문제로 변환시켜 푸는 경우가 많았다. 예를 들어, 10세기 수학자 [[이븐 알 하이삼]]<ref name="Kline"/>{{rp|193}} 및 11세기 수학자 [[오마르 하이얌]]<ref name="Kline">Kline, M. (1972) ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' (Volume 1). Oxford University Press.</ref>{{rp|193–195}}은 3차 방정식을 곡선의 교차점을 사용하여 풀었다.

[[프랑수아 비에트]]와 [[르네 데카르트]]는 좌표계를 사용하여, 기하학적인 문제들을 대수적인 문제로 어떻게 변환시킬 수 있는지 발견하였다. 동시대의 [[블레즈 파스칼]]과 [[지라르 데자르그]]는 순수하게 기하학적인 방법으로 [[사영기하학]]을 개발하였다. 그러나 18세기에 들어 [[미적분학]]의 발견과 함께 [[해석학 (수학)|해석적]]인 방법들이 도입되면서, 기하학의 대수적 접근에 대한 관심이 수그러들었다.

=== 19세기~20세기 초 ===
19세기에는 [[비유클리드 기하학]]과 [[아벨 함수]]의 발견으로 인하여, 잊혀졌던 대수적 기법들이 다시 중요해졌다. [[아서 케일리]]는 [[사영 공간]] 위의 [[이차 형식]]을 연구하였고, [[펠릭스 클라인]]은 [[에를랑겐 프로그램]]의 일환으로 사영기하학을 체계적으로 연구하였고, [[쌍유리 변환]]의 개념을 정의하였다. 또한, [[아벨 적분]]의 발견으로 [[베른하르트 리만]]은 [[리만 곡면]]을 정의하였고, [[리만-로흐 정리]]를 증명하였다.

이 동안, 대수기하학의 기반이 되는 [[가환대수학]]이 발전하게 되었다. [[다비트 힐베르트]]는 [[힐베르트 영점 정리]] 및 [[힐베르트 기저 정리]]를 증명하였고, 프랜시스 매콜리({{llang|en|Francis Macaulay}})는 [[소거 이론]]({{llang|en|elimination theory}})을 개발하였다. 이는 오랫동안 잊혀져 있다가, 이후 최근 [[특이점 이론]]의 기반으로 부활하게 되었다.

[[귀도 카스텔누오보]], [[페데리고 엔리퀘스]], [[자코모 알바네세]], [[파스콸레 델 페초]], [[프란체스코 세베리]], [[주세페 베로네세]] 등으로 구성된 이탈리아 학파는 대수다양체들을 쌍유리 동치 아래 분류하는 것을 목표로 삼았고, 이들은 모든 [[대수 곡면]]들을 분류하는 데 성공하였다 ([[엔리퀘스-고다이라 분류]]). 그러나 이들의 업적은 공리적으로 엄밀하지 못했고, 상당 부분은 훗날 오류로 밝혀졌으나 다른 부분들은 후대에 엄밀하게 재증명되었다.

=== 20세기 중반 이후 ===
[[바르털 레인더르트 판데르바르던]]과 [[오스카 자리스키]], [[앙드레 베유]]는 당시 존재하는 [[가환대수학]]을 사용하여, 이탈리아 학파의 결과들을 엄밀한 기반으로 재증명하였다.

1950~1960년대 동안에 [[장피에르 세르]]와 [[알렉산더 그로텐디크]]는 [[층 (수학)|층]] 이론을 사용하여 대수기하학의 기초를 재정의하였다. 1960년대 동안에 그로텐디크는 [[스킴 (수학)|스킴]]의 개념을 도입하였고, 스킴 이론과 [[호몰로지 대수학]]을 사용하여 [[대수적 수론]]을 대수기하학의 일부로 흡수하였다.

20세기 말에 와서는 [[컴퓨터]]의 발달로 계산 대수기하학이 발달하였다. [[그뢰브너 기저]]는 1956년에 도입되었고, 대수기하학적 알고리즘들의 기반을 이룬다. 또한, [[타원 곡선]]의 이론은 [[타원곡선 암호]]로 응용되었다.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
{{포털|수학}}
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=대수기하학: 완전교차를 중심으로|저자=조영현|총서=대우학술총서 자연과학|권=068|출판사=민음사|isbn=89-374-3568-3|날짜=1991-04-01|url=http://minumsa.minumsa.com/book/966/|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=현대 사영기하와 대수기하학|저자=김양곤|공저자=서경식, 김종진, 조용환, 곽효철, 정종우, 마인숙|출판사=경문사|날짜=2002|isbn=978-8-972-82540-1|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2188|언어=ko|access-date=2013-07-17|archive-date=2015-02-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20150222114030/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2188|url-status=}}
* {{서적 인용|제목=대수 기하의 이해|저자= 대구대학교 수학교재편찬위원회|출판사=대구대학교 출판부 |날짜=2003|isbn=978-89-7794266-0|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=대수기하 이야기|저자= 한재영|출판사=교우사 |총서=대학수능자녀를 둔 부모가 읽을 교양수학 시리즈| 권=2 | url=http://www.kyowoo.co.kr/02_sub/view.php?p_idx=172|날짜=2009|isbn=89-8172-370-2|언어=ko}}
* {{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}
* {{서적 인용
 | 이름=Miles|성=Reid
 | 날짜 = 1989
 | title = Undergraduate algebraic geometry
 | publisher = Cambridge University Press
 | isbn = 978-0-521-35559-9
 | 총서=London Mathematical Society Student Texts|권=12
 |mr=0982494 | zbl = 0701.14001 | 언어=en
 |doi=10.1017/CBO9781139163699
}}
* {{서적 인용
 | 이름=Joe|성=Harris
 | 날짜 = 1995
 | title = Algebraic geometry: a first course
 | series=Graduate Texts in Mathematics|권=133|issn=0072-5285
 | publisher = Springer
 | isbn =978-0-387-97716-4
 | zbl = 0779.14001 | mr=1416564  | 언어=en
 | doi =10.1007/978-1-4757-2189-8
}}
* {{서적 인용|이름=William|성=Fulton|제목=Algebraic curves: an introduction to algebraic geometry|출판사=Addison-Wesley|총서=Advanced Book Classics|isbn= 0-201-51010-3|mr=1042981|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf|날짜=1989|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Donu|성=Arapura|날짜=2012|제목=Algebraic geometry over the complex numbers|url=http://www.math.purdue.edu/~dvb/book.html|출판사=Springer|총서=Universitext|isbn=978-1-4614-1808-5|doi=10.1007/978-1-4614-1809-2|zbl=1235.14001|issn=0172-5939|언어=en}}
* {{서적 인용
 |이름       = Qing
 |성          = Liu
 |날짜       = 2006-06-29
 |제목       = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |기타       = Reinie Erne 역
 |총서       = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume       = 6
 |출판사    = Oxford University Press
 |isbn         = 978-0-19-920249-2
 |zbl          = 1103.14001
 |mr           = 1917232
 |판          = 2
 |url          = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2015-02-22
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜 = 2016-03-05
 |url-status = dead
}}
* {{서적 인용 |last1=Griffiths |first1=Philip |저자링크=필립 오거스터스 그리피스 |last2=Harris |first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | series=Wiley Classics Library | publisher= Wiley | 날짜=1994-08 | isbn=978-0-471-05059-9 | doi=10.1002/9781118032527|판=2|zbl=0836.14001|mr=1288523 |언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{저널 인용|제목=대수기하학|저자=금종해|저널=대한수학회소식|쪽=2–5|url=http://www.mathnet.or.kr/pub/kms/news73.pdf|권=73|확인날짜=2013-07-16|보존url=https://web.archive.org/web/20160304172109/http://mathnet.or.kr/pub/kms/news73.pdf|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}
* {{저널 인용|url=http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2008_37/KN_2008_37_04.pdf|제목=대수기하학|저널=과학의 지평|날짜=2008-04-01|권=37|저자=금종해|쪽=4–11|access-date=2020-07-08|archive-date=2020-07-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20200708112310/http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2008_37/KN_2008_37_04.pdf|url-status=}}
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