대수 곡선 문서 원본 보기

[[대수기하학]]에서 '''대수 곡선'''(對數曲線, {{llang|en|algebraic curve}})은 1차원의 [[대수다양체]]이다.<ref name="Fulton">{{서적 인용|이름=William|성=Fulton|제목=Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry|출판사=Addison-Wesley|총서=Advanced Book Classics|isbn= 0-201-51010-3|mr=1042981|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf|날짜=1989}}</ref><ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref> 대수기하학에서 다루는 대상 중 가장 간단한 대상에 속한다.

== 정의 ==
고전적으로, '''대수 곡선'''은 [[대수 다양체의 차원|차원]]이 1인 [[대수다양체]]이다. 현대 대수기하학에서는 [[스킴 (수학)|스킴]] 이론의 발달로 이 정의가 더 일반화되었으며, 임의의 1차원 [[스킴 (수학)|스킴]]을 일컫는다.

== 성질 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 대수 곡선에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2a}}
* [[완비 대수다양체]]이다.
* [[사영 대수다양체]]이다.
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 모든 완비 대수 곡선은 [[비특이 대수다양체|비특이]] 사영 평면 곡선과 [[쌍유리 동치]]이다. 또한, 복소수체의 경우 모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 곡면]]은 항상 대수적이다. (이는 2차원 이상에서 성립하지 않는다.) 즉, 콤팩트 리만 곡면은 [[복소수체]]에 대한 비특이 사영 대수 곡선을 이루며, 항상 3차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb CP^3</math>으로 매장할 수 있다. 따라서, 다음 3개의 분류 문제가 일치한다.
* 완비 대수 곡선의 쌍유리 동치류에 대한 분류
* 비특이 사영 평면 곡선들의 동형에 대한 분류
* (복소수체 위의 경우) 연결 콤팩트 리만 곡면의 [[쌍정칙 함수]]에 대한 분류
비특이 대수 곡선은 일차적으로 '''종수'''(種數, {{llang|en|genus}}) <math>g</math>로 분류되며, 이는 [[쌍유리 불변량]]이다. 종수는 음이 아닌 정수이며, 이는 위상수학적으로 <math>g</math>개의 [[원환면]]들의 [[연결합]]인 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 곡면]]에 대응한다. 각 종수에 대하여, 비특이 대수 곡선들의 [[모듈러스 스택]] <math>\mathcal M_g</math>이 존재한다. 만약 비특이성 조건을 약화시켜 모든 [[안정 곡선]]들의 모듈러스 공간 <math>\bar{\mathcal M}_g</math>을 고려하면, 이는 [[콤팩트 공간]]을 이룬다. <math>\mathcal M_g</math>의 비특이 [[피복 공간]]은 '''[[타이히뮐러 공간]]'''이라고 한다.

종수가 0인 대수 곡선은 '''[[유리 곡선]]'''이라고 하며, 종수가 1인 대수 곡선은 '''[[타원 곡선]]'''이라고 한다. 유리곡선은 [[사영 직선]]과 [[쌍유리 동치]]이다.

=== 특이 대수 곡선 ===
특이점을 갖는 대수 곡선의 동형에 대한 분류는 힘들다. 특이 대수 곡선의 경우 일반적으로 [[산술종수]]는 [[기하종수]]보다 더 크다. 특이 대수 곡선의 경우, [[정규 스킴|정규화]]를 취하면 항상 비특이 대수 곡선을 이룬다. [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 1차원 [[정역 스킴|정역]] 사영 스킴 <math>C</math>의 정규화 <math>\tilde C\to C</math>가 주어졌을 때, 임의의 점 <math>x\in C</math>에 대하여 다음과 같은, <math>C</math> 위의 [[가군층]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\mathcal O_C\to f_*\mathcal O_{\tilde C}\to(f_*\mathcal O_{\tilde C})/\mathcal O_C\to0</math>
닫힌 점 <math>x\in C</math>에서, 몫층 <math>(f_*\mathcal O_{\tilde C}/\mathcal O_C</math>의 [[줄기 (수학)|줄기]]는 다음과 같다.
:<math>\left(\frac{f^*\mathcal O_{\tilde C}}{\mathcal O_C}\right)_x\cong\tilde{\mathcal O}_x/\mathcal O_x</math>
여기서 <math>\tilde{\mathcal O_x}\subset\operatorname{Frac}\mathcal O_x</math>는 [[정역]] <math>\mathcal O_x</math>의, [[분수체]] 속에서의 [[정수적 폐포]]이다. 이 경우, 정규화 <math>\tilde C</math>는 비특이 대수 곡선이며, <math>C</math>의 산술 종수는 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|298, Exercise IV.1.8}}
:<math>p_a(C)=g(\tilde C)+\sum_{x\in C}\operatorname{length}(\tilde{\mathcal O}_x/\mathcal O_x)</math>
여기서 <math>\operatorname{length}</math>는 [[가군의 길이]]이며, 오직 유한 개의 점들에서의 줄기가 양의 길이를 갖는다는 것을 보일 수 있다.

정규화 대신 [[부풀리기]]를 통해서도 대수 곡선의 모든 특이점을 해소할 수 있으며, 이 경우 산술종수를 감소시키는 방향으로 거듭하여 부풀리기를 가해야 한다. 기하 종수는 [[쌍유리 불변량]]이지만, 산술 종수는 쌍유리 불변량이 아니다. 특이 대수 곡선 <math>C</math>에서 주어진 특이점 <math>z\in C</math>을 [[부풀리기]]를 통해 해소하여 <math>\tilde C</math>를 얻었다고 하자.
:<math>\pi\colon\tilde C\twoheadrightarrow C</math>
만약 특이점의 중복도가 <math>\operatorname{mult}z</math>라고 한다면, <math>\tilde C</math>의 산술 종수 <math>p_a</math>는 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|389, Corollary V.3.7}}
:<math>p_a(\tilde C)=p_a(C)-\frac12(\operatorname{mult}z)(\operatorname{mult}z-1)</math>
즉, 특이점을 해소할 때마다 산술 종수가 감소한다.

=== 산술적 곡선 ===
유리수체나 정수환 등 위의 대수 곡선의 분류는 매우 복잡하며, [[대수적 수론]]의 주요 연구 분야이다. 예를 들어, [[수체]]의 [[대수적 정수환]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}\mathcal O_K</math>은 1차원 [[스킴 (수학)|스킴]]을 이룬다.

=== 사영 공간 속의 대수 곡선 ===
대수 곡선을 사영 공간에 매장하였을 경우, '''차수'''(次數, {{llang|en|degree}})라는 불변량을 정의할 수 있다. 사영 공간 <math>\mathbb P^n</math> 속의 대수 곡선의 차수는 일반적 <math>n-1</math>차원 초평면과의 교차점의 수이다.

''n''차원 [[사영 공간]]에서 <math>n-1</math>개의 [[동차다항식]] <math>p_1,\dots,p_{n-1}</math>의 [[완전 교차]]로 주어지는 대수 곡선 <math>C</math>의 차수는 각 다항식들의 차수의 곱이다.
:<math>\deg C=\prod_{i=1}^{n-1}\deg p_i</math>

== 평면 곡선 ==
'''사영 평면 곡선'''(射影平面曲線, {{llang|en|projective plane curve}})은 [[사영 평면]] <math>\mathbb P^2</math> 속의 대수 곡선이다. [[첨가 공식]] 및 [[리만-로흐 정리]]를 통해 (산술)종수와 차수는 다음과 같은 관계를 가진다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|54}}
:<math>g=\binom{d-1}2=\frac12(d-1)(d-2)</math>
이를 '''종수-차수 공식'''({{llang|en|genus–degree formula}})이라고 한다. 비특이 평면 곡선의 경우 위 값은 [[기하종수]]와 같지만, 특이 평면 곡선의 경우 기하종수는 위 값보다 더 작다.

낮은 차수의 비특이 평면 곡선에는 다음과 같은 이름이 있다.
* 1차 평면 곡선: '''[[사영 직선]]''' (=1차원 [[사영 공간]])
* 2차 평면 곡선: '''[[원뿔 곡선]]''' (=1차원 [[2차 초곡면]])
* 3차 평면 곡선: '''[[3차 곡선]]''' (=1차원 [[아벨 다양체]])

=== 평면 곡선의 특이점 ===
평면 곡선은 유한 개의 특이점들을 가질 수 있다. 국소적으로, 특이점 근처에서 평면 곡선이 <math>f\in\mathbb C[x,y]</math>에 대하여 <math>f=0</math>으로 정의된다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 불변량들을 정의할 수 있다.
* 특이점의 '''중복수'''(重複數, {{llang|en|multiplicity}}) <math>\operatorname{mult}(f)</math>은 <math>f</math>의 도함수가 0인 최고 차수이다.
*:<math>\operatorname{mult}f=\max\left\{n\in\mathbb N\colon\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}f(0,0)=0\forall i_1,\dots,i_n\in\{x,y\}\right\}</math>
*특이점의 '''밀너 수'''(Milnor數, {{llang|en|Milnor number}}) <math>\mu</math>는 위상수학적으로 특이점 근처의 작은 [[구 (기하학)|구]] 위에서 [[연속 함수]] <math>\nabla f(x,y)/\Vert \nabla f(x,y)\Vert</math>의 [[연속함수의 차수|차수]]이다. 대수적으로, 이는 다음과 같다.
*:<math>\mu(f)=\dim_{\mathbb C}\frac{\mathbb C[x,y]}{(\partial_xf,\partial_yf)}</math>
* <math>\delta</math>는 특이점의 '''델타 불변량'''(δ不變量, {{llang|en|delta-invariant}})이다.
* <math>r</math>는 특이점의 '''분지수'''(分枝數, {{llang|en|branching number}})이다.

일부 종류의 특이점은 전통적인 이름을 갖는다. 중복수·델타 불변량·분지수 <math>[m,\delta,r]</math>가 주어졌을 때,
* '''<math>n</math>중점'''(<math>n</math>重點, {{llang|en|<math>n</math>-tuple point}})은 <math>[n,n(n-1)/2,n]</math>의 꼴의 특이점이다.
* '''첨점'''(尖點, {{llang|en|cusp}})은 <math>[2,1,1]</math>의 꼴의 특이점이다.

<math>d</math>차 특이 평면 곡선의 경우, 다음과 같은 '''종수-차수 공식'''이 성립한다.
:<math>g = \frac12(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P</math>
이는 [[첨가 공식]] 또는 [[리만-후르비츠 공식]]을 통해 증명할 수 있다.

== 공간 곡선 ==
'''사영 공간 곡선'''(射影空間曲線, {{llang|en|projective space curve}})은 3차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^3</math> 속의 대수 곡선이다.
공간 곡선의 경우, 가능한 종수와 차수의 관계는 더 복잡하다. 차수가 <math>d\le 7</math>인 경우는 완전히 분류되었으나, <math>d\ge8</math>은 아직 완전히 알려지지 않았다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|353–354}}

일반적으로, 평면 곡선이 아닌 ''d''차 ''g''종 대수 곡선의 경우 <math>d\ge3</math>이다. 이 경우 가능한 종수들은 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|351}}
* <math>g\le d-3</math>인 경우 항상 이 종수를 가진 대수 곡선이 존재한다.
* <math>d-3<g<\lfloor d^2/4\rfloor-d+1</math>인 경우 일반적으로 대수 곡선이 존재하는지 여부가 알려져 있지 않다.
* <math>g=\lfloor d^2/4\rfloor-d+1</math>인 경우 항상 대수 곡선이 존재하며, 이는 항상 [[이차 곡면]]의 부분 곡선이다.
* <math>g>\lfloor d^2/4\rfloor-d+1</math>는 (평면 곡선 <math>g=(d-1)(d-2)/2</math>을 제외하고는) 불가능하다.

현재까지 알려져 있는 가능한 공간 곡선의 차수와 종수는 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|354}}
{| class="wikitable"
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! ''g'' / ''d''
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|}
여기서 각 칸의 기호는 다음을 의미한다.
* ○: 평면 곡선이 존재
* ●: 평면 곡선이 아닌 공간 곡선이 존재
* ?: 공간 곡선의 존재 여부가 알려지지 않음
* (비어 있음): 공간 곡선 불가능

=== 대수 곡면의 완전 교차 ===
3차원 [[사영 공간]] 속에서, 차수 <math>d_1</math>, <math>d_2</math>의 두 [[대수 곡면]]의 [[완전 교차]]로 얻어지는 대수 곡선의 [[산술 종수]] <math>p_a</math>는 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|54, Exercise I.7.2(b)}}
:<math>p_a=\frac12d_1d_2(d_1+d_2-4)+1</math>
만약 곡선이 비특이 대수 곡선이라면 이는 [[기하 종수]]와 같다. 예를 들어, [[유리 곡선]]이나 [[타원 곡선]] 등을 얻으려면, 다음과 같은 비특이 완전 교차를 취하면 된다.
* 종수 0: (1,1), (1, 2)
* 종수 1: (1,3), (2,2)
* 종수 3: (1,4)
* 종수 4: (2,3)

== 예 ==
(복소수) 평면 곡선의 예로는 다음을 들 수 있다. 사영 평면의 [[동차좌표]]가 <math>[x:y:z]</math>라고 하자.

=== 1차 · 2차 곡선 ===
[[사영 직선]]은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0</math>
임의의 0이 아닌 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>(a,b,c)\mapsto(\alpha a,\alpha b,\alpha c)</math>는 같은 곡선을 정의하므로, 사영 직선의 모듈러스 공간은 <Math>\mathbb P^2</math>이다. 사영 직선은 평면 위의 2개의 일반적인 점으로부터 결정된다. 복소수체 위에서, 사영 직선은 위상수학적으로 [[리만 구]] <math>\mathbb{CP}^1</math>이다.

[[원뿔 곡선]]은 다음과 같은 2차 곡선이다.
:<math>\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\qquad(M=M^\top)</math>
여기서 <math>M</math>은 3×3 복소수 [[대칭 행렬]]이다. 3×3 복소수 대칭 행렬은 6개의 독립된 성분을 가지며, 임의의 0이 아닌 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>M</math>과 <math>\alpha M</math>은 같은 원뿔 곡선을 정의하므로, 평면 원뿔 곡선의 모듈러스 공간은 <math>\mathbb P^5</math>이다. 즉, 평면 원뿔 곡선은 5개의 일반적인 점으로부터 결정된다. 만약 <math>M</math>이 [[가역 행렬]]이 아닌 경우, 원뿔 곡선은 더 이상 (기약) 대수다양체가 아니며, 두 개의 사영 직선의 합집합이 된다.

=== 3차 곡선 ===
[[파일:Cusp.svg|섬네일|right|첨점을 갖는 3차 곡선 <math>y^2=x^3</math>]]
[[파일:Cubic with double point.svg|섬네일|right|이중점을 갖는 3차 곡선 <math>y^2=x^2(x+1)</math>]]
비특이 3차 곡선은 [[타원 곡선]]을 이룬다. 이는 종수 1의 대수 곡선이며, 1차원 [[아벨 다양체]]를 이룬다. 3차 곡선은 9개의 점에 의하여 결정된다.

기약 3차 곡선의 가능한 특이점은 하나의 이중점 또는 하나의 첨점이다. 예를 들어, 3차 곡선
:<math>x^3=zy^2</math>
은 원점에서 중복도 2의 첨점을 갖는다. 이 경우 산술 종수는 1이지만, 기하 종수는 중복도에 의하여 0이다. 편의상, 동차좌표 <math>z</math>를 생략하여 <math>x^3=y^2</math>로 쓰자. 이 경우, [[부풀리기]]를 통해 <math>y\mapsto ux</math>로 치환하면 <math>x^2(x-u^2)=0</math>을 얻는다. [[축소 스킴]]을 취하면, 이는 원뿔 곡선 <math>x=u^2</math>과 사영 직선 <math>x=0</math>의 합집합이다. 원점은 접촉점({{llang|en|point of osculation}})이므로 엄밀히 말하면 특이점이지만, 이는 두 번 더 부풀리기를 하여 해소할 수 있다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|392, Example V.3.9.1}}

다른 예로, 3차 곡선
:<math>y^2z=x^3+x^2z</math>
은 원점에서 이중점을 갖는다. 편의상, 동차좌표 <math>z</math>를 생략하고, 원점을 부풀려 <math>y\mapsto ux</math>로 치환하면 <math>0=x^3(u^2-x-1)</math>을 얻는다. [[축소 스킴]]을 취하면, 이는 원뿔 곡선 <math>u^2=x+1</math>과 사영 직선 <math>x=0</math>의 합집합이다. 따라서 기하 종수가 0임을 알 수 있다.

=== 고차 곡선 ===
[[초타원 곡선]]은 다음과 같은 곡선이다.
:<math>z^{\deg p-2}y^2=p(x,z)</math>
여기서 <math>p</math>는 5차 이상의 동차다항식이다. 이 경우, 기하 종수는
:<math>g=\lfloor(\deg p-1)/2\rfloor</math>
이다.

종수 3의 곡선은 모두 초타원 곡선으로 나타낼 수 있지만, 종수 4 이상의 대부분의 곡선은 초타원 곡선이 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Robert|성=Bix|제목=Conics and cubics: a concrete introduction to algebraic curves|총서=Undergraduate Texts in Mathematics|날짜=2006|isbn=978-0-387-31802-8|doi=10.1007/0-387-39273-4|issn=0172-6056|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Plane Algebraic Curves|총서=Student Mathematical Library|권=15|이름=Gerd|성=Fischer|출판사=American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=STML-15|날짜=2011|isbn=978-0-8218-2122-0|zbl=0971.14026|기타=Leslie Kay 역|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Phillip A.|성=Griffiths|저자링크=필립 오거스터스 그리피스|제목=Introduction to algebraic curves|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=MMONO-76|출판사=American Mathematical Society|isbn= 978-0-8218-4537-0|총서=Translations of Mathematical Monographs|권=76|날짜=1989|zbl=0873.14030|mr=1013999|기타=Kuniko Weltin 역|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Frances|성=Kirwan|날짜=1992|제목=Complex algebraic curves|총서=London Mathematical Society Student Texts|권=23|doi=10.1017/CBO9780511623929|출판사=Cambridge University Press|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[리만-로흐 정리]]
* [[야코비 다양체]]
* [[대수 곡면]]
* [[리만 곡면]]
* [[원뿔 곡선]]
* [[타원 곡선]]
* [[초타원 곡선]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Algebraic curve|first=V.E.|last=Voskresenskii}}
* {{매스월드|id=AlgebraicCurve|title=Algebraic curve}}
* {{웹 인용|url=http://www.scienceall.com/%EB%8C%80%EC%88%98%EA%B3%A1%EC%84%A0algebraic-curve/|제목=대수곡선(algebraic curve)|웹사이트=과학백과사전|출판사=[[사이언스올]]|날짜=2010-08-10|언어=ko|확인날짜=2015-02-22|archive-date=2015-02-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20150222071824/http://www.scienceall.com/%EB%8C%80%EC%88%98%EA%B3%A1%EC%84%A0algebraic-curve/|url-status=}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/algebraic+curve|제목=Algebraic curve|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{수학노트|title=대수곡선론}}


{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:대수 곡선| ]]