리 대수 문서 원본 보기

{{대수 구조}}
'''리 대수'''(Lie代數, {{llang|en|Lie algebra}})는 [[리 군]]의 국소적 구조를 나타내는 [[대수 구조]]이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, [[야코비 항등식]]을 만족하는 교대 [[쌍선형]] [[이항 연산]]을 지닌 [[벡터 공간]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위에 정의된 '''리 대수''' <math>(\mathfrak g,[\cdot, \cdot])</math>는 <math>K</math>-[[가군]] <math>\mathfrak g</math>와 다음을 만족하는 [[선형 변환]] <math>[\cdot,\cdot]:\mathfrak g\times\mathfrak g \to\mathfrak g</math>로 이루어진다.
* (쌍선형성) 모든 <math>x, y, z \in \mathfrak g</math>와 <math>a, b \in K</math>에 대해 <math>[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]</math>이다.
* (교대성) 모든 <math>x\in \mathfrak g</math>에 대하여 <math>[x,x]=0</math>이다.
* ([[야코비 항등식]]) 모든 <math>x , y, z \in \mathfrak g</math>에 대해 <math>[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0</math>이다.
이 [[이항 연산]]은 '''리 괄호'''(Lie括弧, {{llang|en|Lie bracket}})로 불린다. 리 대수의 '''[[준동형]]'''은 리 괄호를 보존하는 [[선형 변환]]이다.

만약 <math>K</math>에서 2의 역원 <math>2^{-1}</math>이 존재한다면 (예를 들어, <math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 <math>x,y\in \mathfrak g</math>에 대하여 <math>[x,y]+[y,x]=0</math>인 성질로 대체할 수 있다. (2가 [[가역원]]이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

통상적으로 리 대수는 [[흑자체]] 소문자 <math>\mathfrak g,\mathfrak h</math> 등으로 나타낸다.

[[정수|정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 리 대수를 '''리 환'''(Lie環, {{llang|en|Lie ring}})이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 [[결합 법칙]]을 따르는) [[환 (수학)|환]]을 이루지 않는다.

=== 부분 대수와 아이디얼 ===
{{본문|리 대수 아이디얼}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''부분 리 대수'''({{llang|en|Lie subalgebra}}) <math>\mathfrak h</math>는 리 괄호에 대하여 닫힌 <math>K</math>-[[부분 가군]]이다. 즉, <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>이며 <math>[\mathfrak h,\mathfrak h]\subseteq\mathfrak h</math>이다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''[[리 대수 아이디얼]]''' <math>I\subset\mathfrak g</math>는 <math>[\mathfrak g,I]\subseteq I</math>를 만족하는 <math>K</math>-부분 가군이다. 모든 [[리 대수 아이디얼]]은 부분 리 대수다. 이는 [[군론]]의 [[정규 부분군]]이나 [[환론]]의 [[아이디얼]]에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 '''몫 리 대수'''({{llang|en|quotient Lie algebra}}) <math>\mathfrak g/I</math>를 정의할 수 있다. 모든 [[리 대수 아이디얼]]은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

=== 등급 리 대수 ===
[[환 (수학)|환]]의 개념에 등급을 붙여 [[등급환]]을 정의할 수 있는 것처럼, '''등급 리 대수'''(等級Lie代數, {{llang|en|graded Lie algebra}})의 개념을 정의할 수 있다.
[[가환 모노이드]] <math>(D,+)</math>가 주어졌다고 하자. 가환환 <math>K</math> 위의, <math>D</math> 등급을 갖는 '''등급 리 대수''' <math>(\mathfrak g,[\cdot,\cdot])</math>는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,
:<math>\mathfrak g=\bigoplus_{d\in D}\mathfrak g_d</math>
:<math>[\cdot,\cdot]\colon\mathfrak g_d\times\mathfrak g_{d'}\to\mathfrak g_{d+d'}</math>
이다.

== 성질 ==
=== 리 군론적 성질 ===
{{본문|리 대응}}
[[리 군론]]에서, [[실수체]] 또는 [[복소수체]] 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 [[리 군]]과 밀접한 관계를 가진다. 모든 [[리 군]]에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[리 군]]의 동형류에 표준적으로 대응한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 <math>\operatorname{Lie}(\operatorname{SO}(5)) = \mathfrak{so}(5)</math>이다.

=== 보편 대수학적 성질 ===
[[리 군]]과 달리, 주어진 체 <math>K</math> 위의 리 대수들의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.
* 0항 연산:
** 0 (덧셈 항등원)
* 1항 연산:
** &minus; (덧셈 역원)
** 임의의 <math>a\in K</math>에 대하여, 스칼라곱 <math>a\cdot</math>
* 2항 연산:
** + (덧셈)
** <math>[-,-]</math> (리 괄호)
이는 <math>K</math> 위의 벡터 공간의 [[대수 구조]]에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 [[자유 리 대수]]의 개념이나 리 대수의 [[직접곱]]을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 [[직접곱]]은 [[직합]]과 같다.

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.
* 아벨 리 대수. 이는 항등식 <math>[x,y]=0</math>으로 정의된다.
* <math>k</math>형의 [[멱영 리 대수]]. 이는 내림 중심렬의 길이가 <math>k</math> 이하인 리 대수이다.
* <math>k</math>형의 [[가해 리 대수]]. 이는 유도열의 길이가 <math>k</math> 이하인 리 대수이다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 <math>\mathcal U</math>, <math>\mathcal V</math>가 주어졌을 때, 그 곱 <math>\mathcal U\mathcal V</math>는 <math>\mathcal V</math>의 원소들의, <math>\mathcal U</math>에 속한 [[리 대수 아이디얼]]에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

=== 범주론적 성질 ===
주어진 체 <math>K</math> 위의 리 대수와 리 대수 준동형의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{LieAlg}_K</math>는 [[대수 구조 다양체]]의 범주이므로, [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이다.

리 대수의 범주에서, 유한 [[곱 (범주론)|곱]]과 유한 [[쌍대곱]]이 일치하며, 이는 둘 다 [[직합]]이다. 리 대수의 범주는 [[영 대상]]을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 [[여핵]]을 갖는다. 리 대수 준동형 <math>\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h</math>의 핵은 <math>0\in\mathfrak h</math>의 [[원상 (수학)|원상]] <math>\phi^{-1}(0)</math>이며, 이는 [[리 대수 아이디얼]]을 이룬다. <math>\phi</math>의 여핵은 그 [[치역]] <math>\phi(\mathfrak g)</math>를 포함하는 가장 작은 [[리 대수 아이디얼]]에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 [[리 대수 아이디얼]]은 유일하다.)

리 대수의 범주는 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> 위의 [[풍성한 범주]]({{llang|en|enriched category}})이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 [[아벨 범주]]를 이루지 않는다.

체 <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]의 범주 <math>\operatorname{uAssoc}_K</math>에서 체 <math>K</math> 위의 리 대수의 범주 <math>\operatorname{LieAlg}_K</math>로 가는 망각 함자
:<math>\operatorname{Forget}\colon\operatorname{uAssoc}_K\to\operatorname{LieAlg}_K</math>
가 존재한다. 이 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]는 [[보편 포락 대수]] 함자
:<math>\mathcal U\colon\operatorname{LieAlg}_K\to\operatorname{uAssoc}_K</math>
이다.

=== 오퍼라드 이론적 성질 ===
리 대수의 구조를 묘사하는 [[오퍼라드]]인 '''리 오퍼라드'''({{llang|en|Lie operad}}) <math>\operatorname{Lie}</math>가 존재한다. 즉, 체 <math>K</math> 위의 리 대수는 <math>K</math>-[[벡터 공간]]의 범주 위의 <math>\operatorname{Lie}</math>-대수이다. 마찬가지로, <math>K</math>-[[초 벡터 공간]]의 범주 위의 <math>\operatorname{Lie}</math>-대수는 '''[[리 초대수]]'''라고 한다.

다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, [[야코비 항등식]]이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 '''[[L∞-대수]]'''라고 한다.

== 연산 ==
=== 중심 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''중심'''(中心, {{llang|en|center}}) <math>\operatorname Z(\mathfrak g)</math>은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
:<math>\operatorname Z(\mathfrak g)=\{x\in\mathfrak g\colon[x,\mathfrak g]=0\}</math>
이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 [[리 대수 아이디얼]]을 이룬다. 이는 [[군론]]에서의 [[군의 중심]]의 개념에 대응한다.

=== 몫 리 대수 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수 아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq\mathfrak g</math>가 주어졌을 때, '''몫 리 대수'''({{llang|en|quotient Lie algebra}}) <math>\mathfrak g/\mathfrak a</math>를 정의할 수 있다. <math>K</math>-[[가군]]으로서, <math>\mathfrak g/\mathfrak a</math>는 [[몫가군]] <math>\mathfrak g/\mathfrak a</math>이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.
:<math>[x+\mathfrak a, y+\mathfrak a]=[x,y]+\mathfrak a</math>
이는 아이디얼의 정의에 따라 [[동치류]]의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

=== 직합 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 두 리 대수 <math>\mathfrak g</math>, <math>\mathfrak h</math>가 주어졌을 때, 그 '''[[직합]]''' <math>\mathfrak g\oplus\mathfrak h</math>를 정의할 수 있다. 이는 [[가군]]으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.
:<math>[g,g']_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[g,g']_{\mathfrak g}\qquad\forall g,g'\in\mathfrak g</math>
:<math>[h,h']_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[h,h']_{\mathfrak h}\qquad\forall h,h'\in\mathfrak h </math>
:<math>[g,h]_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[h,g]_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=0\qquad\forall g\in\mathfrak g,\;h\in\mathfrak h</math>
보다 일반적으로, <math>K</math>-리 대수의 집합 <math>\{\mathfrak g_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 그 직합
:<math>\bigoplus_{i\in I}\mathfrak g_i</math>
를 정의할 수 있다. 마찬가지로, <math>K</math>-리 대수의 집합 <math>\{\mathfrak g_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 그 '''[[직접곱]]'''
:<math>\prod_{i\in I}\mathfrak g_i</math>
를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.

[[실수체]] 위의 리 대수의 [[직합]]·[[직접곱]]은 [[리 군]]의 [[직접곱]]에 대응한다. 반면, 리 대수의 [[텐서곱]]은 일반적으로 정의될 수 없다.

=== 리 대수의 확대 ===
[[군 (수학)|군]]에 대하여 [[군의 확대]]를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 '''확대'''(擴大, {{llang|en|extension}})를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 [[영 대상]]과 핵 · [[여핵]]이 존재하므로, [[완전열]]의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathfrak h\stackrel i\hookrightarrow\mathfrak e\stackrel q\twoheadrightarrow\mathfrak g\to0</math>
이 주어졌다면, <math>\mathfrak e</math>를 <math>\mathfrak g</math>의 <math>\mathfrak h</math>로의 '''확대'''라고 한다. 만약 <math>\ker q</math>가 <math>\mathfrak e</math>의 중심에 속한다면, 이를 ([[군 (수학)|군]]의 경우와 마찬가지로) '''중심 확대'''(中心擴大, {{llang|en|central extension}})라고 한다.

=== 반직접합 ===
{{본문|리 대수 반직접합}}
[[군 (수학)|군]]에 대하여 [[반직접곱]]을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 '''반직접합'''({{llang|en|semidirect sum}})을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 [[아벨 범주]]를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

=== 미분 ===
체 <math>K</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math> 위의 '''[[미분 (대수학)|미분]]'''(微分, {{llang|en|derivation}})은 다음과 같은 <math>K</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>\delta\colon\mathfrak g\to \mathfrak g</math>
이는 다음과 같은 [[곱 규칙]]을 만족시켜야 한다.
:<math>\delta[x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad\forall x,y\in\mathfrak g</math>
리 대수 <math>\mathfrak g</math> 위의 미분들의 [[벡터 공간]]을 <math>\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 '''미분 리 대수'''({{llang|en|Lie algebra of derivations}}) <math>\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>라고 한다.
:<math>[\delta,\delta']=\delta\circ\delta'-\delta'\circ\delta\qquad\forall\delta,\delta'\in\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>
이는 <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)</math>의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 <math>\mathfrak g</math>가 아벨 리 대수라면 <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)=\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>이다.

<math>K=\mathbb R</math>일 경우, <math>\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>는 리 대수의 ([[리 군]]인) [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Aut}(\mathfrak g)</math>의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 [[자기 동형]]으로 생각할 수 있다.

임의의 원소 <math>x\in\mathfrak g</math>에 대하여, [[딸림표현]] <math>\operatorname{ad}_x\colon y\mapsto[x,y]</math>는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 '''내부 미분'''(內部微分, {{llang|en|inner derivation}})이라고 한다.

== 구조론과 분류 ==
우선 다음 성질을 정의하자.
* '''아벨 리 대수'''(Abel Lie代數, {{llang|en|Abelian Lie algebra}})는 임의의 <math>x,y\in\mathfrak g</math>에 대하여 <math>[x,y]=0</math>인 대수다.
* '''[[멱영 리 대수]]'''는 다음을 만족한다. <math>\mathfrak g_0=\mathfrak g</math>이고, <math>\mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g]</math>로 정의하자. 그렇다면 <math>\mathfrak g_k=0</math>인 <math>k\in\mathbb N</math>이 존재한다.
* '''[[가해 리 대수]]'''는 다음을 만족한다. <math>\mathfrak g_0=\mathfrak g</math>이고, <math>\mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g_k]</math>로 정의하자. 그렇다면 <math>\mathfrak g_k=0</math>인 <math>k\in\mathbb N</math>이 존재한다.
* '''[[단순 리 대수]]'''는 자신이나 0이 아닌 [[리 대수 아이디얼]]을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
* '''[[반단순 리 대수]]'''는 0이 아닌 가환 [[리 대수 아이디얼]]을 지니지 않는 리 대수다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[아벨 리 대수]] ⊊ [[멱영 리 대수]] ⊊ [[가해 리 대수]] ⊊ 리 대수
:[[단순 리 대수]] ⊊ [[반단순 리 대수]] ⊊ 리 대수

다음을 보일 수 있다.
* 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. ('''[[아도 정리]]''' {{llang|en|Ado’s theorem}})<ref name="Ado1935">{{저널 인용 | last1= Адо| first1=Игорь Дмитриевич| 제목=О представлении конечных непрерывных групп помощью линейных подстановок | 저널= Известия Физико-математического общества при Казанском университете | 권=7 |날짜=1935|쪽=1–43|언어=ru}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1= Адо| first1=Игорь Дмитриевич | title=Представление алгебр Ли матрицами | url=http://mi.mathnet.ru/umn6996 | 언어=ru | mr=0027753 | 날짜=1947 | 저널=Успехи математических наук | issn=0042-1316 | volume=2 | issue=6 | pages=159–173}}</ref>
* 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. ('''[[레비 분해]]''' {{llang|en|Levi decomposition}})<ref name="Levi">{{저널 인용
  | last = Levi
  | first = Eugenio Elia
  | title = Sulla struttura dei gruppi finiti e continui
  | journal = Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino
  | 언어 = it
  | volume = 40
  | 날짜=1950
  | url = http://www.archive.org/stream/attidellarealeac40real#page/550/mode/2up
  | pages = 551–565
  | jfm = 36.0217.02
}}</ref>
* (실수 또는 복소수) [[콤팩트 공간|콤팩트]] 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 [[직합]]이다. (이를 간혹 '''콤팩트 리 대수'''라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 [[콤팩트 공간]]이 아니다.)
* 모든 [[반단순 리 대수]]는 [[단순 리 대수]]의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 [[단순 리 대수]]는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 [[단순 리 대수]]에 대응되는 (유한한 수의) 실수 [[단순 리 대수]] 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 [[가해 리 대수]]의 분류는 매우 어렵다.

== 낮은 차원의 리 대수 ==
3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, '''비앙키 분류'''({{llang|en|Bianchi classification}})라는 분류가 존재한다.<ref name="Bianchi"/><ref>{{저널 인용|제목=Bianchi’s classification of 3-dimensional Lie algebras revisited|arxiv=1403.2278|이름=Manuel|성=Glas|이름2=Panagiotis|성2=Konstantis|이름3=Achim|성3=Krause|이름4=Frank|성4=Loose|bibcode=2014arXiv1403.2278G|날짜=2014|언어=en}}</ref> 이는 [[루이지 비앙키]]가 도입하였다.

=== 2차원 이하 리 대수 ===
임의의 체 <math>K</math>에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.
* 0차원 아벨 리 대수 <math>\{0\}</math>
* 1차원 아벨 리 대수 <math>K</math>
* 2차원 아벨 리 대수 <math>K^{\oplus2}</math>
* 2차원 비아벨 [[가해 리 대수]] <math>K\oplus_\psi K</math>. 여기서 <math>\psi\colon K\times K\to K</math>는 곱셈 <math>\psi(a,b)=ab</math>으로 잡을 수 있다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.
* 특수 상삼각 행렬 대수 <math>\mathfrak{st}(2;\mathbb R)\subset\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)</math>. 이는 2×2 [[상삼각 행렬]] 가운데, [[대각합]]이 0인 것들로 구성된다.
* 1차원 [[아핀 군|아핀 대수]] <math>\mathfrak{aff}(1;\mathbb R)</math>

=== 3차원 실수 리 대수 ===
모든 3차원 실수 리 대수는 [[단순 리 대수]]이거나 [[가해 리 대수]]이다. 3차원 단순 리 대수는
실수 [[반단순 리 대수]]는 <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math>와 <math>\mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(2)</math> 두 개가 있다. 전통적으로 <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math>는 '''VIII형''', <math>\mathfrak o(3;\mathbb R)</math>는 '''IX형'''으로 불린다.

3차원 실수 [[가해 리 대수]]는 아벨 리 대수의 반직접합 <math>\mathbb R^2\oplus_\psi\mathbb R</math>으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용
:<math>\psi\colon\mathbb R\to\mathfrak{der}(\mathbb R^2)=\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)</math>
:<math>\psi\colon t\mapsto t\psi(1)</math>
는 2×2 실수 [[정사각 행렬]] <math>\psi(1)\in\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)</math>에 의하여 완전히 결정된다. <math>\psi(1)</math>과 <math>\alpha M^{-1}\psi(1)M</math> (<math>\alpha\in\mathbb R^\times</math>, <math>M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb R)</math>)는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 [[정사각 행렬]]의 [[닮음행렬|닮음]] 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 <math>\psi(1)</math>의 [[조르당 표준형]]으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 '''I형'''~'''VII형'''으로의 이름이 붙어 있다.
:<math>\psi(1)=\begin{cases}\begin{pmatrix}
\lambda&1\\
&\lambda
\end{pmatrix},\;\lambda\in\mathbb R&
\begin{cases}
\lambda=0&\text{II}\\
\lambda\ne0&\text{IV}
\end{cases}
\\
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0\\
0&\lambda_2
\end{pmatrix},\;\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R,\;\lambda_1\le\lambda_2&
\begin{cases}
\lambda_1=\lambda_2=0&\text{I}\\
\lambda_1=\lambda_2\ne0&\text{V}\\
\lambda_1=-\lambda_2\ne0&\text{VI}_0\\
\lambda_1=0<\lambda_2\lor\lambda_1<\lambda_2=0&\text{III}\\
\lambda_1\ne\pm\lambda_2,\;\lambda_1\ne0\ne\lambda_2&\text{VI}
\end{cases}
\\
\begin{pmatrix}
a-ib&0\\
0&a+ib
\end{pmatrix},\;a\in\mathbb R,\;b\in\mathbb R^+&
\begin{cases}
a=0&\text{VII}_0\\
a\ne0&\text{VII}
\end{cases}
\end{cases}
</math>
이 가운데 '''I형'''은 아벨 리 대수이며, '''II형'''은 [[하이젠베르크 대수]] <math>\mathfrak h(3;\mathbb R)</math>이자 2차원 [[갈릴레이 대수]] <math>\mathfrak{gal}(2;\mathbb R)</math>이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 [[멱영 리 대수]]들이다. '''III형'''은 직합 <math>\mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)</math>와 같다. '''V형'''은 평면의 닮음 변환군({{llang|en|homothety}}, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 <math>\mathfrak{id}(2;\mathfrak R)</math>이며, '''VI<sub>0</sub>형'''은 (1,1)차원 [[푸앵카레 대수]] <math>\mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)</math>와 같으며, '''VII<sub>0</sub>형'''은 2차원 [[유클리드 군|유클리드 대수]] <math>\mathfrak{iso}(2;\mathbb R)</math>와 같다. II형과 VI<sub>0</sub>형은 3차원 다양체의 [[기하화 추측]]의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. '''VI형'''과 '''VII형'''은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 ([[동형]] 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.

즉,
:<math>\psi(1)=\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}</math>
일 경우, <math>\mathfrak g=\operatorname{Span}\{x,y,t\}</math>로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>[t,x]=ax</math>
:<math>[t,y]=t(bx+cy)</math>

{| class=wikitable style="text-align: center"
! 형 !! 다른 이름 !! [[단일 연결]] [[리 군]]의 [[군의 중심|중심]] !! [[외부자기동형군]] !! 성질
|-
! I형 || 아벨 리 대수 <math>\mathbb R^3</math>
| <math>\mathbb R^3</math> || <math>\operatorname{GL}(3;\mathbb R)</math> || 아벨 리 대수
|-
! II형 || [[하이젠베르크 대수]] <math>\mathfrak h(3;\mathbb R)</math>, [[갈릴레이 대수]] <math>\mathfrak{gal}(2;\mathbb R)</math>
| <math>\mathbb R</math> || <math>\operatorname{GL}(2;\mathbb R)</math> || [[멱영 리 대수]]
|-
! III형 || <math>\mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)</math>
| <math>\mathbb R</math> || <math>\mathbb R^\times</math>
| rowspan=7 | [[가해 리 대수]]
|-
! IV형 ||
| rowspan=5 | 0
| <math>\mathbb R\times(\mathbb Z/2)</math>
|-
! V형 || 닮음 변환 대수 <math>\mathfrak{id}(2;\mathbb R)</math>
| <math>\{M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb R)\colon\det M=\pm1\}</math>
|-
! VI형 ||
| <math>\mathbb R^\times\times(\mathbb Z/2)</math>
|-
! VI<sub>0</sub>형 || [[푸앵카레 대수]] <math>\mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)</math>
| <math>\mathbb R\times\operatorname{Dih}(\mathbb Z/4)</math>
|-
! VII형 ||
| <math>\mathbb R^\times</math>
|-
! VII<sub>0</sub>형 || [[유클리드 대수]] <math>\mathfrak{iso}(2;\mathbb R)</math>
| <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb R^\times\times(\mathbb Z/2)</math>
|-
! VIII형 || [[2차원 실수 특수선형군|특수 선형 대수]]<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math>
| <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/2</math>
| rowspan=2 | [[단순 리 대수]]
|-
! IX형 || [[3차원 직교군|직교 대수]]/[[유니터리 군|유니터리 대수]] <math>\mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak u(2)</math>
| <math>\mathbb Z/2</math> || 1
|}

=== 3차원 복소수 리 대수 ===
3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, [[대수적으로 닫힌 체]]이므로 더 간단하다.

3차원 복소수 [[단순 리 대수]]의 경우, <math>\mathfrak{o}(3;\mathbb C)\cong\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math> 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 '''VIII/IX형'''으로 불린다.

3차원 복소수 [[가해 리 대수]]의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 [[조르당 표준형]]의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI<sub>0</sub>형과 VII<sub>0</sub> 형이 같아진다.
:<math>\psi(1)=\begin{cases}\begin{pmatrix}
\lambda&1\\
&\lambda
\end{pmatrix},\;\lambda\in\mathbb C&
\begin{cases}
\lambda=0&\text{II}\\
\lambda\ne0&\text{IV}
\end{cases}
\\
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0\\
0&\lambda_2
\end{pmatrix},\;\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb C&
\begin{cases}
\lambda_1=\lambda_2=0&\text{I}\\
\lambda_1=\lambda_2\ne0&\text{V}\\
\lambda_1=-\lambda_2\ne0&\text{VI}_0/\text{VII}_0\\
\lambda_1=0\ne\lambda_2\lor\lambda_1\ne\lambda_2=0&\text{III}\\
\lambda_1\ne\pm\lambda_2,\;\lambda_1\ne0\ne\lambda_2&\text{VI}/\text{VII}
\end{cases}
\end{cases}
</math>

=== 4차원 이상 ===
레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 [[가해 리 대수]]의 분류로 귀결된다. 임의의 [[체의 표수|표수]]의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 [[그뢰브너 기저]]를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.<ref>{{저널 인용|이름=J.|성=Patera|이름2=H.|성2=Zassenhaus|저자링크2=한스 차센하우스|날짜=1990-05|제목=The construction of solvable Lie algebras from equidimensional nilpotent algebras|저널=Linear Algebra and its Applications|권=133|쪽=89–120|doi=10.1016/0024-3795(90)90243-6|issn=0024-3795|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=J.|성=Patera|이름2=H.|성2=Zassenhaus|저자링크2=한스 차센하우스|날짜=1990-12|제목=Solvable Lie algebras of dimension ≤4 over perfect fields|저널=Linear Algebra and its Applications|호=142|쪽=1|doi=10.1016/0024-3795(90)90251-7|issn=0024-3795|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=de Graaf|이름=W. A.|날짜=2005|제목=Classification of solvable Lie algebras|저널=Experimental Mathematics|권=14|호=1|쪽=15–25|arxiv=math/0404071|bibcode=2004math......4071D|doi=10.1080/10586458.2005.10128911|issn=1058-6458|url=
http://projecteuclid.org/euclid.em/1120145567|mr=2146516|zbl=05122031|언어=en}}</ref>

== 예 ==
=== 아벨 리 대수 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 자명한 [[가군]] <math>\{0\}</math> 위에, 자명한 리 괄호 <math>[0,0]=0</math>를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 [[영 대상]]이다.

보다 일반적으로, [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위에 자명한 리 괄호 <math>[a,b]=0</math>을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 '''아벨 리 대수'''({{llang|en|Abelian Lie algebra}})라고 한다. 만약 <math>K</math>가 [[실수체]]이거나 [[복소수체]]라면, 이는 실수 또는 복소수 [[아벨 군|아벨]] [[리 군]]의 리 대수이다.

=== 단위 결합 대수의 리 대수 구조 ===
{{본문|단위 결합 대수}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]] <math>(A,\cdot)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>A</math> 위에 다음과 같이 리 괄호를 [[교환자 (환론)|환 교환자]]로 정의하면, <math>A</math>는 리 대수를 이룬다.
:<math>[a,b]=a\cdot b-b\cdot a</math>
특히, <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 [[일반선형군|일반 선형 대수]] <math>\mathfrak{gl}(n;K)</math>이다.

=== 미분 ===
{{본문|미분 (대수학)}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 ([[결합 대수]]가 아닐 수 있는) [[대수 (환론)|대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자. <math>A</math> 위의 [[미분 (대수학)|미분]]들의 집합을 <math>\mathfrak{der}(A)</math>라고 쓰자. <math>\mathfrak{der}(A)</math> 위에 다음과 같은 리 괄호를 [[교환자 (환론)|교환자]]로서 정의하자.
:<math>[\delta,\delta']=\delta\circ\delta'-\delta'\circ\delta</math>
그렇다면 <math>[\delta,\delta']</math> 역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 <math>\mathfrak{der}(A)</math>는 <math>K</math>-리 대수를 이룬다.

=== 자유 리 대수 ===
{{본문|자유 리 대수}}
리 대수의 모임은 [[대수 구조 다양체]]이므로, '''자유 리 대수'''({{llang|en|free Lie algebra}})를 정의할 수 있다. 집합 <math>S</math> 위의 자유 리 대수를 <math>L(S)</math>라고 하고, <math>S</math> 위의 자유 [[단위 결합 대수]](=[[텐서 대수]], 비가환 다항식 대수)를 <math>K\langle S\rangle</math>라고 하자. 그렇다면 <math>L(S)</math>는 자연스럽게 <math>K\langle S\rangle</math>의 부분 집합을 이루며, <math>K\langle S\rangle</math>는 <math>L(S)</math>의 [[보편 포락 대수]]이다. <math>L(S)</math>는 <math>K\langle S\rangle</math> 속의, <math>S</math>로 생성되는 부분 리 대수이다.

=== 벡터장 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 매끄러운 [[벡터장]]들의 벡터 공간 <math>\operatorname{Vect}M</math>은 [[리 미분]]에 대하여 리 대수를 이룬다.

[[리 군]] <math>G</math> 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 <math>\operatorname{Lie}G</math>를 이룬다. 즉, <math>\operatorname{Lie}G</math>는 <math>\operatorname{Vect}G</math>의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

[[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math> 위의 [[매끄러운 함수]] <math>f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>에 대하여, 다음과 같이 [[푸아송 괄호]]를 정의하자.
:<math>\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)</math>
그렇다면 이는 [[야코비 항등식]]을 만족시키며, 따라서 <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>는 <math>\mathbb R</math>-리 대수를 이룬다. <math>\{f,-\}</math>의 꼴로 나타내어지는 [[벡터장]]을 [[해밀턴 벡터장]]이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 [[리 미분]]은 [[푸아송 괄호]]와 일치한다. 즉, <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>는 [[해밀턴 벡터장]]들로 구성된 <math>\operatorname{Vect}M</math>의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, [[푸아송 다양체]] <math>(M,\{,\})</math>가 주어졌을 때, <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>는 <math>\mathbb R</math>-리 대수를 이룬다.

=== 형식적 벡터장 ===
표수가 0인 체 <math>K</math> 위의 [[형식적 멱급수환]] <math>K[[x_1,\dots,x_n]]</math>을 생각하자. 이 [[가환환]] 위의 [[미분 (대수학)|미분]]은 <math>n</math>차원 공간 위의 형식적 [[벡터장]]으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 <math>\operatorname{Der}K[[x_1,\dots,x_n]]</math>은 리 대수를 이룬다. <math>\operatorname{Der}K[[x_1,\dots,x_n]]</math>의 부분 리 대수를 '''형식적 벡터장 리 대수'''({{llang|en|Lie algebra of formal vector fields}})라고 한다.<ref name="Draisma">{{저널 인용|제목= Transitive Lie algebras of vector fields: an overview|이름=Jan|성=Draisma|arxiv=1107.2836|doi=10.1007/s12346-011-0062-9|저널=Qualitative Theory of Dynamical Systems|권=11|호=1|쪽=39–60|issn=
1575-5460|bibcode=2011arXiv1107.2836D|날짜=2012-04|언어=en}}</ref>

두 형식적 벡터장 리 대수 <math>\mathfrak g\subseteq\operatorname{Der}K[[x_1,\dots,x_n]]</math>가 <math>K[[x_1,\dots,x_n]]</math>의 [[자기 동형]]을 통해 관련된다면, 서로 '''좌표 변환 아래 동치'''({{llang|en|equivalent under coordinate transformation}})라고 한다.

<math>X\in\operatorname{Der}K[[x_1,\dots,x_n]]</math>의 '''차수'''는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ord}X=-1+\min_{i=1}^n\operatorname{ord}X(x_i)\in\{-1,0,1,2,\dots\}</math>
여기서 우변에서 <math>\operatorname{ord}\left(x^n(c+O(x))\right)=n</math>이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, <math>\operatorname{ord}[X,Y]\ge\operatorname{ord}X+\operatorname{ord}Y</math>가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수 <math>\mathfrak g</math> 속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 <math>\mathfrak g_0\subseteq\mathfrak g</math>는 부분 리 대수를 이룬다. <math>L_0</math>의 <math>L</math> 속의 [[여차원]]은 <math>n</math> 이하이다. 만약 <math>L_0</math>의 [[여차원]]이 <math>n</math>이라면, <math>L</math>을 '''추이적 형식적 벡터장 리 대수'''({{llang|en|transitive Lie algebra of formal vector fields}})라고 한다.

1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.
* <math>\langle x^i\partial_x\rangle</math>, <math>i=0,1,2,3,\dots</math>. 이는 1차원 [[아벨 리 대수]]이다.
* <math>\langle x\partial_x,x^i\partial_x\rangle</math>, <math>i=0,2,3,4,\dots</math>. 이는 2차원 비아벨 [[가해 리 대수]]이다.
* <math>\langle\partial_x,x\partial_x,x^2\partial_x\rangle</math>. 이는 3차원 [[단순 리 대수]]이며, [[2차원 실수 특수선형군|2차원 특수 선형 대수]] <math>\mathfrak{sl}(2;K)</math>와 동형이다.
이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 <math>\langle\partial_x\rangle</math>, <math>\langle\partial_x,x\partial_x\rangle</math>, <math>\langle\partial_x,x\partial x,x^2\partial_x\rangle</math> 세 개이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 [[소푸스 리]]가 분류하였다.<ref name="Draisma"/> 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.<ref>{{저널 인용|이름=Artemio|성=González-López|이름2=Niky|성2=Kamran|이름3=Peter J.|성3=Olver|제목=Lie algebras of vector fields in the real plane|url=http://www-users.math.umn.edu/~olver/q_/lavf.pdf|저널=
Proceedings of the London Mathematical Society|권=64|호=2|쪽=339–368|날짜=1992|doi=10.1112/plms/s3-64.2.339|issn=0024-6115|언어=en}}</ref>

=== 반단순 리 대수 ===
{{본문|반단순 리 대수}}
표수 0인 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[반단순 리 대수]]는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 <math>\mathfrak a_n</math>, <math>\mathfrak b_n</math>, <math>\mathfrak c_n</math>, <math>\mathfrak d_n</math> 4개의 무한 족과 <math>\mathfrak e_6</math>, <math>\mathfrak e_7</math>, <math>\mathfrak e_8</math>, <math>\mathfrak f_4</math>, <math>\mathfrak g_5</math> 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

표수 0인 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 속에 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subset\mathfrak g</math>를 잡자. 그렇다면, <math>\mathfrak a</math> 속의 <math>\mathfrak g</math>의 [[근계]] <math>\Phi\subset\mathfrak h^*</math>를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 <math>\mathfrak g</math>는 <math>\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\Phi</math>-등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, <math>g\in\mathfrak g</math>의 등급은
:<math>(\deg g)h=[h,g]</math>
이다.

=== 중심렬 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math> 속의 한 중심렬
:<math>G=G_0\ge G_1\ge\cdots</math>
이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여
:<math>[G_i,G_j]\le G_{i+j}</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>G_i/G_{i+1}</math>은 모두 [[아벨 군]]을 이룬다. 이 [[몫군]]들의 [[직합]]을 생각하자.
:<math>L=\bigoplus_{i=0}^\infty G_i/G_{i+1}</math>
이는 자연스럽게 [[아벨 군]]을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 [[교환자|군 교환자]]로 정의하자.
:<math>[xG_i,yG_j]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}</math>
그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.

=== 호모토피 군 ===
[[점을 가진 공간]] <math>X</math> 위의 [[호모토피 군]] <math>\pi_k(X)</math> 위에는 [[화이트헤드 괄호]]라는 다음과 같은 쌍선형 [[이항 연산]]이 존재한다.
:<math>[,] \colon \pi_k(X)\times\pi_l(X)\to\pi_{k+l-1}(X)</math>
이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다.<ref>{{서적 인용|mr=0091473
|last=Uehara|first= Hiroshi|last2= Massey|first2= William S.
|chapter=The Jacobi identity for Whitehead products|title= Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz|pages=361&ndash;377|publisher= Princeton University Press|날짜= 1957|언어=en}}</ref> 만약 여기서 [[꼬임 부분군]]에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, [[유리수 호모토피 이론]]에서 유리수 계수의 호모토피 군
:<math>\mathfrak g_k=\pi_{k-1}(X;\mathbb Q)</math>
을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.

=== 기타 예 ===
* [[비라소로 대수]]는 물리학, 특히 [[2차원 등각 장론]]에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.
* [[아핀 리 대수]]와 그 일반화 [[카츠-무디 대수]] 역시 무한 차원 리 대수의 예이다.
* [[하이젠베르크 대수]]는 [[멱영 리 대수]]의 대표적인 예이다.

== 역사 ==
[[소푸스 리]]가 [[리 군]]을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"({{llang|en|infinitesimal group}})으로 일컬었다. [[빌헬름 킬링]]은 1888년~1890년 동안 [[반단순 리 대수]]의 분류를 제창하였고, 1894년에 [[엘리 카르탕]]이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Élie|성=Cartan|저자링크=엘리 카르탕|제목=Sur la structure des groupes de transformations finis et continus|url=https://archive.org/details/surlastructured00bourgoog|출판사=Librairie Nony et C<sup>ie</sup>|날짜=1894|기타=[[파리 대학교]] 박사 학위 논문|jfm=25.0638.02|언어=fr}}</ref> 1898년에 [[루이지 비앙키]]는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.<ref name="Bianchi">{{저널 인용|이름=L.|성=Bianchi|저자링크=루이지 비앙키|제목=Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti|저널= Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze|권=11|쪽=267|날짜=1898|언어=it}}</ref>

1930년대에 [[헤르만 바일]]이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도({{llang|ru|И́горь Дми́триевич Адо́}})가 1935년에 증명하였다.<ref name="Ado1935"/> 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비({{llang|it|Eugenio Elia Levi}})가 증명하였다.<ref name="Levi"/>

== 같이 보기 ==
* [[리 군]]
* [[리 대수의 표현]]
* [[근계]]
* [[리 대수 코호몰로지]]
* [[리 초대수]]
* [[거스틴해버 대수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Karin|성=Erdmann|공저자=Mark J. Wildon|제목=Introduction to Lie Algebras|출판사=Springer|날짜=2006|isbn=978-1-84628-040-5|doi=10.1007/1-84628-490-2|url=http://www.ma.rhul.ac.uk/~uvah099/lie.html|총서=Springer Undergraduate Mathematics Series|issn=1615-2085}}
* {{서적 인용|제목=Lie Algebras and Applications|이름=Francesco|성=Iachello|날짜=2006|출판사=Springer|doi=10.1007/3-540-36239-8|isbn=978-3-540-36236-4|issn=0075-8450|총서=Lecture Notes in Physics|권=708}}
* {{서적 인용|성=Hall|이름=Brian C.|제목=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|출판사=Springer|날짜=2003|isbn=978-0-387-40122-5|arxiv=math-ph/0005032|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=222|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-0-387-21554-9}}
* {{서적 인용|성=Serre|이름=Jean-Pierre|저자링크=장피에르 세르|제목=Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University|판=2판|출판사=Springer|날짜=1992|doi=10.1007/978-3-540-70634-2|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1500|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-55008-2}}
* {{서적 인용|성=Steeb|이름=Willi-Hans|제목=Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra|판=2판|출판사=World Scientific|날짜=2007-07|isbn=978-981-270-809-0|url=http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/6515}}
* {{서적 인용|성=Varadarajan|이름=V.S.|제목=Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations|출판사=Springer|날짜=1974|isbn=978-0-387-90969-1|doi=10.1007/978-1-4612-1126-6|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=102|issn=0072-5285}}
* {{저널 인용|제목=A historical review of the classifications of Lie algebras|이름=Luis|성=Boza|이름2=Eugenio M.|성2=Fedriani|이름3=Juan|성3=Núñez|이름4=Ángel F.|성4=Tenorio|url=http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v54n2/v54n2a07.pdf|저널=Revista de la Unión Matemática Argentina|권=54|호=2|날짜=2013|쪽=75–99|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Extensions of Lie algebras|날짜=2000|이름=Dmitri|성=Alekseevsky|이름2=Peter W.|성2=Michor|이름3=Wolfgang|성3=Ruppert|arxiv=math/0005042|bibcode=2000math......5042A|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra}}
** {{eom|title=Lie algebras, variety of}}
** {{eom|title=Levi-Mal'tsev decomposition}}
** {{eom|title=Lie algebra, linear}}
** {{eom|title=Lie algebra, local}}
* {{매스월드|id=LieAlgebra|title=Lie algebra}}
* {{nlab|id=Lie algebra}}
** {{nlab|id=LieAlg}}
** {{nlab|id=Lie algebra extension}}
** {{nlab|id=abelian Lie algebra|title=Abelian Lie algebra}}
* {{웹 인용|제목= 23. 리 군(Lie group), 리 대수(Lie algebra) |url=https://www.youtube.com/watch?v=K_yB_-FEXlk|출판사=[[한양대학교]]|날짜=2012-11-29|저자=신상진|형식=비디오|언어=ko}}
* {{수학노트|title=리군과 리대수}}
* {{웹 인용|이름=John|성=Armstrong|url=https://unapologetic.wordpress.com/2011/05/17/lie-algebras/|제목= Lie algebras|날짜=2011-05-17|work=The Unapologetic Mathematician|언어=en}}
** {{웹 인용|이름=John|성=Armstrong|url=https://unapologetic.wordpress.com/2011/05/18/lie-algebras-from-associative-algebras/|제목=Lie algebras from associative algebras|날짜=2011-05-18|work=The Unapologetic Mathematician|언어=en}}
** {{웹 인용|이름=John|성=Armstrong|url=https://unapologetic.wordpress.com/2012/08/06/lie-algebras-revisited/|제목=Lie algebras revisited|날짜=2012-08-06|work=The Unapologetic Mathematician|언어=en}}
** {{웹 인용|이름=John|성=Armstrong|url=https://unapologetic.wordpress.com/2012/08/13/ideals-of-lie-algebras/|제목=Ideals of Lie Algebras|날짜=2012-08-13|work=The Unapologetic Mathematician|언어=en}}
** {{웹 인용|이름=John|성=Armstrong|url=https://unapologetic.wordpress.com/2012/08/14/the-category-of-lie-algebras-is-not-quite-abelian/|제목=The category of Lie algebras is (not quite) Abelian|날짜=2012-08-14|work=The Unapologetic Mathematician|언어=en}}
** {{웹 인용|이름=John|성=Armstrong|url=https://unapologetic.wordpress.com/2012/08/15/isomorphism-theorems-for-lie-algebras/|제목=Isomorphism theorems for Lie algebras|날짜=2012-08-15|work=The Unapologetic Mathematician|언어=en}}
** {{웹 인용|이름=John|성=Armstrong|url=https://unapologetic.wordpress.com/2012/08/18/automorphisms-of-lie-algebras/|제목=Automorphisms of Lie algebras|날짜=2012-08-18|work=The Unapologetic Mathematician|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/84255/how-about-the-lie-algebra-over-commutative-ring|제목=How about the Lie algebra over commutative ring?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:리 군]]
[[분류:리 대수| ]]