리 초대수 문서 원본 보기

[[리 대수]] 이론에서, '''리 초대수'''(Lie 超代數, {{llang|en|Lie superalgebra}})는 [[리 대수]]에 <math>\mathbb Z/(2)</math> [[등급 대수|등급]]을 주어 일반화한 수학적 구조다. [[초대칭]]이나 [[BRST 대칭]] 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. <math>K</math>-'''리 초대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 두 <math>K</math>-[[가군]] <math>\mathfrak g_0</math>, <math>\mathfrak g_1</math>. 또한, <math>\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1</math>로 표기하자. <math>\mathfrak g</math>는 <math>\mathbb Z/(2)=\{0,1\}</math>-등급 가군으로 여긴다. 순수 성분의 등급은 <math>\deg x\in\{0,1\}</math>로 표기하자.
* <math>K</math>-쌍선형 연산 <math>[-,-]\colon\mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\to\mathfrak g</math> (일부 문헌에서 이는 <math>[-,-\}</math>로 표기되기도 한다).
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. (이는 일반적인 <math>K</math>-[[리 대수]]의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.)
* (리 괄호의 등급) <math>\deg[x,y]=(\deg x+\deg y)\bmod2\qquad\forall x,y\in(\mathfrak g_0\cup\mathfrak g_1)\setminus\{0\}</math>
* (반대칭성) <math>[x,y]+(-1)^{\deg x\deg y|}[y,x]=0 \qquad\forall x,y\in(\mathfrak g_0\cup\mathfrak g_1)\setminus\{0\}</math>
* ([[야코비 항등식]]) <math>(-1)^{\deg z\deg x}[x,[y,z]]+(-1)^{\deg x\deg y}[y,[z,x]]+(-1)^{\deg y\deg z}[z,[x,y]]=0  \qquad\forall x,y,z\in(\mathfrak g_0\cup\mathfrak g_1)\setminus\{0\}</math>
* <math>[x,x]=0\qquad\forall x\in\mathfrak g_0</math>
* <math>[x,[x,x]]=0\qquad\forall x\in\mathfrak g_1</math>
여기서, 넷째 공리는 만약 <math>K</math>에서 2가 [[가역원]]일 경우 자동으로 반대칭성으로부터 유도되며, 다섯째 공리는 만약 <math>K</math>에서 3이 [[가역원]]일 경우 자동으로 [[야코비 항등식]]으로부터 유도된다. 즉, 예를 들어 <math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2 또는 3이 아닌 [[체 (수학)|체]]일 경우 이들을 생략할 수 있다.

== 성질 ==
[[가군]]으로서, 리 초대수 <math>\mathfrak g</math>는 그 등급이 0([[보손]])인 부분 가군 <math>\mathfrak g_0</math>과 등급이 1([[페르미온]])인 부분 가군 <math>\mathfrak g_1</math>의 [[직합]]이다. 이렇게 분해하면, <math>\mathfrak g_0</math>는 [[리 대수]]를 이루고, <math>\mathfrak g_1</math>은 <math>\mathfrak g_0</math>의 [[리 대수의 표현|표현]]을 이룬다. 또한, <math>\mathfrak g_1</math>은 다음과 같은 가환 비결합 괄호
:<math>\{\cdot,\cdot\}\colon\mathfrak g_1\otimes\mathfrak g_1\to\mathfrak g_0</math>
를 가진다.

=== 단순 리 초대수 ===
{{본문|단순 리 초대수}}
자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수를 [[단순 리 초대수]]라고 하며, 이들은 모두 분류되었다.

== 예 ==
=== 아벨 초대수 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 임의의 두 [[가군]] <math>\mathfrak g_0</math> 및 <math>\mathfrak g_1</math>이 주어졌을 때, 리 초괄호
:<math>[x,y]=0\qquad\forall x,y\in\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1</math>
을 주면, <Math>\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_q</math>은 리 초대수를 이룬다. 이를 '''아벨 리 초대수'''(Abel Lie超代數, {{llang|en|Abelian Lie superalgebra}})라고 한다.

=== 일반·특수 선형 초대수 ===
<math>(m|n)\times(m|n)</math> '''[[초행렬]]'''은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
:<math>\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}</math>
여기서 <math>A</math>는 <math>m\times m</math>이고, <math>B</math>는 <math>n\times n</math>이다. <math>(m|n)\times(m|n)</math> 초행렬의 모임을 '''일반 선형 초대수''' (general linear Lie superalgebra)
<math>\mathfrak{gl}(m|n)</math>이라고 쓰자. 초행렬의 '''초대각합'''(超對角合, {{llang|en|supertrace}})은 다음과 같다.<ref name="FS">{{저널 인용|제목=Dictionary on Lie superalgebras|이름=L.|성=Frappat|공저자=A. Sciarrino, P. Sorba|arxiv=hep-th/9607161|bibcode=1996hep.th....7161F|날짜=1996-07|언어=en}}</ref>{{rp|§25}}
:<math>\operatorname{str}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\operatorname{tr}A-\operatorname{tr}D</math>

== 응용 ==
리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 등급이 보존을, 홀수 등급이 페르미온을 나타낸다. 그러나 BRST에서는 그 반대다.

=== BRST 대칭 ===
{{본문|BRST 양자화}}
게이지 이론은 [[BRST 양자화|BRST 대칭]]이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 <math>Q</math>의 초괄호는 다음과 같다.
:<math>\{Q,Q\}=0</math>
즉, 이는 멱영({{llang|en|nilpotent}}) 리 초대수이다.

=== 초대칭 ===
{{본문|초대칭}}
[[초대칭]] 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 [[푸앵카레 군]]과 [[R대칭]]에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다.

만약 이론이 초대칭과 [[등각 장론|등각 대칭]]을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 [[초등각 장론|초등각 대칭군]]이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키 <math>\mathcal N=4</math> 초등각 대칭군은 단순초군 <math>PSU(2,2|4)</math>이다. 이 초군은 [[AdS/CFT 대응성]]에서 등장한다.

== 역사 ==
펠릭스 알렉산드로비치 베레진({{llang|ru|Фе́ликс Алекса́ндрович Бере́зин}})과 게오르기 이사코비치 카츠({{llang|ru|Георгий Исаакович Кац}})가 1970년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Феликс Александрович|성=Березин|이름2=Георгий Исаакович|성2=Кац|제목=
Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами|저널=Математический сборник|권=82|호=3|쪽=343–351|날짜=1970|url=http://mi.mathnet.ru/msb3454|mr=265520|zbl=0244.22014 |언어=ru}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[거스틴해버 대수]]
* [[리 초대수 표현]]
* [[초공간]]
* [[보편 포락 대수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Lie Superalgebras and Enveloping Algebras|이름=Ian M.|성=Musson|출판사=American Mathematical Society|날짜=2012|isbn=978-0-8218-6867-6|url=http://www.ams.org/bookstpore-getitem/item=gsm-131|기타=Graduate Studies in Mathematics 131|언어=en|mr=2906817|zbl=1255.17001}}{{깨진 링크|url=http://www.ams.org/bookstpore-getitem/item=gsm-131 }}
* {{저널 인용|제목=Dualities for Lie superalgebras|arxiv=1001.0074|bibcode=2010arXiv1001.0074C|이름=
Shun-Jen|성=Cheng|공저자=Weiqiang Wang|언어=en|날짜=2010-01}}
* {{저널 인용|제목=Lie superalgebras|저널=Journal of Soviet Mathematics|날짜=1985-09|권=30|호=6|쪽=2481–2512|doi=10.1007/BF02249121|issn=0090-4104|언어=en|이름=D. A.|성=Leites}}
* {{저널 인용|제목=Lie superalgebras|이름=Victor G.|성=Kac|저자링크=빅토르 카츠|저널=Advances in Mathematics|권=26|호=1|날짜=1977-10|쪽=8–96|doi=10.1016/0001-8708(77)90017-2|언어=en|issn=0001-8708|mr=0486011}}
* {{저널 인용|제목=A sketch of Lie superalgebra theory|이름=Victor G.|성=Kac|저자링크=빅토르 카츠|저널=Communications in Mathematical Physics|권=53|호=1|날짜=1977-02|쪽=31–64|mr=0442049|zbl=0359.17009|bibcode= 1977CMaPh..53...31K|doi=10.1007/BF01609166|issn=0010-3616|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Group theory: a physicist’s survey|이름=Pierre|성=Ramond|저자링크=피에르 라몽|isbn=9780521896030|날짜=2010-05|url=http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item2710157/|언어=en|출판사=Cambridge University Press|zbl=1205.20001|mr=2663568}}
* {{서적 인용|이름=V.|성=Rittenberg|날짜=1978|장=A guide to Lie superalgebras|제목=Group theoretical methods in physics: Sixth International Colloquium, Tübingen, 1977|doi=10.1007/3-540-08848-2_1|isbn=978-3-540-08848-6|쪽=3–21|url=http://ccdb5fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?197801051|총서=Lecture Notes in Physics|권=79|issn=0075-8450|출판사=Springer|언어=en|확인날짜=2015-06-23|보존url=https://web.archive.org/web/20150623121036/http://ccdb5fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?197801051#|보존날짜=2015-06-23|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=super Lie algebra|title=Super Lie algebra}}
* {{nlab|id=supergroup|title=Supergroup}}
* {{nlab|id=super-translation group|title=Super-translation group}}
* {{nlab|id=general linear supergroup|title=General linear supergroup}}
* {{nlab|id=orthosymplectic super Lie algebra|title=Orthosymplectic super Lie algebra}}
* {{웹 인용|url=http://people.physics.anu.edu.au/~drt105/seminars/110429.pdf|제목=A (gentle) introduction to Lie superalgebras|이름=David|성=Ridout|날짜=2011-04-29|언어=en|확인날짜=2015-06-22|archive-date=2015-03-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20150328203306/http://people.physics.anu.edu.au/~drt105/seminars/110429.pdf|url-status=}}

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