막대 복합체 문서 원본 보기

[[호몰로지 대수학]]에서 '''막대 복합체'''(막대複合體, {{llang|en|bar complex|바 콤플렉스}})는 [[가환환]] 위의 [[결합 대수]]에 대하여 정의되는 [[완전열]]이다.<ref name="Ginzburg">{{저널 인용|arxiv=math/0506603|제목=Lectures on noncommutative geometry|이름=Victor|성=Ginzburg|bibcode=2005math......6603G|날짜=2005|언어=en}}</ref>{{rp|§4}} [[Tor 함자]]와 [[Ext 함자]] 등을 계산할 때 쓰인다.

== 정의 ==
=== 결합 대수에 대한 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* (항등원을 갖는) <math>K</math>-[[결합 대수]] <math>A</math>
* <math>A</math>-[[오른쪽 가군]] <math>M_A</math>
* <math>A</math>-[[왼쪽 가군]] <math>_AM'</math>
그렇다면, '''막대 복합체''' <math>\operatorname{Bar}^K_\bullet(M,A,M')</math>는 다음과 같은, <math>K</math>-[[가군]]의 범주 속의 [[단체 대상]]이다.
:<math>\operatorname{Bar}_n(M,A,M') = M\otimes_K A^{\otimes_K n} \otimes_K M'</math>
:<math>\partial_{n,i} \operatorname{Bar}_n(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_{n-1}(M,A,M')\qquad(0\le i\le n)</math>
:<math>\partial_{n,i} \colon
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' \mapsto
\begin{cases}
ma_1\otimes_K a_2\otimes_K \otimes\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K\otimes m' & i = 0 \\
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_K a_{i+1}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' & 0 < i < n \\
m \otimes_K a_1\otimes_K \dotsb\otimes_K a_{n-1}\otimes_K a_nm' & i = n
\end{cases}
</math>
:<math>s_{n,i}\colon \operatorname{Bar}_n(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_{n+1}(M,A,M')\qquad(0\le i\le n)</math>
:<math>s_{n,i} \colon
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' \mapsto
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i \otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K \dotsb \otimes_Ka_n\otimes_K m'</math>
특히,
:<math>\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i}</math>
로 놓으면, 이는 [[사슬 복합체]]를 이룬다.

=== 일반적 정의 ===
보다 일반적으로, [[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes)</math> 속의 [[모노이드 대상]] <math>A</math> 및 그 [[왼쪽 가군]] <math>_AM</math>과 [[오른쪽 가군]] <math>M'_A</math>이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, <math>\operatorname{Bar}^{\mathcal C}_\bullet(M,A,M')</math>은 <math>\mathcal C</math> 속의 [[단체 대상]]을 이룬다.

예를 들어, [[모노이드]] <math>A</math>와 그 [[모노이드 작용|왼쪽 모노이드 작용]]을 갖는 [[집합]] <math>_AM</math> 및 [[모노이드 작용|오른쪽 모노이드 작용]]을 갖는 [[집합]] <math>M'_A</math>이 주어졌을 때, <math>\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Set}}(M,A,M')</math>은 [[단체 집합]]을 이룬다.

== 성질 ==
=== 완전성 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math> 및 그 위의 [[오른쪽 가군]] <Math>M_A</math>과 [[왼쪽 가군]] <math>_AM'</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 <math>\operatorname{Bar}_\bullet^K(M,A,M')</math>를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에
:<math>\operatorname{Bar}_0^K(M,A,M')=M\otimes_K M'\to \operatorname{Bar}_{-1}^K(M,A,M') = M\otimes_A M'</math>
을 추가할 수 있다. 그렇다면,
:<math>\dotsb\to  \operatorname{Bar}_1^K(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_0^K(M,A,M')\to \operatorname{Bar}_{-1}^K(M,A,M') \to 0</math>
은 [[완전열]]이다. 즉, 그 [[호몰로지]]는 [[자명군]]이다. 이에 따라, 막대 복합체 <math>\operatorname{Bar}(M,A,M')</math>은 <math>M\otimes_AM'</math>의 분해를 정의한다.

특히, <math>M=M'=A</math>인 경우, <math>\operatorname{Bar}_\bullet^K(A,A,A)</math>는 <math>A</math>의 (<math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]으로서의) 분해({{llang|en|resolution}})를 이룬다.<ref name="Loday">{{서적 인용|이름=Jean-Louis |성=Loday|저자링크=장루이 로데|제목=Cyclic homology|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |권= 301 | 출판사=Springer-Verlag | 날짜= 1998 | isbn= 978-3-642-08316-7|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-662-11389-9|zbl=0885.18007|판=2|mr=1217970|언어=en}}</ref>{{rp|12, Proposition–definition 1.1.12}}

== 예 ==
=== 호흐실트 호몰로지 ===
{{본문|호흐실트 호몰로지}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자. <math>\operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A)</math>의 각 성분은 모두 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]이므로, 포락 대수 <math>A^{\operatorname{e}}=A\otimes_KA^{\operatorname{op}}</math>를 정의하였을 때 <math>\operatorname{Bar}_\bullet^K(A,A,A)</math>는 <math>A^{\operatorname{e}}</math>-[[사슬 복합체]]를 이룬다. 임의의 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]] <math>M</math>에 대하여,
:<math>C_\bullet(A;M) = M\otimes_{A^{\operatorname{e}}}\operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A)</math>
는 <math>A</math>의 <math>M</math>계수 [[호흐실트 사슬 복합체]]이며, 마찬가지로
:<math>C^\bullet(A;M) = \hom_{A^{\operatorname{e}}}(\operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A),M)</math>
은 <math>A</math>의 <math>M</math>계수 [[호흐실트 공사슬 복합체]]이다.

=== 군 코호몰로지 ===
{{본문|군 코호몰로지}}
[[군 코호몰로지]]와 [[군 호몰로지]]를 계산하는 표준적인 [[공사슬 복합체]]와 [[사슬 복합체]]는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

=== 분류 공간 ===
{{본문|분류 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 ([[곱 (범주론)|범주론적 곱]]에 대한) [[모노이드 범주]]에서, [[위상군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 이는 물론 [[한원소 공간]] <math>\bullet</math> 위에 자명하게 [[군의 작용|작용]]한다. 이에 따라, 막대 복합체 <math>\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,\bullet)</math>를 정의할 수 있다. 또한, <math>G</math>는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 <math>\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,G)</math>를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상
:<math>\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,G)\twoheadrightarrow\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,\bullet)</math>
이 존재한다. 이는 <math>G</math>-[[주다발]]을 이루며, 또한 [[위상군]] <math>G</math>의 [[분류 공간]] <math>\operatorname E(G)\twoheadrightarrow\operatorname B(G)</math>을 이룬다.

== 역사 ==
[[사무엘 에일렌베르크]]와 [[손더스 매클레인]]이 1953년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Eilenberg | first1=Samuel | author1-link=사무엘 에일렌베르크 | last2=Mac Lane | first2=Saunders | author2-link=손더스 매클레인 | title=On the groups ''H''(Π, ''n''). Ⅰ | jstor=1969820 | mr=0056295 | 날짜=1953 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=58 | doi=10.2307/1969820 | pages=55–106| zbl=0050.39304 | 언어=en}}</ref> “막대 복합체”라는 이름은 에일렌베르크와 매클레인이 (오늘날 통상적으로 “<math>\otimes</math>”로 표기되는) [[텐서곱]]을 막대기 모양의 기호 “<math>|</math>”로 표기하였기 때문이다.<ref name="Ginzburg"/>{{rp|§4.3}}

== 같이 보기 ==
* [[코쥘 복합체]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=bar and cobar construction|title=Bar and cobar construction}}
* {{nlab|id=bar construction|title=Bar construction}}
* {{nlab|id=simplicial bar construction|title=Simplicial bar construction}}
* {{nlab|id=two-sided bar construction|title=Two-sided bar construction}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Bar_resolution|제목=Bar resolution|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.uiuc.edu/~cmalkiew/bar.pdf|제목=The bar construction | 이름=Cary|성= Malkiewich|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://sma.epfl.ch/~hessbell/Minicourse_Louvain_Notes.pdf|제목=The cobar construction: a modern perspective|이름=Kathryn|성=Hess|날짜=2007-05|언어=en|확인날짜=2017-07-25|archive-date=2015-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20150326125415/http://sma.epfl.ch/~hessbell/Minicourse_Louvain_Notes.pdf|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2007/05/on_the_bar_construction.html|제목=On the bar construction |이름=Todd|성=Trimble | 웹사이트=The ''n''-Category Café|날짜=2007-05-31|언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:호몰로지 대수학]]