망델브로 집합 문서 원본 보기

[[파일:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|upright=1.35|섬네일|값에 따라 연속색으로 색칠한 망델브로 집합|alt=]]

'''망델브로 집합'''(Mandelbrot set, {{IPAc-en|ˈ|m|æ|n|d|əl|b|r|oʊ|t|,_|-|b|r|ɒ|t}})<ref>{{백과사전 인용|url=http://www.lexico.com/definition/Mandelbrot+set |archive-url=https://web.archive.org/web/20220131051320/https://www.lexico.com/definition/mandelbrot_set?s=t |url-status=dead |archive-date=2022-01-31 |title=Mandelbrot set |dictionary=[[Lexico]] UK English Dictionary |publisher=[[Oxford University Press]]}}</ref><ref>{{메리엄-웹스터 인용|Mandelbrot set|access-date=2022-01-30}}</ref>은 [[복소평면]]에서 정의된 2차원 [[집합 (수학)|집합]]으로, 함수 <math>f_c(z)=z^2+c</math>가 <math>z=0</math>에서 시작하여 [[반복문|반복]]될 때 무한대로 [[안정성 이론|발산]]하지 않는 [[복소수]] <math>c</math>를 만족하는 집합이다. 즉, 수열 <math>f_c(0)</math>, <math>f_c(f_c(0))</math> 등이 [[절댓값]]이 유계로 유지되는 <math>c</math>의 집합이다.<ref>{{서적 인용|last1=Cooper |first1=S. B. |url=https://books.google.com/books?id=3yqpmHn9zAEC |title=New Computational Paradigms: Changing Conceptions of What is Computable |last2=Löwe |first2=Benedikt |last3=Sorbi |first3=Andrea |date=2007-11-28 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-387-68546-5 |pages=450 |language=en}}</ref>

이 집합은 1978년 [[로버트 W. 브룩스]]와 피터 마텔스키가 [[클라인 부분군]] 연구를 하면서 처음 정의되고 그려졌다.<ref name=":0" /> 이후 1980년 [[브누아 망델브로]]는 [[뉴욕주 요크타운 하이츠]]에 있는 [[IBM]]의 [[IBM 왓슨 연구소]]에서 작업하면서 이 집합의 고품질 시각화를 만들었다.<ref>{{서적 인용|last=Nakos |first=George |url=https://books.google.com/books?id=OAoFEQAAQBAJ |title=Elementary Linear Algebra with Applications: MATLAB®, Mathematica® and MaplesoftTM |date=2024-05-20 |publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co KG |isbn=978-3-11-133185-0 |pages=322 |language=en}}</ref>

[[파일:Mandelbrot sequence new.gif|섬네일|계속 반복해서 망델브로 집합의 소위 '해마 계곡'으로 확대하는 모습.]]

망델브로 집합의 이미지는 확대할수록 점진적으로 더 미세한 [[재귀]]적 세부 사항을 드러내는 무한히 복잡한 [[경계 (위상수학)|경계]]를 보여준다.<ref>{{서적 인용|last=Addison |first=Paul S. |url=https://books.google.com/books?id=l2E4ciBQ9qEC |title=Fractals and Chaos: An illustrated course |date=1997-01-01 |publisher=CRC Press |isbn=978-0-8493-8443-1 |pages=110 |language=en}}</ref><ref>{{서적 인용|last=Briggs |first=John |url=https://books.google.com/books?id=i5fLgAtUVucC |title=Fractals: The Patterns of Chaos : a New Aesthetic of Art, Science, and Nature |date=1992 |publisher=Simon and Schuster |isbn=978-0-671-74217-1 |pages=77 |language=en}}</ref> 수학적으로 망델브로 집합의 경계는 [[프랙탈]] 곡선이다.<ref>{{서적 인용|last=Hewson |first=Stephen Fletcher |url=https://books.google.com/books?id=iqrEX8t-Nh8C |title=A Mathematical Bridge: An Intuitive Journey in Higher Mathematics |date=2009 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-283-407-2 |pages=155 |language=en}}</ref> 이러한 재귀적 세부 사항의 "모양"은 확대하는 집합 경계의 영역에 따라 달라진다.<ref>{{서적 인용|last1=Peitgen |first1=Heinz-Otto |url=https://books.google.com/books?id=aIzsCAAAQBAJ |title=The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems |last2=Richter |first2=Peter H. |date=2013-12-01 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-3-642-61717-1 |pages=166 |language=en |quote="the Mandelbrot set is very diverse in its different regions"}}</ref> 망델브로 집합 이미지는 복소수를 샘플링하고 각 샘플 지점 <math>c</math>에 대해 수열 <math>f_c(0), f_c(f_c(0)),\dotsc</math>이 [[수열#유계|무한대로 가는지]] 테스트하여 생성할 수 있다.<ref name=":4">{{서적 인용|last=Hunt |first=John |url=https://books.google.com/books?id=O3baEAAAQBAJ |title=Advanced Guide to Python 3 Programming |date=2023-10-01 |publisher=Springer Nature |isbn=978-3-031-40336-1 |pages=117 |language=en}}</ref> <math>c</math>의 [[실수]] 부분과 [[허수]] 부분을 [[복소평면]]의 [[화소 좌표]]로 취급하여, 수열 <math>|f_c(0)|, |f_c(f_c(0))|,\dotsc</math>이 임의로 선택된 임계값(임계값은 최소 2여야 하는데, −2는 집합 내에서 가장 큰 크기를 가진 복소수이기 때문이다. 하지만 그 외에는 임계값이 임의적이다.)을 얼마나 빨리 넘어서는지에 따라 픽셀에 색을 입힐 수 있다.<ref name=":4" /> 만약 <math>c</math>를 상수로 유지하고 <math>z</math>의 초기값을 변경하면, 해당 지점 <math>c</math>에 대한 [[쥘리아 집합]]을 얻을 수 있다.<ref>{{웹 인용|last=Campuzano |first=Juan Carlos Ponce |date=20 November 2020 |title=Complex Analysis |url=https://complex-analysis.com/content/mandelbrot_set.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20241016071311/https://complex-analysis.com/content/mandelbrot_set.html |archive-date=16 October 2024 |access-date=5 March 2025 |website=Complex Analysis — The Mandelbrot Set}}</ref>

망델브로 집합은 정의가 상대적으로 간단함에도 불구하고 시각화 및 확대 시 복잡한 프랙탈 구조를 보여준다는 점에서 수학계 외부에서도 잘 알려져 있으며,<ref>{{서적 인용|last1=Oberguggenberger |first1=Michael |url=https://books.google.com/books?id=js10DwAAQBAJ |title=Analysis for Computer Scientists: Foundations, Methods, and Algorithms |last2=Ostermann |first2=Alexander |date=2018-10-24 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-91155-7 |pages=131 |language=en}}</ref><ref>{{웹 인용|title=Mandelbrot Set |url=https://cometcloud.sci.utah.edu/index.php/apps/mandelbrot-set |access-date=2025-03-22 |website=cometcloud.sci.utah.edu}}</ref> [[수학적 미]]의 예시로 흔히 인용된다.<ref>{{서적 인용|last1=Peitgen |first1=Heinz-Otto |url=https://books.google.com/books?id=GvnxBwAAQBAJ |title=Fractals for the Classroom: Part Two: Complex Systems and Mandelbrot Set |last2=Jürgens |first2=Hartmut |last3=Saupe |first3=Dietmar |date=2012-12-06 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4612-4406-6 |pages=415 |language=en}}</ref><ref>{{서적 인용|last1=Gulick |first1=Denny |url=https://books.google.com/books?id=k90BEQAAQBAJ |title=Encounters with Chaos and Fractals |last2=Ford |first2=Jeff |date=2024-05-10 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-003-83578-3 |pages=§7.2 |language=en}}</ref><ref>{{서적 인용|last1=Bialynicki-Birula |first1=Iwo |url=https://books.google.com/books?id=sc0TDAAAQBAJ |title=Modeling Reality: How Computers Mirror Life |last2=Bialynicka-Birula |first2=Iwona |date=2004-10-21 |publisher=OUP Oxford |isbn=978-0-19-853100-5 |pages=80 |language=en}}</ref>

== 역사 ==
[[파일:Mandel.png|섬네일|upright=1.35|1978년 [[로버트 W. 브룩스]]와 피터 마텔스키가 출판한 망델브로 집합의 첫 번째 그림]]

망델브로 집합은 20세기 초 [[프랑스의 수학자]] [[피에르 파투]]와 [[가스통 쥘리아]]가 처음 연구한 분야인 [[복소역학]]에서 기원한다. 이 프랙탈은 1978년 [[로버트 W. 브룩스]]와 피터 마텔스키가 [[클라인 부분군]] 연구를 하면서 그 일환으로 처음 정의되고 그려졌다.<ref name=":0">Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in {{서적 인용|url=https://abel.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/docs/brooksmatelski.pdf|title=Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference|author=Irwin Kra|date=1981|publisher=Princeton University Press|others=[[Bernard Maskit]]|isbn=0-691-08267-7|editor=Irwin Kra|access-date=1 July 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190728201429/http://www.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/docs/brooksmatelski.pdf|archive-date=28 July 2019|url-status=dead}}</ref> 1980년 3월 1일 [[뉴욕주 요크타운 하이츠]]에 있는 [[IBM]]의 [[IBM 왓슨 연구소]]에서 [[브누아 망델브로]]가 처음으로 이 집합을 시각화했다.<ref name="bf">{{서적 인용|url=http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper311.pdf |title=Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers |author=R.P. Taylor & J.C. Sprott |access-date=1 January 2009 |year=2008 |journal=Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences |volume=12 |issue=1 |pages=117–129 |publisher=Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences |pmid=18157930 }}</ref>

망델브로는 1980년에 출판된 논문에서 [[이차 다항식]]의 [[매개변수 공간]]을 연구했다.<ref>{{서적 인용|first=Benoit |last=Mandelbrot |title=Fractal aspects of the iteration of <math>z\mapsto\lambda z(1-z)</math> for complex <math>\lambda, z</math> |journal=Annals of the New York Academy of Sciences |volume=357 |issue=1 |pages=249–259 |year=1980 |doi=10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x |s2cid=85237669 }}</ref> 망델브로 집합에 대한 수학적 연구는 [[아드리앵 두아디]]와 [[존 H. 허버드]](1985)의 연구로 본격적으로 시작되었다.<ref name="John H. Hubbard 1985">Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)</ref> 둘은 이 집합의 많은 기본 속성을 확립하고 [[프랙탈 기하학]]에 대한 망델브로의 영향력 있는 업적을 기려 이 집합에 망델브로의 이름을 붙였다.

수학자 [[하인츠-오토 파이젠]]과 피터 리히터(Peter Richter)는 사진, 책(1986),<ref>{{서적 인용|title=The Beauty of Fractals |last=Peitgen |first=Heinz-Otto |author2=Richter Peter |year=1986 |publisher=Springer-Verlag |location=Heidelberg |isbn=0-387-15851-0 |title-link=The Beauty of Fractals }}</ref> 그리고 독일 [[독일 문화원]]의 국제 순회 전시회(1985)를 통해 이 집합을 홍보하여 잘 알려지게 되었다.<ref>[[Frontiers of Chaos]], Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Since 1985 shown in over 40 countries.</ref><ref>{{서적 인용|title=Chaos: Making a New Science |last=Gleick |first=James |year=1987 |publisher=Cardinal |location=London |pages=229 |title-link=Chaos: Making a New Science }}</ref>

1985년 8월 [[사이언티픽 아메리칸]]의 표지 기사는 망델브로 집합을 계산하는 [[알고리즘]]을 소개했다. 표지는 [[브레멘 대학교]]의 파이젠, 리히터 및 [[디트마르 자우페]]가 만들었다.<ref>{{서적 인용|date=August 1985|title=Exploring The Mandelbrot Set|url=https://www.jstor.org/stable/24967754|journal=Scientific American|volume=253|issue=2|pages=4|jstor=24967754}}</ref> 망델브로 집합은 1980년대 중반 [[개인용 컴퓨터]]가 고해상도로 집합을 그릴 수 있을 만큼 강력해지면서 [[데모 (컴퓨터 프로그래밍)|컴퓨터 그래픽 데모]]로 유명해졌다.<ref>{{잡지 인용|last=Pountain |first=Dick |date=September 1986 |title= Turbocharging Mandelbrot |url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1986-09/1986_09_BYTE_11-09_The_68000_Family#page/n370/mode/1up |magazine= [[바이트 (잡지)|Byte]] |access-date=11 November 2015 }}</ref>

두아디와 허버드의 연구는 [[복소역학]]과 [[추상 수학]]에 대한 관심이 증가하던 시기에 이루어졌으며,<ref name=rees>{{서적 인용| last1 = Rees
 | first1 = Mary
    | author-link = Mary Rees
 | date = January 2016
    | title = One hundred years of complex dynamics
 | journal = [[Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences]]
 | volume =  472
 | issue = 2185
 | pages =
 | doi = 10.1098/rspa.2015.0453
 | pmid = 26997888
 | pmc = 4786033
 | bibcode = 2016RSPSA.47250453R
 }}</ref> 망델브로 집합의 [[위상수학]]적 및 기하학적 연구는 복소역학 분야에서 중요한 주제로 남아있다.<ref>{{서적 인용|last=Schleicher |first=Dierk |url=https://books.google.com/books?id=Ek3rBgAAQBAJ |title=Complex Dynamics: Families and Friends |date=2009-11-03 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4398-6542-2 |pages=xii |language=en}}</ref>

== 공식적인 정의 ==
망델브로 집합은 [[복소평면]]에서 이차 사상
:<math>z \mapsto z^2 + c</math><ref>{{웹 인용|last=Weisstein |first=Eric W. |title=Mandelbrot Set |url=https://mathworld.wolfram.com/ |access-date=2024-01-24 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>

의 [[임계점 (수학)|임계점]] <math display="inline">z = 0</math>의 [[반복 함수|반복]]에 따른 [[궤도 (동역학)|궤도]]가 [[유계 수열|유계]]로 유지되는 <math>c</math> 값의 [[비가산 집합]]이다.<ref>{{웹 인용|url=http://math.bu.edu/DYSYS/explorer/def.html|title=Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary|access-date=7 October 2007}}</ref> 따라서 복소수 <math>c</math>는 <math>z_0 = 0</math>에서 시작하여 이를 반복할 때 <math>z_n</math>의 [[절댓값]]이 모든 <math>n > 0</math>에 대해 유계로 유지되면 망델브로 집합의 원소이다.

예를 들어, <math>c = 1</math>일 때 수열은 0, 1, 2, 5, 26, ... 이고 이는 [[무한]]으로 발산하므로 1은 망델브로 집합의 원소가 아니다. 반면, <math>c=-1</math>일 때 수열은 0, −1, 0, −1, 0, ... 이고 이는 유계이므로 −1은 집합에 속한다.

망델브로 집합은 [[이차 방정식|이차]] [[다항식]] <math>f(z) = z^2 + c</math> 계열의 [[연결성 국소]]로도 정의될 수 있으며, 이는 해당 다항식의 [[쥘리아 집합]]이 [[연결 집합]]을 형성하는 매개변수 <math>c</math> 공간의 부분 집합이다.<ref>{{인용|last=Tiozzo |first=Giulio |title=Topological entropy of quadratic polynomials and dimension of sections of the Mandelbrot set |date=2013-05-15 |arxiv=1305.3542 }}</ref> 마찬가지로 망델브로 집합의 [[경계 (위상수학)|경계]]는 이 이차 계열의 [[분기 국소]]로 정의될 수 있으며, 이는 다항식의 동적 거동(반복적으로 [[반복 함수|반복]]될 때)이 <math>c</math>의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 매개변수의 부분 집합이다.

== 기본 속성 ==
망델브로 집합은 [[닫힌 집합|닫혀 있고]] [[원점 (수학)|원점]]을 중심으로 하는 반지름 2의 [[닫힌 원판]]에 포함되어 있으므로 [[콤팩트 집합]]이다. 점 <math>c</math>는 모든 <math>n\geq 0</math>에 대해 <math>|z_n|\leq 2</math>인 경우에만 망델브로 집합에 속한다. 다시 말해, <math>c</math>가 망델브로 집합 <math>M</math>에 속하려면 <math>z_n</math>의 [[절댓값]]이 2 이하로 유지되어야 하며, 만약 그 절댓값이 2를 초과하면 수열은 무한대로 발산한다. <math>c=z_1</math>이므로 <math>|c|\leq 2</math>가 성립하며, 이는 <math>c</math>가 항상 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판 안에 있음을 의미한다.<ref>{{웹 인용|url=https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html|title=Escape Radius|access-date=17 January 2024}}</ref>

[[파일:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg|섬네일|망델브로 집합과 [[복소 이차 다항식|이차 사상]]의 [[분기 다이어그램]] 사이의 대응 관계]]
[[파일:Logistic Map Bifurcations Underneath Mandelbrot Set.gif|섬네일|수직축에 <math>z_{n}</math>을 반복한 값을 그래프로 그리면 망델브로 집합이 주기-2<sup>k</sup> 요소에서 분기하는 것을 볼 수 있다.]]

<math>M</math>과 실수축의 [[교집합 (집합론)|교집합]]은 구간 <math>\left[-2,\frac{1}{4}\right]</math>이다. 이 구간을 따라 있는 매개변수는 실 [[로지스틱 사상|로지스틱 계열]]의 매개변수와 [[일대일 대응]]을 이룰 수 있다.
:<math>x_{n+1} = r x_n(1-x_n),\quad r\in[1,4].</math>
대응은 다음으로 주어진다.

:<math>r = 1+\sqrt{1- 4 c},
\quad
c = \frac{r}{2}\left(1-\frac{r}{2}\right),
\quad
z_n = r\left(\frac{1}{2} - x_n\right).</math>

이는 로지스틱 계열의 전체 [[매개변수 공간]]과 망델브로 집합의 매개변수 공간 사이에 대응을 제공한다.<ref>{{웹 인용|last=thatsmaths |date=2023-12-07 |title=The Logistic Map is hiding in the Mandelbrot Set |url=https://thatsmaths.com/2023/12/07/the-logistic-map-is-hiding-in-the-mandelbrot-set/ |access-date=2024-02-18 |website=ThatsMaths |language=en}}</ref>

두아디와 허버드는 망델브로 집합이 [[연결 공간|연결되어 있음]]을 보였다. 둘은 망델브로 집합의 여집합과 [[닫힌 단위 원판]]의 여집합 사이에 명시적인 [[정칙 함수|등각 사상]]을 구성했다. 망델브로는 원래 망델브로 집합이 [[단절 (위상수학)|단절되어 있다]]고 추측했다. 이 추측은 <math>M</math>의 다른 부분을 연결하는 가는 실을 감지할 수 없는 프로그램으로 생성된 컴퓨터 그림을 기반으로 했다. 추가 실험을 통해 그는 자신의 추측을 수정하여 <math>M</math>이 연결되어야 한다고 결정했다. 2001년 [[제레미 칸]]이 연결성에 대한 [[위상수학]]적 증명을 발견했다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.math.brown.edu/~kahn/mconn.pdf|title=The Mandelbrot Set is Connected: a Topological Proof|last=Kahn|first=Jeremy|date=8 August 2001}}</ref>

[[파일:Wakes near the period 1 continent in the Mandelbrot set.png|thumbnail|right|망델브로 집합의 주기 1 대륙 근처에서 밖으로 뻗어나가는 외부 반직선의 모습]]

망델브로 집합의 연결성에 대한 두아디와 허버드의 증명에서 비롯된 망델브로 집합의 여집합의 [[균일화 정리|균일화]]에 대한 동적 공식은 망델브로 집합의 [[외부 반직선]]을 만든다. 이 반직선은 망델브로 집합을 조합론적 용어로 연구하는 데 사용될 수 있으며 [[장크리스토프 요코즈#수학 연구|요코즈 파라퍼즐]]의 중추를 형성한다.<ref>The Mandelbrot set, theme and variations. Tan, Lei. Cambridge University Press, 2000. {{ISBN|978-0-521-77476-5}}. Section 2.1, "Yoccoz para-puzzles", [https://books.google.com/books?id=-a_DsYXquVkC&pg=PA121 p.&nbsp;121]</ref>

망델브로 집합의 [[경계 (위상수학)|경계]]는 이차 다항식 계열의 [[분기 국소]]이다. 다시 말해, 망델브로 집합의 경계는 이차 사상 <math>z_n=z_{n-1}^2+c</math>의 기동이 <math>c</math>에 대한 민감한 의존성을 보이는, 즉 <math>c</math>의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 모든 매개변수 <math>c</math>의 집합이다. 이는 일반적인 유형의 [[다항식 렘니스케이트]]로 알려진 일련의 [[대수 곡선|평면 대수 곡선]], 즉 망델브로 곡선의 극한 집합으로 구성될 수 있다. 망델브로 곡선은 <math>p_0=z,\ p_{n+1}=p_n^2+z</math>로 설정한 다음, 복소평면의 점 집합 <math>|p_n(z)| = 2</math>를 실수 [[데카르트 좌표계|데카르트 평면]]에서 x와 y에 대한 <math>2^{n+1}</math>차 곡선으로 해석하여 정의된다.<ref>{{웹 인용|last=Weisstein |first=Eric W. |title=Mandelbrot Set Lemniscate |url=https://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSetLemniscate.html |access-date=2023-07-17 |website=Wolfram Mathworld |language=en}}</ref> 각 곡선 <math>n > 0</math>은 <math>p_n</math>에 의한 반지름 2의 초기 원의 사상이다. 이러한 대수 곡선은 아래에서 언급된 "탈출 시간 알고리즘"을 사용하여 계산된 망델브로 집합 이미지에 나타난다.

== 기타 속성 ==

=== 주요 심장형과 주기 다발 ===
[[파일:Mandelbrot Set – Periodicities coloured.png|right|섬네일|쌍곡선 요소의 주기]]

망델브로 집합에서 가장 큰 [[심장형]](하트 모양의 영역)은 주기 1 대륙이다.<ref>{{서적 인용|last1=Brucks |first1=Karen M. |url=https://books.google.com/books?id=p-amwZp0R-0C |title=Topics from One-Dimensional Dynamics |last2=Bruin |first2=Henk |date=2004-06-28 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-54766-6 |pages=264 |language=en}}</ref> 이는 사상 <math>f_c(z) = z^2 + c</math>가 [[복소 이차 사상의 주기점|끌림 고정점]]을 갖는 매개변수 <math>c</math>의 영역이다.<ref>{{서적 인용|last=Devaney |first=Robert |url=https://books.google.com/books?id=YEIPEAAAQBAJ |title=An Introduction To Chaotic Dynamical Systems |date=2018-03-09 |publisher=CRC Press |isbn=978-0-429-97085-6 |pages=147 |language=en}}</ref> 이 영역은 [[열린 단위 원판]]의 <math>\mu</math>에 대해 <math> c(\mu) := \frac\mu2\left(1-\frac\mu2\right)</math> 형태의 모든 매개변수로 구성된다.<ref name=":5">{{서적 인용|last1=Ivancevic |first1=Vladimir G. |url=https://books.google.com/books?id=mbtCAAAAQBAJ |title=High-Dimensional Chaotic and Attractor Systems: A Comprehensive Introduction |last2=Ivancevic |first2=Tijana T. |date=2007-02-06 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4020-5456-3 |pages=492–493 |language=en}}</ref>

주요 심장형의 왼쪽에 <math>c=-3/4</math> 지점에서 붙어 있는 원형 다발, 즉 주기-2 다발이 보인다.<ref name=":5" /> 이 다발은 <math>f_c</math>가 [[복소 이차 사상의 주기점|끌림 주기 2 사이클]]을 갖는 <math>c</math>로 구성된다. 이는 -1을 중심으로 하는 반지름 1/4의 채워진 원이다.<ref name=":5" />

[[파일:Animated cycle.gif|left|섬네일|[[쥘리아 집합]] 위에 그려진 2/5-다발의 끌림 주기(애니메이션)]]

보다 일반적으로, 모든 양의 정수 <math>q>2</math>에 대해 주요 심장형에 접하는 <math>\phi(q)</math>개의 원형 다발(여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]를 나타냄)이 있는데, 이를 주기-q 다발이라고 한다. 이 여러 다발은 <math>f_c</math>가 주기 <math>q</math>의 끌림 주기를 갖는 매개변수 <math>c</math>로 구성된다. 더 구체적으로, 각 원시 <math>q</math>차 단위근 <math>r=e^{2\pi i\frac{p}{q}}</math>(여기서 <math>0<\frac{p}{q}<1</math>)에 대해 <math>\frac{p}{q}</math> 다발이라는 주기-q 다발이 하나씩 존재한다. 이 다발은 매개변수 <math> c_{\frac{p}{q}} := c(r) = \frac{r}2\left(1-\frac{r}2\right)</math>에서 주요 심장형에 접하며, 조합 회전수 <math>\frac{p}{q}</math>를 갖는 <math>q</math>-주기를 가진 매개변수를 포함한다.<ref>{{서적 인용|last1=Devaney |first1=Robert L. |url=https://books.google.com/books?id=4XrHCQAAQBAJ |title=Complex Dynamical Systems: The Mathematics Behind the Mandelbrot and Julia Sets: The Mathematics Behind the Mandelbrot and Julia Sets |last2=Branner |first2=Bodil |date=1994 |publisher=American Mathematical Soc. |isbn=978-0-8218-0290-8 |pages=18–19 |language=en}}</ref> 더 정확히 말하면, 끌림 주기를 포함하는 <math>q</math>개의 주기적 [[파투 성분 분류|파투 성분]]은 모두 공통점(일반적으로 <math>\alpha</math>-고정점이라고 불림)에서 접한다. 이 성분을 각각 반시계 방향으로 <math>U_0,\dots,U_{q-1}</math>이라고 하면, <math>f_c</math>는 성분 <math>U_j</math>를 성분 <math>U_{j+p\,(\operatorname{mod} q)}</math>으로 사상한다.<ref name=":5" />

[[파일:Juliacycles1.png|right|섬네일|1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4, 1/5 다발 내 매개변수에 대한 끌림 주기 및 [[쥘리아 집합]]]]

<math>c_{\frac{p}{q}}</math>에서 발생하는 행동 변화를 [[분기 (동역학계)|분기]]라고 한다. 즉, 끌림 고정점이 반발 주기-q 사이클과 "충돌"한다. 분기 매개변수를 지나 <math>\tfrac{p}{q}</math>-다발로 들어가면, 끌림 고정점은 반발 고정점(<math>\alpha</math>-고정점)으로 변하고 주기-q 사이클은 끌림 사이클이 된다.<ref name=":5" />

=== 쌍곡선 성분 ===
망델브로 집합의 내부 성분으로 사상 <math>f_c</math>가 끌림 주기 사이클을 갖는 다발을 쌍곡선 성분이라고 한다.<ref>{{학위논문 인용|last=Redona |first=Jeffrey Francis |title=The Mandelbrot set |year=1996 |type=Masters of Arts in Mathematics |publisher=Theses Digitization Project |url=https://scholarworks.lib.csusb.edu/etd-project/1166}}</ref>

이것들이 <math>M</math>의 유일한 [[내부 (위상수학)|내부 영역]]이며 <math>M</math>에서 [[조밀 집합|조밀하다]]는 추측이 있다. 쌍곡선 조밀성(density of hyperbolicity)으로 알려진 이 문제는 [[복소역학]]에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나이다.<ref>{{ArXiv 인용|eprint=1709.09869 |author1=Anna Miriam Benini |title=A survey on MLC, Rigidity and related topics |year=2017 |class=math.DS }}</ref> 망델브로 집합의 가설적인 비쌍곡선 성분은 종종 "괴상한" 또는 유령 성분이라고 불린다.<ref>{{서적 인용|title=Exploring the Mandelbrot set. The Orsay Notes |first1=Adrien |last1=Douady |first2=John H. |last2=Hubbard |page=12 }}</ref><ref>{{학위논문 인용|first=Wolf |last=Jung |year=2002 |title=Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set |type=Doctoral thesis |publisher=[[아헨 공과대학교]] |id={{URN|nbn|de:hbz:82-opus-3719}} }}</ref> 실수 이차 다항식의 경우, 이 질문은 1990년대 류비히(Lyubich)와 그라치크(Graczyk), 스비아텍(Świątek)이 각각 독립적으로 증명했다. (실수 축과 교차하는 쌍곡선 성분은 [[분기 다이어그램|파이겐바움 다이어그램]]의 주기적 창에 정확히 해당한다. 따라서 이 결과는 다이어그램의 모든 매개변수 근처에 이러한 창이 존재한다는 것을 나타낸다.)

모든 쌍곡선 성분이 망델브로 집합의 주 심장형에서 직접적인 분기열을 통해 도달할 수 있는 것은 아니다. 그러한 성분은 작은 망델브로 복사본(아래 참조)의 주 심장형에서 직접적인 분기열을 통해 도달할 수 있다.

[[파일:Centers8.png|섬네일|망델브로 집합의 983개 쌍곡선 성분 중심.]]

각 쌍곡선 성분에는 중심이 있는데, 이는 <math>f_c(z)</math>의 내부 파투 영역이 초끌림 주기(즉, 끌림이 무한대)를 갖는 점 <math>c</math>이다. 이는 주기가 임계점 0을 포함하며, 몇 번의 반복 후에 0으로 다시 반복된다는 것을 의미한다. 따라서 어떤 n에 대해 <math>f_c^n(0) = 0</math>이다. 이 다항식을 <math>Q^{n}(c)</math>(z 대신 c에 의존하도록 함)라고 하면, <math>Q^{n+1}(c) = Q^{n}(c)^{2} + c</math>이고 <math>Q^{n}(c)</math>의 차수는 <math>2^{n-1}</math>이다. 따라서 쌍곡선 성분의 중심은 방정식 <math>Q^{n}(c) = 0, n = 1, 2, 3, ...</math>을 차례로 풀어서 구성할 수 있다. 각 단계에서 생성되는 새로운 중심의 수는 [[온라인 정수열 사전|Sloane의 OEIS]] A000740로 주어진다.

=== 국소적 연결성 ===
망델브로 집합은 [[국소 연결 공간|국소적으로 연결되어 있다]]는 추측이 있다. 이 추측은 MLC(Mandelbrot locally connected의 약자)로 알려져 있다. [[아드리앵 두아디]]와 [[존 H. 허버드]]의 연구에 따르면, 이 추측은 망델브로 집합의 간단한 추상적 "꼬집힌 원판" 모델을 제시할 것이다. 특히, 이는 위에서 언급한 중요한 쌍곡선 추측을 함축한다.

[[장크리스토프 요코즈]]의 연구는 모든 유한하게 [[재규격화]] 가능한 매개변수에서 망델브로 집합의 국소 연결성을 확립했다. 즉, 대략적으로 말하면 유한한 수의 작은 망델브로 복사본에만 포함된 매개변수이다.<ref name="yoccoz">{{서적 인용| last = Hubbard | first = J. H.
 | contribution = Local connectivity of Julia sets and bifurcation loci: three theorems of J.-C. Yoccoz
 | contribution-url = https://pi.math.cornell.edu/~hubbard/Yoccoz.pdf
 | location = Houston, TX
 | mr = 1215974
 | pages = 467–511
 | publisher = Publish or Perish
 | title = Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY, 1991)
 | year = 1993}}. Hubbard cites as his source a 1989 unpublished manuscript of Yoccoz.</ref> 그 이후로 <math>M</math>의 다른 많은 지점에서 국소 연결성이 증명되었지만, 전체 추측은 여전히 미해결 상태이다.

=== 자기유사성 ===
[[파일:Self-Similarity-Zoom.gif|right|섬네일|음의 x 방향으로 움직이면서 원형 특징을 보이는 구간을 확대하여 망델브로 집합의 [[자기유사성]]을 보여준다. 화면의 중심은 5번째에서 7번째 원형 특징(−1.4002, 0)에서 (−1.4011, 0)으로 왼쪽으로 이동하며, 시야는 [[파이겐바움 상수|파이겐바움 비율]]의 제곱에 근접하도록 21.78배 확대된다.]]

망델브로 집합은 [[미슈레비치 점]] 근처에서 확대 시 [[자기유사성]]을 보인다. 또한 일반화된 [[파이겐바움 점]] (예: -1.401155 또는 -0.1528 + 1.0397i) 주변에서 극한 집합으로 수렴하는 의미에서 자기유사성을 보인다고 추측된다.<ref>{{서적 인용| last1 = Lei | year = 1990 | title = Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets | url = http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104201823| journal = Communications in Mathematical Physics | volume = 134 | issue = 3| pages = 587–617 | doi=10.1007/bf02098448| bibcode = 1990CMaPh.134..587L| s2cid = 122439436 }}</ref><ref>{{서적 인용|author=J. Milnor |chapter=Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set |editor=M. C. Tangora |location=New York |pages=211–257 |title=Computers in Geometry and Topology |url=https://books.google.com/books?id=wuVJAQAAIAAJ |year=1989|publisher=Taylor & Francis|isbn=9780824780319 }})</ref> 망델브로 집합은 일반적으로 유사자기유사성을 보이는데, 이는 작고 약간 다른 형태의 집합이 임의의 작은 스케일에서 발견될 수 있기 때문이다. 이러한 망델브로 집합의 복사본은 모두 약간씩 다르며, 대부분 집합의 본체에 연결되는 얇은 실 때문에 완전히 같진 못하고 차이점이 전부 조금씩 있다.<ref>{{웹 인용|title=Mandelbrot Viewer |url=https://math.hws.edu/eck/js/mandelbrot/MB.html |access-date=2025-03-01 |website=math.hws.edu}}</ref>

=== 추가 계산 결과 ===
망델브로 집합 [[경계 (위상수학)|경계]]의 [[하우스도르프 차원]]은 [[시시쿠라 미쓰히로]]의 결과에 따라 2와 같다.<ref name="shishikura"/> 이것이 위상 차원 1보다 정수 하나만큼 크다는 사실은 망델브로 집합 경계의 극단적인 [[프랙탈]] 성질을 반영한다. 대략적으로 말하면, 시시쿠라의 결과는 망델브로 집합 경계가 너무 "구불구불"해서 국소적으로 2차원 평면 영역만큼 효율적으로 [[공간 채움 곡선|공간을 채운다]]는 것을 의미한다. 하우스도르프 차원 2인 곡선은 (위상적으로) 1차원이지만 종종 0이 아닌 넓이(더 형식적으로는 0이 아닌 평면 [[르베그 측도]])를 가질 수 있다. 이것이 망델브로 집합 경계의 경우에도 해당되는지는 미해결 문제이다.

더 높은 차원의 초복소수 공간에서 일반화된 망델브로 집합(즉, 반복 변수 <math>z</math>의 거듭제곱 <math>\alpha</math>가 무한대로 가는 경우)이 단위 (<math>\alpha</math>−1)-구로 수렴한다는 것이 입증되었다.<ref>{{서적 인용|last1=Katunin|first1=Andrzej|last2=Fedio|first2=Kamil|title=On a Visualization of the Convergence of the Boundary of Generalized Mandelbrot Set to (n-1)-Sphere|url=https://reader.digitarium.pcss.pl/Content/295117/JAMCM_2015_1_6-Katunin_Fedio.pdf|access-date=18 May 2022|date=2015|journal=Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics|volume=14|issue=1|pages=63–69|doi=10.17512/jamcm.2015.1.06}}</ref>

[[블럼–슈브–스메일 머신]]의 [[실수 계산]] 모델에서는 망델브로 집합은 계산 불가능하지만, 그 여집합은 [[재귀 열거 가능 집합|계산적으로 열거 가능]]하다. 많은 간단한 객체(예: 지수 함수의 그래프)도 BSS 모델에서 계산 불가능하다. 현재 망델브로 집합이 "컴퓨터로 집합을 그리는" 직관적인 개념에 더 가깝게 대응하는 [[계산 가능한 해석학]]을 기반으로 한 실수 계산 모델에서 계산 가능한지는 알려져 있지 않다. 허틀링(Hertling)은 쌍곡선 추측이 참이라면 망델브로 집합이 이 모델에서 계산 가능함을 보였다.

=== 쥘리아 집합과의 관계 ===
[[파일:Julia Mandelbrot Relationship.png|섬네일|쥘리아 집합과 복소평면의 C 값을 일치시켜 만든 모자이크. 망델브로 집합은 연결된 쥘리아 집합의 지도이다.]]

망델브로 집합의 정의에 따라 주어진 지점에서의 망델브로 집합의 [[기하학]]과 해당 [[쥘리아 집합]]의 구조 사이에는 밀접한 관계가 있다. 예를 들어, <math>c</math> 값이 망델브로 집합에 속하는 것은 해당 쥘리아 집합이 연결되어 있는 경우에만 해당한다. 따라서 망델브로 집합은 연결된 쥘리아 집합의 지도로 볼 수 있다.<ref>{{웹 인용|last=Sims |first=Karl |title=Understanding Julia and Mandelbrot Sets |url=https://www.karlsims.com/julia.html |website=karlsims.com |access-date=January 27, 2025}}</ref>{{더 나은 출처|date=January 2025}}

이 원리는 망델브로 집합에 대한 거의 모든 심오한 결과에서 활용된다. 예를 들어, 시시쿠라는 망델브로 집합 경계의 조밀한 매개변수 집합에 대해 쥘리아 집합이 [[하우스도르프 차원]] 2를 가진다는 것을 증명한 다음, 이 정보를 매개변수 평면으로 전달한다.<ref name="shishikura">{{서적 인용| last = Shishikura | first = Mitsuhiro
 | arxiv = math.DS/9201282
 | doi = 10.2307/121009
 | issue = 2
 | journal = Annals of Mathematics
 | mr = 1626737
 | pages = 225–267
 | series = Second Series
 | title = The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets
 | volume = 147
 | year = 1998| jstor = 121009
 | s2cid = 14847943
 }}.</ref> 마찬가지로, 요코즈는 해당 매개변수에서 망델브로 집합에 대해 확립하기 전에 먼저 쥘리아 집합의 국소 연결성을 증명했다.<ref name="yoccoz"/>

== 기하학 ==
서로소인 정수 <math>\tfrac{p}{q}</math>에 대해, 모든 [[유리수]] <math>\tfrac{p}{q}</math>에 대해 주기 q의 쌍곡선 성분은 [[내부 각도]] <math>\tfrac{2\pi p}{q}</math>에 해당하는 심장형 가장자리 지점에서 주 심장형으로부터 분기된다.<ref name="guild">{{웹 인용|title=Number Sequences in the Mandelbrot Set |url=https://www.youtube.com/watch?v=oNxPSP2tQEk | archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211030/oNxPSP2tQEk| archive-date=2021-10-30|website=youtube.com |publisher=The Mathemagicians' Guild |date=4 June 2020}}</ref> 이 분기점에서 주 심장형에 연결된 망델브로 집합의 부분을 '''<math>p</math>/<math>q</math>-돌기'''라고 한다. 컴퓨터 실험에 따르면 돌기의 [[지름]]은 <math>\tfrac{1}{q^2}</math>처럼 0으로 수렴한다. 현재 알려진 최상의 추정치는 요코즈 부등식으로, 크기가 <math>\tfrac{1}{q}</math>처럼 0으로 수렴한다고 말한다.

주기-q 돌기에는 상단에 <math>q-1</math>개의 "안테나"가 있다. 주어진 다발의 주기는 이 안테나의 수를 세어 결정된다. 회전수의 분자 <math>p</math>는 돌기에서 반시계 방향으로 각 안테나에 1부터 <math>q-1</math>까지 번호를 매기고 어떤 안테나가 가장 짧은지 찾아서 결정된다.<ref name="guild" />

=== 망델브로 집합의 원주율 ===
망델브로 집합에는 숫자 <math>\pi</math>의 발생으로 이어지는 흥미로운 실험이 있다. <math>\varepsilon>0</math>인 매개변수 <math>c = -\tfrac{3}{4}+ i\varepsilon</math>에 대해, <math>c</math>가 망델브로 집합에 속하지 않음을 확인하는 것은 수열이 임의의 반지름 <math>R>2</math>의 <math>0</math> 주변 원판을 벗어날 때까지 <math>z \mapsto z^2 + c</math> 수열을 <math>z=0</math>에서 시작하여 반복하는 것을 의미한다. 이는 실수 부분이 <math>-3/4</math>인 수직선이 실수선을 벗어난 지점에서 망델브로 집합과 교차하는지 여부에 대한 (여전히 미해결된) 질문에서 이어진다. 필요한 반복 횟수에 <math>\varepsilon</math>를 곱하면 원주율로 수렴한다는 것이 밝혀졌다. 예를 들어, <math>\varepsilon</math> = 0.0000001이고 <math>R=2</math>일 때, 반복 횟수는 31415928이고 곱은 3.1415928이다.<ref>{{서적 인용|first=Gary William |last=Flake |title=The Computational Beauty of Nature |year=1998 |page=125 |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-56127-3 }}</ref> 이 실험은 1990년대 초 (혹은 그 이전에도) 데이비드 볼(David Boll)을 비롯한 많은 사람들이 독립적으로 수행해 확인했다.

유사한 관찰은 매개변수 <math>c=-5/4</math> 및 <math>c=1/4</math>에서도 이루어졌다(후자의 경우 필요한 수정이 있음). 2001년 아론 클레바노프(Aaron Klebanoff)는 <math>c=1/4</math>에서 이 현상에 대한 (개념적이지 않은) 증명을 발표했다.<ref>{{서적 인용|last=Klebanoff |first=Aaron D. |title=π in the Mandelbrot Set |journal=Fractals |volume=9 |issue=4 |pages=393–402 |year=2001 |doi=10.1142/S0218348X01000828 }}</ref>

2023년, 폴 지웨르트(Paul Siewert)는 학사 논문에서 <math>c=1/4</math> 값에 대해서도 개념적인 증명을 개발하여, 원주율이 발생하는 이유(기하학적으로 단위 원 둘레의 절반)를 설명했다.<ref>Paul Siewert, Pi in the Mandelbrot set. Bachelor Thesis, Universität Göttingen, 2023</ref>

2025년, 세 명의 고등학생인 티스 브록뮐러(Thies Brockmöller), 오스카 셰르츠(Oscar Scherz), 네딤 스르칼로비치(Nedim Srkalovic)는 이 이론과 개념 증명을 망델브로 집합의 모든 무한한 분기점으로 확장했다.<ref>{{ArXiv 인용| eprint=2505.07138 | last1=Brockmoeller | first1=Thies | last2=Scherz | first2=Oscar | last3=Srkalovic | first3=Nedim | title=Pi in the Mandelbrot set everywhere | date=2025 | class=math.DS }}</ref>

=== 망델브로 집합의 피보나치 수열 ===
망델브로 집합은 수많은 다발이 직접 붙어 있는 기본 [[심장형]] 모양을 특징으로 한다.<ref name=":1">{{서적 인용|last=Devaney |first=Robert L. |date=April 1999 |title=The Mandelbrot Set, the Farey Tree, and the Fibonacci Sequence |url=http://dx.doi.org/10.2307/2589552 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=106 |issue=4 |pages=289–302 |doi=10.2307/2589552 |jstor=2589552 |issn=0002-9890}}</ref> 이러한 다발의 배열을 이해하려면 망델브로 집합의 경계를 자세히 조사해야 한다. 기하학적 관점에서 특정 부분을 확대하면, 경계 내의 위치와 해당 다발에서 추출된 매개변수에 대한 해당 동적인 성질에 대한 정확하고 추론 가능한 정보가 나타난다.<ref name=":2">{{웹 인용|last=Devaney |first=Robert L. |date=January 7, 2019 |title=Illuminating the Mandelbrot set |url=https://math.bu.edu/people/bob/papers/mar-athan.pdf}}</ref>

망델브로 집합 내의 주 [[심장형]]에 달린 다발 중 하나에서 추출된 매개변수 <math>c</math>에 대한 이차 다항식 <math>f_c(z) = z^2 + c</math>의 반복은 지정된 주기 <math>q</math>와 회전수 <math>p/q</math>를 갖는 끌개 주기를 특징으로 하는 사상을 생성한다. 이 맥락에서, <math>c</math>의 끌개 주기는 중심 고정점을 중심으로 회전 운동을 보이며, 각 반복에서 평균 <math>p/q</math>번 회전한다.<ref name=":2" /><ref>{{웹 인용|last=Allaway |first=Emily |date=May 2016 |title=The Mandelbrot Set and the Farey Tree |url=https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_16/2016papers/emily.pdf}}</ref>

망델브로 집합 내의 다발은 끌개 주기와 구조의 기하학적 특징 모두로 구별된다. 각 다발은 접합점에서 뻗어 나와 특정 수의 살을 보여주는 안테나를 가지며, 이는 그 주기를 나타낸다. 예를 들어, <math>2/5</math> 다발은 회전수 <math>2/5</math>를 갖는 끌개 주기로 식별된다. 그 독특한 안테나형 구조는 접합점에서 5개의 살이 뻗어 나온다. 이 살들 중에서 주된 살은 <math>2/5</math> 다발에 직접 붙어 있고, '가장 작은' 비주류 살은 주된 살에서 반시계 방향으로 약 <math>2/5</math> 회전하는 위치에 있어 <math>2/5</math>-다발로 명확하게 식별된다.<ref name=":3">{{웹 인용|last=Devaney |first=Robert L. |date=December 29, 1997 |title=The Mandelbrot Set and the Farey Tree |url=https://math.bu.edu/people/bob/papers/farey.pdf}}</ref> 이 때문에 '가장 작은' 살이 무엇인지 어떻게 구별하는가 하는 의문이 제기된다.<ref name=":1" /><ref name=":3" /> [[아드리앵 두아디]]와 [[존 H. 허버드]]가 개발한 [[외부 반직선]] 이론에서는<ref>{{웹 인용|last1=Douady, A. |last2=Hubbard, J |date=1982 |title=Iteration des Polynomials Quadratiques Complexes |url=https://pi.math.cornell.edu/~hubbard/CR.pdf}}</ref> 망델브로 집합의 위성 쌍곡선 성분의 근 지점에 정확히 두 개의 외부 반직선이 닿는다. 이 각 반직선은 각도 이중 사상 <math>\theta\mapsto</math> <math>2\theta</math> 아래에서 이중화되는 외각을 가진다. 이 정리에 따르면, 두 반직선이 같은 지점에 떨어질 때 그 사이에 다른 반직선이 교차할 수 없다. 따라서 이 영역의 '크기'는 두 각도 사이의 호 길이를 가지고 알 수 있다.<ref name=":2" />

주 심장형의 근 지점이 <math>c=1/4</math>의 첨점이라면, 주 심장형은 <math>0/1</math>-다발이다. 다른 다발의 근은 단순히 이 다발이 주 심장형에 부착된 지점이다. 이는 <math>0/1</math> 다발과 <math>1/2</math> 다발의 근 사이에 있는 가장 큰 다발은 무엇인가라는 질문을 제기한다. 이는 분명히 <math>1/3</math>-다발이다. 그리고 <math>1/3</math>은 이전 두 분수에서 [[페리 수열|페리 합]]을 통해 얻어진다. 즉, 분자끼리 더하고 분모끼리 더하는 방식이다.

<math>\frac{0}{1}</math> <math>\oplus</math> <math>\frac{1}{2}</math><math>=</math><math>\frac{1}{3}</math>

마찬가지로, <math>1/3</math> 다발과 <math>1/2</math> 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 <math>2/5</math>-다발이며, 역시 페리 합으로 주어진다.

<math>\frac{1}{3}</math> <math>\oplus</math> <math>\frac{1}{2}</math><math>=</math><math>\frac{2}{5}</math>

<math>2/5</math> 다발과 <math>1/2</math> 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 <math>3/7</math>-다발이며, <math>2/5</math> 다발과 <math>1/3</math> 다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 <math>3/8</math>-다발이다.<ref name=":2" /><ref>{{웹 인용|title=The Mandelbrot Set Explorer Welcome Page |url=http://math.bu.edu/DYSYS/explorer/ |access-date=2024-02-17 |website=math.bu.edu}}</ref> 망델브로 집합 내의 다발 배열은 <math>0</math>과 <math>1</math> 사이의 모든 [[유리수]]를 포함하는 [[페리 나무]]라는 구조를 따르는 놀라운 패턴을 따른다. 이 순서는 주 심장형의 경계를 따라 각 다발을 [[단위 구간]]의 [[유리수]]와 정확히 일치시킨다.<ref name=":3" />

[[파일:Fibonacci sequence within the Mandelbrot set.png|left|섬네일|망델브로 집합 내의 피보나치 수열]]

상단에 있는 <math>1/3</math> 다발에서 시작하여 <math>1/2</math> 원으로 진행하면, 수열은 체계적으로 전개된다. <math>1/2</math>와 <math>1/3</math> 사이에 있는 가장 큰 다발은 <math>2/5</math>이고, <math>1/3</math>와 <math>2/5</math> 사이에는 <math>3/8</math> 등이 있다.<ref>{{웹 인용|title=Maths Town |url=https://www.patreon.com/mathstown |access-date=2024-02-17 |website=Patreon}}</ref> 흥미롭게도 망델브로 집합에서 순차적인 스케일의 원형 다발 주기의 분모는 이전 두 항을 더하여 만들어지는 [[피보나치 수열]]을 따른다 – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...<ref>{{서적 인용|last1=Fang |first1=Fang |last2=Aschheim |first2=Raymond |last3=Irwin |first3=Klee |date=December 2019 |title=The Unexpected Fractal Signatures in Fibonacci Chains |journal=Fractal and Fractional |language=en |volume=3 |issue=4 |pages=49 |doi=10.3390/fractalfract3040049 |doi-access=free |issn=2504-3110|arxiv=1609.01159 }}</ref><ref>{{웹 인용|title=7 The Fibonacci Sequence |url=https://math.bu.edu/DYSYS/FRACGEOM2/node7.html#SECTION00070000000000000000 |access-date=2024-02-17 |website=math.bu.edu}}</ref>

피보나치 수열은 망델브로 집합의 독특한 지점에서 나선형 팔의 개수로 나타나며, 상단과 하단 모두에 반영된다. 이 독특한 위치는 상세한 프랙탈 시각화를 위해 가장 많은 반복 횟수를 요구하며, 확대할수록 복잡한 세부 사항이 반복된다.<ref>{{웹 인용|title=fibomandel angle 0.51 |url=https://www.desmos.com/calculator/oasdhfehoc |access-date=2024-02-17 |website=Desmos |language=en}}</ref>

=== 확대 영상 모음 ===
망델브로 집합의 경계는 이미지를 더 가까이 보거나 [[배율|확대할수록]] 더욱 복잡한 세부 사항을 보여준다. 다음은 선택된 c 값으로 확대하는 여러 이미지의 예시이다. 표시된 영역은 "-0.75 + 0.1i" 지점을 중심으로 하는 망델브로 집합 영역인 "해마 계곡"으로 알려져 있다.<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=lmlQDwAAQBAJ&pg=PA21 |page=21 |title=A Concise Introduction to Hypercomplex Fractals |author=Andrzej Katunin |publisher=CRC Press |year=2017 |isbn=978-1-351-80121-8 }}</ref>

첫 번째 이미지에 대한 마지막 이미지의 배율은 약 10<sup>10</sup>배이다. 일반적인 [[컴퓨터 모니터]]와 비교하자면 이는 지름 4백만 킬로미터의 망델브로 집합 부분을 나타낸다.
{{-}}

<gallery mode="packed">
Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|시작. 연속적으로 색칠된 환경을 가진 망델브로 집합.
Mandel zoom 01 head and shoulder.jpg|"머리"와 "몸" 사이의 간격, "해마 계곡"이라고도 불린다.<ref name=":7">{{서적 인용|last=Lisle |first=Jason |url=https://books.google.com/books?id=h-czEAAAQBAJ |title=Fractals: The Secret Code of Creation |date=2021-07-01 |publisher=New Leaf Publishing Group |isbn=978-1-61458-780-4 |pages=28 |language=en}}</ref>
Mandel zoom 02 seehorse valley.jpg|왼쪽의 이중 나선, 오른쪽의 "해마"
Mandel zoom 03 seehorse.jpg|거꾸로 된 "해마"
</gallery>

해마 "몸통"은 각각 12개의 "살"로 이루어진 두 그룹과 주 [[심장형]]에 연결된 1개의 "살"로 구성된 25개의 "살"로 이루어져 있다.<ref>{{서적 인용|last=Devaney |first=Robert L. |url=https://books.google.com/books?id=GUpaDwAAQBAJ |title=A First Course In Chaotic Dynamical Systems: Theory And Experiment |date=2018-05-04 |publisher=CRC Press |isbn=978-0-429-97203-4 |pages=259 |language=en}}</ref> 이 두 집단은 망델브로 집합의 "윗손"의 두 "손가락"에 대한 어떤 변형에 기인할 수 있다. 따라서 "살"의 수는 한 "해마"에서 다음 "해마"로 2씩 증가한다. "허브"는 [[미슈레비치 점]]이다. "몸통 윗부분"과 "꼬리" 사이에는 왜곡된 망델브로 집합의 복사본이 있는데, 이를 "위성"이라고 한다.

<gallery mode="packed" heights="180">
파일:Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|"해마 꼬리"의 중앙 끝점도 [[미슈레비치 점]]이다.
파일:Mandel zoom 05 tail part.jpg|"꼬리"의 일부 – 전체 "꼬리"를 관통하는 얇은 구조물로 이루어진 경로는 하나뿐이다. 이 지그재그 경로는 "꼬리"의 안쪽 및 바깥쪽 경계에 있는 25개의 "살"을 가진 큰 물체의 "허브"를 지나간다. 따라서 망델브로 집합은 [[단일 연결 공간|단일 연결]] 집합이며, 이는 섬이나 구멍 주위를 도는 순환 도로가 없음을 의미한다.
파일:Mandel zoom 06 double hook.jpg|위성. 두 "해마 꼬리"(또는 수상 돌기 구조)<ref>{{서적 인용|last=Kappraff |first=Jay |url=https://books.google.com/books?id=vAfBrK678_kC |title=Beyond Measure: A Guided Tour Through Nature, Myth, and Number |date=2002 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-02-4702-7 |pages=437 |language=en}}</ref>는 중심에 위성을 가진 일련의 동심원 왕관의 시작점이다.
파일:Mandel zoom 07 satellite.jpg|이러한 각 왕관은 유사한 "해마 꼬리"로 구성되며, 그 수는 2의 거듭제곱으로 증가하는데, 이는 위성 환경에서 나타나는 전형적인 현상이다. 나선형 중심에 이르는 유일한 경로는 심장형의 홈에서 "머리"의 "안테나" 꼭대기까지 위성을 지나간다.
파일:Mandel zoom 08 satellite antenna.jpg|위성의 "안테나". 여러 개의 2차 위성이 있다.
파일:Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg|위성의 "해마 계곡"<ref name=":7" />. 시작부터 모든 구조가 다시 나타난다.
파일:Mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg|이중 나선과 "해마". 시작에서 두 번째 이미지와 달리, 이들은 "해마 꼬리"와 같은 구조로 된 부속물을 가지고 있다. 이는 위성 주변 환경에서 n + 1개의 서로 다른 구조가 연결되는 전형적인 현상을 보여주며, 여기서는 가장 간단한 경우 n = 1이다.
파일:Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|2차 위성을 가진 이중 나선. "해마"와 유사하게, 이중 나선은 "안테나"의 변형으로 해석될 수 있다.
파일:Mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg|부속물의 바깥 부분에서 여러 구조물의 섬이 인식될 수 있다. 이들은 [[쥘리아 집합]] J<sub>c</sub>와 같은 모양을 가지며, 그 중 가장 큰 것은 오른쪽의 "이중 갈고리" 중앙에서 찾을 수 있다.
파일:Mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg|"이중 갈고리"의 일부.
파일:Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|여러 섬.
파일:Mandel zoom 15 one island.jpg|한 섬의 세부 모습.
파일:Mandel zoom 16 spiral island.jpg|나선의 세부 모습.
</gallery>
세 번째 마지막 단계의 섬은 해당 쥘리아 집합 <math>J_c</math>의 경우처럼 무한히 많은 부분으로 구성된 것처럼 보인다. 이들은 미세한 구조로 연결되어 전체가 단일 연결 집합을 이룬다. 이 미세한 구조는 중앙의 위성에서 서로 만나는데, 이 확대율에서는 너무 작아서 인식할 수 없다. 해당 <math>J_c</math>에 대한 <math>c</math> 값은 이미지 중심이 아니라, 망델브로 집합의 본체에 대해 6단계에서 보여진 위성에 대한 이 이미지 중심과 같은 위치를 가진다.

=== 내부 구조 ===
망델브로 집합은 일반적으로 외부 경계의 세부 사항을 보여주도록 렌더링되지만, 유계 집합 내의 구조도 드러낼 수 있다.<ref>{{서적 인용|last=Hooper |first=Kenneth J. |date=1991-01-01 |title=A note on some internal structures of the Mandelbrot Set |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/009784939190082S |journal=Computers & Graphics |volume=15 |issue=2 |pages=295–297 |doi=10.1016/0097-8493(91)90082-S |issn=0097-8493}}</ref><ref>{{웹 인용|last=Cunningham |first=Adam |date=December 20, 2013 |title=Displaying the Internal Structure of the Mandelbrot Set |url=https://www.acsu.buffalo.edu/~adamcunn/downloads/MandelbrotSet.pdf}}</ref><ref>{{서적 인용|last=Youvan |first=Douglas C |date=2024 |title=Shades Within: Exploring the Mandelbrot Set Through Grayscale Variations |url=https://rgdoi.net/10.13140/RG.2.2.24445.74727 |journal=Pre-print |doi=10.13140/RG.2.2.24445.74727}}</ref> 예를 들어, 주어진 c 값이 유계인지 비유계인지 계산하는 동안 유계로 남아있을 때 이 숫자가 도달하는 최대값을 해당 위치의 c 값과 비교할 수 있다. [[제곱합 방법]]을 사용하면 계산된 숫자는 max:(실수^2 + 허수^2) − c:(실수^2 + 허수^2)가 된다. 이 계산의 크기는 그라디언트 값으로 렌더링될 수 있다.

위 계산을 하면 다음과 같은 결과를 생성한다. 경계에 접근할수록 뚜렷한 가장자리와 윤곽선을 가진 그라디언트가 나타난다. 애니메이션은 그라디언트 경계를 강조한다.

<gallery mode=packed heights=160>
파일:Mandelbrot full gradient.gif|망델브로 집합 내부의 애니메이션 그라디언트 구조
파일:Mandelbrot inner gradient.gif|망델브로 집합 내부의 애니메이션 그라디언트 구조, 세부 모습
파일:Mandelbrot gradient iterations.gif|285에서 약 200,000까지의 점진적 반복 렌더링 및 해당 유계 그라디언트 애니메이션
파일:Mandelbrot gradient iterations thumb.gif|점진적 반복의 그라디언트 썸네일
</gallery>

== 일반화 ==
{{여러그림
 | image1 = Mandelbrot Set Animation 1280x720.gif
 | image2 = Mandelbrot set from powers 0.05 to 2.webm
 | width2 = 150
 | footer = d가 0에서 5까지, (왼쪽) 0.05에서 2까지 (오른쪽)인 멀티브로 집합의 애니메이션.
}}
[[파일:Quaternion Julia x=-0,75 y=-0,14.jpg|섬네일|4D 쥘리아 집합은 3D로 투영되거나 단면화될 수 있으며, 이로 인해 4D 망델브로 집합도 가능하다.]]

=== 멀티브로 집합 ===
[[멀티브로 집합]]은 다음의 일반적인 단일변수 [[다항식]] 재귀족의 구성원에 대해 [[복소평면]]에서 발견되는 유계 집합이다.

:<math>z \mapsto z^d + c</math>.<ref>{{콘퍼런스 인용|contribution=On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets|last=Schleicher|first=Dierk|date=2004|title=Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot, Part 1|editor-last1=Lapidus|editor-first1=Michel L.|editor-last2=van Frankenhuijsen|editor-first2=Machiel|publisher=American Mathematical Society|url=https://books.google.com/books?id=uSpT729coosC|pages=477–517}}</ref>

[[정수]] d에 대해, 이 집합들은 동일한 공식으로 구성된 쥘리아 집합의 연결성 국소이다. 완전한 3차 연결성 국소도 연구되었는데, 여기서 2매개변수 재귀 <math>z \mapsto z^3 + 3kz + c</math>를 고려한다. 이 재귀의 두 [[임계점 (수학)|임계점]]은 매개변수 k의 [[복소 제곱근]]이다. 매개변수는 두 임계점이 모두 안정적이면 3차 연결성 국소에 속한다.<ref>[[Rudy Rucker]]'s discussion of the CCM: [http://www.cs.sjsu.edu/faculty/rucker/cubic_mandel.htm CS.sjsu.edu] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20170303184004/http://www.cs.sjsu.edu/faculty/rucker/cubic_mandel.htm|date=3 March 2017}}</ref> 일반적인 [[정칙 함수]] 계열의 경우, 망델브로 집합의 경계는 [[분기 국소]]로 일반화된다.

멀티브로 집합은 지수 d의 값을 변경하여 얻어진다. 이 문서에는 d = 0에서 7까지의 발달을 보여주는 비디오가 있으며, 이때 [[둘레]] 주위에 6개, 즉 <math>(d-1)</math>개의 엽이 있다. 일반적으로 d가 양의 정수일 때, 이들 각 집합의 중심 영역은 항상 <math>(d-1)</math>개의 첨점을 갖는 [[에피사이클로이드]]이다. 음의 정수 지수로 유사한 발달을 하면 고리의 안쪽에 <math>(1-d)</math>개의 갈라짐이 생기는데, 이때 집합의 주요 중심 영역은 <math>(1-d)</math>개의 첨점을 갖는 [[하이포사이클로이드]]이다.

=== 고차원 ===
망델브로 집합을 3D로 완벽하게 확장할 수는 없다. 3D에는 복소수의 아날로그가 없어 반복할 수 없기 때문이다. 복소수를 4차원으로 확장한 [[사원수]]는 망델브로 집합과 쥘리아 집합을 4차원으로 완벽하게 확장한다.<ref name="javier-barrallo"/> 그런 다음 이들을 3D 구조로 [[단면]]도를 그리거나 [[프로젝션 매핑|투영]]할 수 있다. 사원수(4차원) 망델브로 집합은 2차원 망델브로 집합(j-k 평면)의 단순한 [[회전체]]이므로 흥미롭지 않다.<ref name="javier-barrallo">{{웹 인용|last=Barrallo|first=Javier|date=2010|title=Expanding the Mandelbrot Set into Higher Dimensions|url=https://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-247.pdf|access-date=15 September 2021|website=BridgesMathArt}}</ref> <math>d = 0\ (q = a + bi +cj + dk)</math>에서 3차원 단면을 취하면 실수 축을 중심으로 2차원 망델브로 집합의 회전체가 된다.

=== 기타 비해석적 사상 ===
[[파일:Mandelbar fractal from XaoS.PNG|left|섬네일|[[트리콘 (수학)|트리콘/망델바 프랙탈]] 이미지]]

'''[[트리콘 (수학)|트리콘]] 프랙탈'''은 '''망델바 집합'''이라고도 불리며, [[반정칙 함수]] 계열 <math>z \mapsto \bar{z}^2 + c</math>의 연결성 국소이다.<ref name=":6">{{인용|last1=Inou |first1=Hiroyuki |title=Accessible hyperbolic components in anti-holomorphic dynamics |date=2022-03-23 |arxiv=2203.12156 |last2=Kawahira |first2=Tomoki}}</ref><ref>{{인용|last1=Gauthier |first1=Thomas |title=Distribution of postcritically finite polynomials iii: Combinatorial continuity |date=2016-02-02 |arxiv=1602.00925 |last2=Vigny |first2=Gabriel}}</ref> 이는 [[존 밀너]]가 실수 [[삼차 함수]] 다항식의 매개변수 단면을 연구하던 중 발견했다. 이는 국소적으로 연결되어 있지 않다.<ref name=":6" /> 이 속성은 실수 삼차 다항식의 연결성 국소로 계승된다.

또 다른 비해석적 일반화는 다음을 반복하여 얻어지는 [[버닝 쉽 프랙탈]]이다.

:<math>z \mapsto (|\Re \left(z\right)|+i|\Im \left(z\right)|)^2 + c</math>.

== 컴퓨터로 그리기 ==
{{본문|망델브로 집합의 그래프 알고리즘}}

컴퓨팅 장치를 통해 망델브로 집합의 그래프를 그리기 위한 다양한 알고리즘이 존재한다. 여기서는 가장 인기 있고<ref>{{서적 인용|last=Katunin |first=Andrzej |url=https://books.google.com/books?id=lmlQDwAAQBAJ |title=A Concise Introduction to Hypercomplex Fractals |date=2017-10-05 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-351-80121-8 |pages=6 |language=en}}</ref> 가장 간단한 알고리즘 중 하나인<ref>{{서적 인용|last=Farlow |first=Stanley J. |url=https://books.google.com/books?id=r0QI5DMr6WAC |title=An Introduction to Differential Equations and Their Applications |date=2012-10-23 |publisher=Courier Corporation |isbn=978-0-486-13513-7 |pages=447 |language=en}}</ref> 순진한<ref>{{서적 인용|last1=Jarzębowicz |first1=Aleksander |url=https://books.google.com/books?id=mQDsEAAAQBAJ |title=Software, System, and Service Engineering: S3E 2023 Topical Area, 24th Conference on Practical Aspects of and Solutions for Software Engineering, KKIO 2023, and 8th Workshop on Advances in Programming Languages, WAPL 2023, Held as Part of FedCSIS 2023, Warsaw, Poland, 17–20 September 2023, Revised Selected Papers |last2=Luković |first2=Ivan |last3=Przybyłek |first3=Adam |last4=Staroń |first4=Mirosław |last5=Ahmad |first5=Muhammad Ovais |last6=Ochodek |first6=Mirosław |date=2024-01-02 |publisher=Springer Nature |isbn=978-3-031-51075-5 |pages=142 |language=en}}</ref> "탈출 시간 알고리즘"을 보여줄 것이다. 탈출 시간 알고리즘에서는 그래프의 각 x, y 지점에 대해 반복 계산을 수행하고 해당 계산의 동작에 따라 픽셀의 색상을 선택한다.<ref>{{서적 인용|last=Saha |first=Amit |url=https://books.google.com/books?id=EvWbCgAAQBAJ |title=Doing Math with Python: Use Programming to Explore Algebra, Statistics, Calculus, and More! |date=2015-08-01 |publisher=No Starch Press |isbn=978-1-59327-640-9 |pages=176 |language=en}}</ref><ref>{{서적 인용|last=Crownover |first=Richard M. |url=https://books.google.com/books?id=RG3vAAAAMAAJ |title=Introduction to Fractals and Chaos |date=1995 |publisher=Jones and Bartlett |isbn=978-0-86720-464-3 |pages=201 |language=en}}</ref>

각 지점의 x 및 y 위치는 반복 계산(아래에서 자세히 설명)의 시작 값으로 사용된다. 각 반복의 결과는 다음 반복의 시작 값으로 사용된다. 값은 각 반복 동안 확인되어 임계 "탈출" 조건 또는 "탈출"에 도달했는지 확인한다. 해당 조건에 도달하면 계산이 중지되고 픽셀이 그려진 다음 다음 x, y 지점이 검사된다.

각 점의 색상은 값이 탈출점에 얼마나 빨리 도달했는지를 나타낸다. 종종 검정색은 최대 반복 제한 전에 탈출에 실패한 값을 나타내는 데 사용되며, 점차 색상이 밝아질수록 더 빨리 탈출한 점에 사용된다. 이는 탈출 조건에 도달하기 전에 필요한 주기 수를 시각적으로 표현한다.

이러한 이미지를 렌더링하려면 고려 중인 복소평면 영역이 특정 수의 [[화소]]로 세분된다. 이러한 픽셀에 색을 입히려면 <math>c</math>를 해당 픽셀의 중간점으로 둔다. <math>f_c</math> 아래에서 임계점 0을 반복하고, 각 단계에서 궤도 점의 반지름이 2보다 큰지 확인한다. 이 경우 <math>c</math>는 망델브로 집합에 속하지 않으므로, 이를 확인하는 데 사용된 반복 횟수에 따라 픽셀에 색을 입힌다. 그렇지 않으면 고정된 단계 수까지 반복한 후, 매개변수가 "아마도" 망델브로 집합에 속하거나 적어도 매우 가까이 있다고 판단하여 픽셀을 검정색으로 칠한다.

[[의사코드]]로 구현한 이 알고리즘은 다음과 같다. 이 알고리즘은 복소수를 사용하지 않으며, [[복소수 자료형]]이 없는 사용자를 위해 두 개의 실수로 복소수 연산을 수동으로 시뮬레이션한다. 프로그래밍 언어에 복소수 자료형 연산이 포함되어 있다면 프로그램은 단순화될 수 있다.

<!-- NOTE that xtemp is necessary, otherwise y would be calculated with the new x, which would be wrong. Also note that one must plot (x<sub>0</sub> y<sub>0</sub>), not (x,y). -->
 '''for''' 각 화면의 픽셀(Px, Py)에 대해 '''do'''
     x0 := 픽셀의 스케일된 x 좌표 (망델브로 X 스케일 (-2.00, 0.47)에 맞게 스케일됨)
     y0 := 픽셀의 스케일된 y 좌표 (망델브로 Y 스케일 (-1.12, 1.12)에 맞게 스케일됨)
     x := 0.0
     y := 0.0
     iteration := 0
     max_iteration := 1000
     '''while''' (x^2 + y^2 ≤ 2^2 AND iteration < max_iteration) '''do'''
         xtemp := x^2 - y^2 + x0
         y := 2*x*y + y0
         x := xtemp
         iteration := iteration + 1
     <!-- keep the following line filled with trailing whitespace to insert blank line in pseudocode block -->

     color := palette[iteration]
     plot(Px, Py, color)

여기서 의사코드와 <math>c</math>, <math>z</math>, <math>f_c</math>의 관계는 다음과 같다.
* <math>z = x + iy</math>
* <math>z^2 = x^2 +i2xy - y^2</math>
* <math>c = x_0 + i y_0</math>
따라서 x와 y의 계산에서 의사코드에서 볼 수 있듯이
* <math>x = \mathop{\mathrm{Re}} \left(z^2+c \right) = x^2-y^2 + x_0</math> 및 <math>y = \mathop{\mathrm{Im}} \left(z^2+c \right) = 2xy + y_0</math>.

집합의 다채로운 이미지를 얻기 위해 실행된 반복 횟수의 각 값에 색상을 할당하는 것은 다양한 함수(선형, 지수 등) 중 하나를 사용하여 수행할 수 있다.

=== 파이썬 코드 ===
다음은 위의 알고리즘을 [[파이썬]]으로 구현한 코드이다.<ref>{{웹 인용|date=2018-10-03 |title=Mandelbrot Fractal Set visualization in Python |url=https://www.geeksforgeeks.org/mandelbrot-fractal-set-visualization-in-python/ |access-date=2025-03-23 |website=GeeksforGeeks |language=en-US}}</ref>

<syntaxhighlight lang="numpy">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Setting parameters (these values can be changed)
x_domain, y_domain = np.linspace(-2, 2, 500), np.linspace(-2, 2, 500)
bound = 2
max_iterations = 50  # any positive integer value
colormap = "nipy_spectral"  # set to any matplotlib valid colormap

func = lambda z, p, c: z**p + c

# Computing 2D array to represent the Mandelbrot set
iteration_array = []
for y in y_domain:
    row = []
    for x in x_domain:
        z = 0
        p = 2
        c = complex(x, y)
        for iteration_number in range(max_iterations):
            if abs(z) >= bound:
                row.append(iteration_number)
                break
            else:
                try:
                    z = func(z, p, c)
                except (ValueError, ZeroDivisionError):
                    z = c
        else:
            row.append(0)

    iteration_array.append(row)

# Plotting the data
ax = plt.axes()
ax.set_aspect("equal")
graph = ax.pcolormesh(x_domain, y_domain, iteration_array, cmap=colormap)
plt.colorbar(graph)
plt.xlabel("Real-Axis")
plt.ylabel("Imaginary-Axis")
plt.show()
</syntaxhighlight>다음은 위의 코드를 numba로 최적화한 코드이다.<syntaxhighlight lang="python" line="1">import numpy as np,matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.colors import LinearSegmentedColormap

from numba import njit, prange

import numpy as np

import time

#cs=[(1,.5,0),(1,.5,0),(1,.6,0),(1,.8,0),(1,1,0),(1,1,.5),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(0,0,1),(0,0,.6),(0,0,0)]

cs = [(0, 0, .6),(0, 0, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, .5),

    (1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .8, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .6, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .5, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1, .3, 0),(1,0,0),(0, 0, 0)]

cm=LinearSegmentedColormap.from_list('cdiv',cs,N=1024)

@njit(parallel=True)

def compute_tetration_divergence_parallel(nx, ny, max_iter, escape_radius, x0, y0, eps, eps_y):

    divergence_map = np.zeros((nx, ny), dtype=np.float64)

    for i in prange(nx):  # prange로 병렬 반복문

        x_val = x0 - eps + (2 * eps) * i / (nx - 1)

        for j in range(ny):

            y_val = y0 - eps_y + (2 * eps_y) * j / (ny - 1)

            c_val = complex(x_val, y_val)

            z = c_val

            divergence_map[i, j] =1.1

            for _ in range(max_iter):

                z = z ** 2 + c_val

                if abs(z) > escape_radius:

                    divergence_map[i, j] =_/max_iter

                    break

    return divergence_map



# 변수 세팅 (예시)

x0 = 0.3512#-0.87449847947295

y0 = -0.10251#0.25556091434514

eps = 3e-3#1e-13

eps_y = eps * (9/16)

n = 3840 #화질

nx, ny = n, int(n*(9/16))

max_iter = 500

escape_radius = 2

print("start")

s = time.time()

divergence_map = compute_tetration_divergence_parallel(nx, ny, max_iter, escape_radius, x0, y0, eps, eps_y)

e = time.time()

t = e - s

print(str(int(t/3600))+":"+str(int(t%3600/60))+":"+str(t%3600%60/60))

plt.figure(figsize=(10,10));nm=plt.Normalize(vmin=0,vmax=1.1)

plt.imshow(divergence_map.T,extent=[x0-eps,x0+eps,y0-eps_y,y0+eps_y],origin='lower',cmap=cm,norm=nm)

import random;a = random.random()

plt.axis('off');fn=f"mytetration_x_{x0}_y_{y0}_eps_{eps}_{n}_{a}.png"

plt.savefig(fn,dpi=1000,bbox_inches='tight',pad_inches=0);plt.show()</syntaxhighlight>[[파일:Multibrot set of power 5.png|섬네일|방정식 <math>z=z^5+c</math>로 표현되는 2차원 멀티브로 집합의 이미지.]]

'power' 변수의 값은 동등한 멀티브로 집합(<math>z = z^{\text{power}}+c</math>)의 이미지를 생성하도록 수정할 수 있다. 예를 들어, 'p = 2'로 설정하면 관련 이미지가 생성된다.

== 대중문화에 미친 영향 ==
망델브로 집합은 가장 인기 있는 [[프랙탈]]로 널리 알려져 있으며,<ref>Mandelbaum, Ryan F. (2018). [https://gizmodo.com/this-trippy-music-video-is-made-of-3d-fractals-1822168809 "This Trippy Music Video Is Made of 3D Fractals."] Retrieved 17 January 2019</ref><ref>Moeller, Olga de. (2018).[https://thewest.com.au/lifestyle/kids/what-are-fractals-ng-b88838072z "what are Fractals?"] Retrieved 17 January 2019.</ref> [[대중문화]]에서 여러 번 언급되었다.

=== 만화 ===
* 미완성 [[앨런 무어]] 만화책 시리즈 [[빅 넘버스 (만화)|빅 넘버스]](1990)는 망델브로의 프랙탈 기하학 및 [[혼돈 이론]] 연구를 이 작품의 구조를 지지하는 데 사용했다. 무어는 한때 이 만화책 시리즈의 이름을 망델브로 집합으로 지으려 했다.<ref>{{웹 인용|title=The Great Alan Moore Reread: Big Numbers by Tim Callahan|url=https://www.tor.com/2012/05/21/the-great-alan-moore-reread-big-numbers/ |website=Tor.com |date=21 May 2012 }}</ref>
* 만화 [[히카루가 죽은 여름]] (2021 – 현재)에서 요시키(Yoshiki)는 가짜 히카루의 몸에 손을 넣었을 때 망델브로 집합을 환각한다.

=== 문학 ===
* [[아서 C. 클라크]]의 소설 [[그랜드 뱅크스에서 온 유령]](1990)에는 망델브로 집합의 모양을 재현한 인공 호수가 등장한다.<ref name="Clarke2011">{{서적 인용|author=아서 C. 클라크|title=The Ghost From The Grand Banks|url=https://books.google.com/books?id=6ELsYigmXNoC|year=2011|publisher=Orion|isbn=978-0-575-12179-9}}</ref>
* [[피어스 앤서니]]의 [[모드 (책 시리즈)|모드]] 시리즈의 두 번째 책인 프랙탈 모드(Fractal Mode)(1992)는 이 집합의 완벽한 3D 모델인 세계를 묘사한다.<ref name="Anthony1992">{{서적 인용|author=피어스 앤서니|title=Fractal Mode|url=https://books.google.com/books?id=XdUyAAAACAAJ|year=1992|publisher=HarperCollins|isbn=978-0-246-13902-3}}</ref>
* [[이언 스튜어트 (수학자)|이언 스튜어트]]의 2001년 책 [[플랫랜더]]에는 만델블롯(Mandelblot)이라는 캐릭터가 등장하여 캐릭터와 독자에게 프랙탈을 설명하는 데 도움을 준다.<ref>{{서적 인용|last=Trout |first=Jody |date=April 2002 |title=Book Review: Flatterland: Like Flatland, Only More So |url=https://www.ams.org/notices/200204/rev-trout.pdf |journal=Notices of the AMS |volume=49 |issue=4 |pages=462–465}}</ref>

=== 음악 ===
* [[블루 맨 그룹]]의 1999년 데뷔 앨범 [[오디오 (앨범)|오디오]]는 "Opening Mandelbrot", "Mandelgroove", "Klein Mandelbrot"라는 곡 제목에서 망델브로 집합을 언급한다.<ref>{{웹 인용|title=Blue Man Group – Audio Album Reviews, Songs & More|url=https://www.allmusic.com/album/audio-mw0000672371 |website=Allmusic.com |access-date=4 July 2023 |language=en}}</ref> 그들의 두 번째 앨범 [[더 콤플렉스 (앨범)|더 콤플렉스]](2003)는 "Mandelbrot IV"라는 [[히든 트랙]]으로 끝난다.
* 미국 록 밴드 [[하트 (밴드)|하트]]는 앨범 [[주피터스 달링]](2004) 표지에 망델브로 집합 이미지를 사용했다.
* 영국 블랙 메탈 밴드 [[아나알 나트라흐]]는 앨범 [[에스카톤 (앨범)|에스카톤]](2006) 커버 아트에 망델브로 집합과 유사한 이미지를 사용한다.
* [[조너선 콜턴]]의 노래 "Mandelbrot Set"(2008)은 프랙탈 자체와 그 이름의 주인공인 브누아 망델브로에게 바치는 헌정곡이다.<ref name="JoCopedia">{{웹 인용|title=Mandelbrot Set|url=http://www.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set|website=JoCopeda|access-date=15 January 2015|archive-date=14 January 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150114025839/http://www.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set|url-status=dead}}</ref>
* [[닐 시시에레가]]의 노래 "It's Gonna Get Weird"(2016)는 [[괴짜가족 괴담일기]](2012 – 2016)를 위해 쓰였지만 사용되지 않은 곡으로, 주요 길항제인 [[빌 사이퍼]]의 시점에서 불린다.<ref>{{트윗 인용|last=Cicierega |first=Neil |author-link=닐 시시에레가 |user=neilcic |number=721876525625303040 |date=April 17, 2016 |title="It's Gonna Get Weird", the final unused song I wrote for Gravity Falls. http://neilblr.com/post/142982667678 |language=English |access-date=August 30, 2025 |link=https://twitter.com/neilcic/status/721876525625303040 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20220409143350/https://twitter.com/neilcic/status/721876525625303040 |archive-date=April 9, 2022}}</ref><ref>{{웹 인용|last1=Cicierega |first1=Neil |title=Neil Cicierega Tumblr. |url=https://neilblr.com/post/142982667678 |website=Tumblr |access-date=August 30, 2025 |language=en}}</ref> 한 구절에서 빌은 "망델브로 [[무지개]]"와 "[[외침|비명 지르는]] [[토네이도]]"를 만들 것을 고려한다.<ref>{{웹 인용|title=Neil Cicierega – It's Gonna Get Weird - Gravity Falls |url=https://genius.com/Neil-cicierega-its-gonna-get-weird-gravity-falls-lyrics |website=[[Genius.com]] |access-date=August 30, 2025}}</ref>

=== 기타 ===
* 텔레비전 시리즈 [[더크 젠틀리의 전체론적 탐정 사무소 (TV 시리즈)|더크 젠틀리의 전체론적 탐정 사무소]](2016)는 아만다 캐릭터의 환상과 관련하여 망델브로 집합을 두드러지게 다룬다. 시즌 2에서는 그녀의 재킷 등판에 큰 프랙탈 이미지가 그려져 있다.<ref>{{웹 인용|title=Hannah Marks "Amanda Brotzman" customized black leather jacket from Dirk Gently's Holistic Detective Agency |url=https://www.icollector.com/Hannah-Marks-Amanda-Brotzman-customized-black-leather-jacket-from-Dirk-Gently-s_i36007665 |website=www.icollector.com}}</ref>
* 브누아 망델브로와 그 이름을 딴 집합은 2020년 11월 20일(고 브누아 망델브로의 96번째 생일)의 [[구글 두들]] 주제였다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.upi.com/Top_News/US/2020/11/20/Google-honors-mathematician-Benoit-Mandelbrot-with-new-Doodle/8571605871071/ |title=Google honors mathematician Benoit Mandelbrot with new Doodle |first=Wade |last=Sheridan |website=[[UPI]] |date=20 November 2020 |access-date=30 December 2020}}</ref>

== 같이 보기 ==
{{Div col|colwidth=20em}}
* [[부다브로]]
* [[콜라츠 프랙탈]]
* [[프랙탈]]
* [[길브레스 순열]]
* [[수학 예술 소프트웨어 목록]]
* [[망델박스]]
* [[망델벌브]]
* [[멩거 스펀지]]
* [[뉴턴 프랙탈]]
* [[궤도 초상화]]
* [[궤도 트랩]]
* [[피코버 줄기]]
* [[망델브로 집합의 그래프 알고리즘]]
* [[바이어슈트라스-망델브로 함수]]{{Div col end}}

== 각주 ==
{{각주|30em}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|first=John W. |last=Milnor |authorlink=존 밀너 |title=Dynamics in One Complex Variable |edition=Third |series=Annals of Mathematics Studies |volume=160 |publisher=Princeton University Press |year=2006 |isbn=0-691-12488-4 }} <br />(1990년 [https://web.archive.org/web/20060424085751/http://www.math.sunysb.edu/preprints.html 스토니 브룩 IMS 프리프린트]로 처음 발행되었으며, [http://www.arxiv.org/abs/math.DS/9201272 arXiV:math.DS/9201272]에서 이용 가능)
* {{서적 인용|first=Nigel |last=Lesmoir-Gordon |title=The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals |url=https://archive.org/details/coloursofinfinit0000unse |year=2004 |publisher=Clear Press |isbn=1-904555-05-5 }} <br />([[아서 C. 클라크]]와 [[데이비드 길모어]]를 다룬 DVD 포함)
* {{서적 인용|first1=Heinz-Otto |last1=Peitgen |authorlink=하인츠-오토 파이젠 |first2=Hartmut |last2=Jürgens |authorlink2=하르트무트 위르겐스 |first3=Dietmar |last3=Saupe |authorlink3=디트마르 자우페 |title=Chaos and Fractals: New Frontiers of Science |publisher=Springer |location=New York |orig-year=1992 |year=2004 |isbn=0-387-20229-3 }}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
{{위키인용집}}
* [http://vimeo.com/12185093 비디오: 6.066 e228로 확대되는 망델브로 프랙탈]
* [https://www.youtube.com/watch?v=NGMRB4O922I 수학적 과정에 대한 비교적 간단한 설명], MIT [[홀리 크리거]] 박사
* [https://mandelbrot.site/ 망델브로 집합 탐색기]: 지도와 같은 인터페이스를 가진 브라우저 기반 망델브로 집합 뷰어
* [https://www.rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set 망델브로 집합 계산을 위한 다양한 알고리즘] ([[로제타 코드]]에서)
* [https://github.com/pkulchenko/ZeroBraneEduPack/blob/master/fractal-samples/zplane.lua 불가리아 소피아의 Deyan Dobromiroiv가 Lua로 작성한 프랙탈 계산기]

{{프랙탈}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:프랙탈]]
[[분류:복소동역학]]