멱급수 문서 원본 보기

{{미적분학}}
[[수학]]에서 '''멱급수'''(冪級數, {{llang|en|power series}}) 또는 '''거듭제곱 급수'''는 주어진 [[변수 (수학)|변수]]를 거듭제곱한 항들의 [[무한급수]](무한차 [[다항식]])이자 중심이 같은 일련의 [[멱함수]]들을 항으로 하는 [[무한 급수]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.
 
주어진 <math>x_0\in\mathbb K</math>에 대하여, '''중심 <math>x_0</math>의 멱급수'''(中心-冪級數, {{llang|en|power series with respect to the center <math>x_0</math>}})는 다음과 같은 꼴의 [[급수 (수학)|급수]]로 정의된다.<ref name="Ahlfors"/>{{rp|38, §2.4}}
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots</math>
여기서
:<math>a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K</math>
이다. 특히, 중심이 0인 멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots</math>
는 자주 사용된다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 <math>x\in\mathbb K</math>의 집합
:<math>\left\{x\in\mathbb K\colon\exists\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right\}</math>
을 이 멱급수의 '''수렴 영역'''(收斂領域, {{llang|en|domain of convergence}})이라고 한다.<ref name="Knopp">{{서적 인용
|성=Knopp
|이름=Konrad
|번역자-성=Young
|번역자-이름=R. C. H.
|제목=Theory and Application of Infinite Series
|언어=en
|판=2
|출판사=Blackie & Son
|위치=Glasgow
|날짜=1954
}}</ref>{{rp|153}} 실수 멱급수의 경우 '''수렴 구간'''(收斂區間, {{llang|en|interval of convergence}})이라고 하기도 하고, 복소수 멱급수의 경우 '''수렴 원판'''(收斂圓板, {{llang|en|disc of convergence}})이라고 하기도 한다.
:<math>r=\sup\left\{|x-x_0|\colon x\in\mathbb K\land\exists\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right\}\in[0,\infty]</math>
를 이 멱급수의 '''수렴 반지름'''(收斂半-, {{llang|en|radius of convergence}})이라고 한다.
 
== 연산 ==
=== 사칙연산 ===
중심이 같은 두 멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\qquad(b_0,b_1,b_2,\dots\in\mathbb K)</math>
의 수렴 반지름이 <math>0<r,r'\le\infty</math>라고 하자. 그렇다면, [[형식적 멱급수]]로서의 합, 차, 곱
:<math>\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)(x-x_0)^n</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n)(x-x_0)^n</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^na_{n-k}b_k\right)(x-x_0)^n</math>
의 수렴 반지름은 모두
:<math>\left[\min\{r,r'\},\infty\right]</math>
에 속하며, <math>r\ne r'</math>일 경우 합과 차의 수렴 반지름은 정확히 <math>\min\{r,r'\}</math>이다. 또한, 이들은 원래 두 멱급수의 수렴 영역의 교집합에서 각각 원래 두 멱급수의 합, 차, 곱으로 수렴한다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|제목=Complex Analysis
|언어=en
|판=4
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=103
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1999
|isbn=978-1-4419-3135-1
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-1-4757-3083-8
}}</ref>{{rp|60, §II.3, Theorem 3.1}} 만약 <math>b_0\ne 0</math>일 경우, 형식적 멱급수로서의 몫
:<math>\sum_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n\qquad\left(c_0=\frac{a_0}{b_0},\;c_1=\frac{a_0-b_1c_0}{b_0},\;c_2=\frac{a_0-b_1c_1-b_2c_0}{b_0},\;\dots\right)</math>
의 수렴 반지름은
:<math>[r'',\infty]</math>
에 속한다. 여기서
:<math>r''=\inf\left(\{r,r'\}\cup\left\{|x-x_0|\colon|x-x_0|<r'\land\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n=0\right\}\right)</math>
이다. 특히, <math>0<r''\le\infty</math>이므로 수렴 반지름은 0보다 크다. 또한 이는 원래 두 멱급수의 수렴 영역과 스스로의 수렴 영역의 교집합으로부터 원래 둘째 멱급수의 영점을 제외한 집합에서 원래 두 멱급수의 몫으로 수렴한다.

=== 합성 ===
두 멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a_0)^n\qquad(b_0,b_1,b_2,\dots\in\mathbb K)</math>
의 수렴 반지름이 <math>0<r,r'\le\infty</math>라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합성
:<math>\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\sum_{j_1,j_2,\dotsc,j_k\ge 1}^{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}b_{j_1}b_{j_2}\cdots b_{j_k}\right)(x-x_0)^n</math>
의 수렴 반지름은
:<math>[r'',\infty]</math>
에 속한다. 여기서
:<math>r''=\sup\left\{0<s<r\colon\forall x\in\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,s)\colon\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\in\operatorname{ball}_{\mathbb K}(a_0,r')\right\}</math>
이다. 또한 이는 자신의 수렴 영역에서 원래 두 멱급수의 [[함수의 합성|합성]]으로 수렴한다.
 
=== 미분 ===
멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)</math>
의 수렴 반지름이 <math>0<r\le\infty</math>라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 도함수
:<math>\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>
의 수렴 반지름은 역시 <math>r</math>이다.<ref name="Ahlfors"/>{{rp|38, §2.4, Theorem 2, (iii)}} 또한, 이는 수렴 영역의 내부 <math>\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)</math>에서 원래 멱급수의 도함수로 수렴한다. 만약 도함수 멱급수가 수렴 영역의 어떤 경계점 <math>\xi\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)</math>에서 수렴한다면, 원래 멱급수 역시 <math>\xi</math>에서 수렴한다. 그러나 이에 대한 역은 일반적으로 성립하지 않는다.<ref name="wusj">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第二册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2010-02
|isbn=978-7-301-15876-0
}}</ref>{{rp|221, §11.2}}

=== 중심의 변경 ===
멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)</math>
의 수렴 반지름이 <math>0<r\le\infty</math>라고 하자. 그렇다면, 임의의 수렴 영역 내부의 점 <math>x_1\in\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)</math>에 대하여, 중심 <math>x_1</math>의 멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=n}^\infty\binom kna_k(x_1-x_0)^{k-n}\right)(x-x_1)^n</math>
의 수렴 반지름은
:<math>[r-|x_1-x_0|,r+|x_1-x_0|]</math>
에 속하며, 새로운 멱급수는 원래 멱급수와 스스로의 수렴 영역의 교집합에서 원래 멱급수로 수렴한다.<ref name="Lang" />{{rp|69-70, §II.4}}

== 성질 ==
=== 수렴 반지름 ===
멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)</math>
의 수렴 반지름을 <math>r</math>라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 [[열린 공]]
:<math>\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)=\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|<r\}</math>
에서 [[절대 수렴]]하고 [[콤팩트 수렴]]하며,
:<math>\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|>r\}</math>
의 모든 점에서 발산한다.<ref name="Ahlfors"/>{{rp|38, §2.4, Theorem 2, (i)(ii)}} 특히, 만약 <math>r=0</math>일 경우 수렴 영역은 <math>\{x_0\}</math>이고, 만약 <math>r=\infty</math>일 경우 수렴 영역은 <math>\mathbb K</math> 전체이다. 만약 <math>0<r<\infty</math>일 경우, 수렴 영역의 [[경계 (위상수학)|경계]]
:<math>\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)=\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|=r\}</math>
의 점에서 멱급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 또한, 만약 멱급수가 수렴 영역의 [[경계점]] <math>\xi\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)</math>에서 수렴한다면, 멱급수는 선분
:<math>\{(1-t)x_0+t\xi\colon t\in[0,1]\}</math>
에서 [[균등 수렴]]한다. 특히, 실수 멱급수는 전체 수렴 영역에서 콤팩트 수렴한다.
 
'''[[코시-아다마르 정리]]'''에 따르면, 수렴 반지름 <math>r</math>는 구체적으로 다음과 같다.<ref name="Ahlfors"/>{{rp|38-39, §2.4}}
:<math>\frac 1r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>
 
=== 아벨 극한 정리 ===
{{본문|아벨 극한 정리}}
멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)</math>
의 수렴 반지름이 <math>0<r<\infty</math>이고, 이 멱급수가 수렴 영역의 경계점 <math>\xi\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)</math>에서 수렴한다고 하자. '''[[아벨 극한 정리]]'''에 따르면, 임의의 <math>0<K<\infty</math>에 대하여,
:<math>\lim_{{x\to\xi}\atop{{|x-x_0|<r}\atop{|\xi-x|\le K(|\xi-x_0|-|x-x_0|)}}}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(\xi-x_0)^n</math>
이다.<ref name="Ahlfors">{{서적 인용|성=Ahlfors|이름=Lars Valerian|저자링크=라르스 알포르스|제목=Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable|url=https://archive.org/details/complexanalysis0000ahlf|언어=en|판=3|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|출판사=McGraw-Hill Book Company|위치=[[뉴욕]]|날짜=1979|isbn=978-1-259-06482-1|mr=0510197|zbl=0395.30001|id={{iaid|complexanalysisi0000ahlf_v7n1}}}}</ref>{{rp|}}
{{rp|41, §2.5, Theorem 3}} 특히,
:<math>\lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n(t(\xi-x_0))^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(\xi-x_0)^n</math>
이 성립한다. 이에 따라, [[실수]] 멱급수는 (수렴하는 경계점을 포함한) 수렴 영역 전체에서 [[연속 함수]]이며, [[복소수]] 멱급수는 수렴하는 경계점 수렴 영역 [[내부 (위상수학)|내부]]의 다른 두 점을 꼭짓점으로 하는 임의의 [[닫힌집합|닫힌]] 삼각형에서 연속 함수이다.
 
=== 해석 함수와의 관계 ===
[[열린집합]]의 모든 열린원판에서 중심이 열린원판의 중심인 수렴하는 멱급수로 전개되는 함수를 [[해석 함수]]라고 한다. 특히, 모든 멱급수는 수렴 영역의 내부에서 해석 함수이다. 만약 <math>\mathbb K=\mathbb C</math>일 경우, 해석 함수와 [[미분 가능 함수]]의 개념은 일치하며, 이를 다른 말로 [[정칙 함수]]라고도 한다. 그러나 만약 <math>\mathbb K=\mathbb R</math>일 경우, 모든 계의 도함수를 갖는 함수는 해석 함수보다 약한 개념이다.
 
[[연결 공간|연결]] 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb K</math>에 정의된 해석 함수 <math>f\colon D\to\mathbb K</math>의 열린원판 <math>\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)\subseteq D</math>에서의 멱급수 전개는 [[테일러 급수]]
:<math>f(x)=\sum_{n=0}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\qquad(x\in\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r))</math>
로 유일하다. 만약 이 테일러 급수의 실제 수렴 반지름 <math>r'</math>이
:<math>\inf_{x\in\partial D}|x-x_0|<r'\le\infty</math>
를 만족시키고, <math>D\cap\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r'')</math>이 연결 열린집합이 되는
:<math>\inf_{x\in\partial D}|x-x_0|<r''<r'</math>
이 존재한다면, <math>f</math>는 <math>x_0</math>에서의 멱급수 전개를 통해 <math>D</math>를 포함하는 더 큰 연결 열린집합 <math>D\cup\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r'')</math> 위의 해석 함수로 [[해석적 연속|확장]]될 수 있다. 즉, <math>D\cup\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r'')</math> 위에서 <math>f</math>의 [[해석적 연속]]이 존재한다. 주어진 해석 함수가 주어진 더 큰 정의역 위에서 해석적 연속을 갖는다면 이는 유일하다. 그러나 만약 <math>\mathbb K=\mathbb C</math>일 경우, 위와 같은 확장 과정을 어떤 [[닫힌 곡선]]을 따라 반복하면 일반적으로 [[다가 함수]]를 얻는다. (이 과정을 닫힌 곡선을 따라 반복하려면, <math>D\cup\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r'')</math>에 정의된 함수를 확장하는 것이 아니라, <math>\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r'')</math>에 정의된 함수를 확장하여야 하며, 다음 단계들도 마찬가지다.) 일가 함수를 얻을 한 가지 충분 조건은 [[모노드로미 정리]]에서 제시된다.
 
=== 특이점 ===
[[복소수]] 멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n\qquad(z_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb C)</math>
의 수렴 반지름이 <math>0<r<\infty</math>이라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 [[특이점|특이]] 경계점을 갖는다. 즉, <math>\operatorname{ball}_{\mathbb C}(z_0,r)\cup\{\zeta\}</math>의 [[근방]] 위에서 이 멱급수의 해석적 연속이 존재하지 않는 <math>\zeta\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb C}(z_0,r)</math>가 존재한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2014-10-06
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|320, Theorem 16.2}}

== 응용 ==
=== 상미분 방정식의 풀이 ===
{{본문|프로베니우스 방법}}
위의 식을 이용해 다음의 [[미분 방정식]]을 풀 수 있다.
:<math>y''+p\left( x \right)y'+q\left( x \right)y=r\left( x \right)</math>
를 만족시키는 y를 거듭제곱 급수 형태로 가정하고 풀어낸다. 단, <math>p\left( x \right),q\left( x \right),r\left( x \right)</math>가 <math>x=x_{o}</math>에서 해석적(analytic)이어야 한다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
 | 성 = Kreyszig
 | 이름 = Erwin
 | 제목 = Advanced Engineering Mathematics
 | url = https://archive.org/details/advancedengineer0008krey
 | 출판사 = John Wiley & Sons, INC.
 | 연도 = 1999
 | 판 = 8
 | isbn=0-471-15496-2
}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=멱급수}}
* {{eom|title=Power series}}
* {{매스월드|id=PowerSeries|title=Power series}}
 
{{급수}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:실해석학]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:급수]]