뫼비우스 함수 문서 원본 보기

[[수론]]과 [[조합론]]에서, '''뫼비우스 함수'''(Möbius函數, {{llang|en|Möbius function}})는 정수가 [[제곱 인수가 없는 정수]]인지 여부에 따라 분류하는 [[곱셈적 함수]]이다. [[뫼비우스 반전 공식]]에 사용되며, [[리만 가설]]과도 깊은 관계를 가진다. 기호는 <math>\mu(n)</math>.

== 정의 ==
'''뫼비우스 함수'''
:<math>\mu\colon \mathbb Z^+\to\{-1,0,+1\}</math>
는 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>을 다음과 같이 <math>\{-1,0,1\}</math> 가운데 하나에 대응시킨다.
* <math>n</math>이 <math>k</math>개의 소인수를 갖는 [[제곱 인수가 없는 정수]]라면 <math>\mu(n)=(-1)^k</math>이다. (특수한 경우로, <math>n=1</math>은 0개의 소인수를 가지므로 <math>\mu(1)=1</math>이다.)
* <math>n</math>이 [[제곱 인수가 없는 정수]]가 아니라면, <math>\mu(n)=0</math>이다.
즉, <math>n</math>의 [[소인수 분해]]가
:<math>n=\prod_pp^{n_p}</math>
라면, 뫼비우스 함수는 다음과 같다.
:<math>\mu(n)=(-1)^{\sum_pn_p}\prod_p[n_p\le1]</math>
여기서 <math>[\cdots]</math>는 [[아이버슨 괄호]](조건이 참이면 1, 아니면 0)이다.

뫼비우스 함수 <math>\mu(n)</math>은 또한 [[1의 거듭제곱근|1의 원시적 <math>n</math>제곱근]]의 합이다.
:<math>\mu(n)=\sum_{\scriptstyle 1\le k\le n\atop\scriptstyle \gcd\{k,n\}=1} \exp(2\pi ik/n)</math>
{{증명|부제=포함배제의 원리을 통한 증명}}
다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\sum_{k=1}^n\exp(2\pi ik/n)=\delta_{n,1}=\begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}</math>
[[포함배제의 원리]]에 따라, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align} \mu(n)
& = \sum_{d\mid n} \mu(d)\delta_{n/d,1} \\
& = \sum_{d\mid n} \mu(d) \sum_{k=1}^{n/d} \exp(2\pi idk/n) \\
& = \sum_{k=1}^n \exp(2\pi ik/n)
- \sum_{p\mid n} \sum_{k=1}^{n/p} \exp(2\pi ipk/n)
+ \sum_{\scriptstyle p,q\mid n\atop\scriptstyle p<q} \sum_{k=1}^{n/pq} \exp(2\pi ipqk/n)
- \cdots \\
& = \sum_{\scriptstyle 1\le k\le n\atop\scriptstyle \gcd\{k,n\}=1} \exp(2\pi ik/n)
\end{align}</math>
{{증명 끝}}
{{증명|부제=중국인의 나머지 정리를 통한 증명}}
우선, 우변 <math>f(n)</math>이 <math>n</math>에 대한 [[곱셈적 함수]]임을 보이자. <math>\exp(2\pi i)=1</math>이므로,
:<math>k\equiv k'\pmod n</math>
라면
:<math>\exp(2\pi ik/n)=\exp(2\pi ik'/n)</math>
이다. 따라서, 우변의 합은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
:<math>f(n)=\sum_{k\in(\mathbb Z/(n))^\times}\exp(2\pi ik/n)</math>
이제, <math>n</math>의 [[소인수 분해]]가
:<math>n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}</math>
라고 하자. [[중국인의 나머지 정리]]에 따라, 각 <math>i\in\{1,\dots,r\}</math>에 대하여
:<math>e_i\equiv1\pmod{p_i^{a^i}}</math>
:<math>e_i\equiv0\pmod{p_j^{a_j}}\qquad(j\ne i)</math>
인 유일한 <math>e_i\in\mathbb Z/(n)</math>이 존재한다. 그렇다면,
:<math>(k_1,\dots,k_r)\mapsto k_1e_1+\cdots k_re_r</math>
은 [[군 (수학)|군]] [[동형 사상]]
:<math>(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times\times\cdots\times(\mathbb Z/(p_r^{a_r}))^\times\to(\mathbb Z/(n))^\times</math>
을 이루며, 특히 이는 [[전단사 함수]]이다. 마찬가지로,
:<math>k_i\mapsto e_ik_i</math>
는 군의 [[자기 동형 사상]]
:<math>(\mathbb Z/(p_i^{a_i}))^\times\to(\mathbb Z/(p_i^{a_i}))^\times</math>
을 이루며, 특히 이는 [[전단사 함수]]이다. 따라서,
:<math>\begin{align}f(n)
&=\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\cdots\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi i(k_1e_1+\cdots+k_re_r)/n)\\
&=\left(\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi ik_1e_1/n)\right)\cdots\left(\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi ik_re_r/n)\right)\\
&=\left(\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi ik_1/n)\right)\cdots\left(\sum_{k_1\in(\mathbb Z/(p_1^{a_1}))^\times}\exp(2\pi ik_r/n)\right)\\
&=f(p_1^{a_1})\cdots f(p_r^{a_4})
\end{align}</math>
이다.

이제, [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>와 양의 정수 <math>a\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>f(p^a)=\mu(p^a)</math>임을 보이면 족하며, 이는 다음과 같이 쉽게 보일 수 있다.
:<math>\begin{align}f(p^a)
&=\sum_{\scriptstyle 1\le k\le p^a\atop\scriptstyle \gcd\{k,p\}=1} \exp(2\pi ik/p^a)\\
&=\sum_{k=1}^{p^a}\exp(2\pi ik/p^a)-\sum_{k=1}^{p^{a-1}} \exp(2\pi ik/p^{a-1})\\
&=\begin{cases} -1 & a=1 \\ 0 & a>1 \end{cases}
\end{align}</math>
{{증명 끝}}

<math>\mu</math>는 양이 아닌 정수에 대하여 일반적으로 정의하지 않는다.

'''메르텐스 함수'''(Mertens函數, {{llang|en|Mertens function}})는 뫼비우스 함수의 부분합이다. 즉, 다음과 같은 함수이다.
:<math>M\colon\mathbb Z^+\to\mathbb Z</math>
:<math>M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)</math>
뫼비우스 함수는 [[1의 거듭제곱근|1의 원시적 <math>n</math>제곱근]]의 합이므로, 메르텐스 함수를 다음과 같이 정의할 수도 있다.
:<math>M(n)= \sum_{a\in \mathcal F_n}\exp(2\pi ia)</math>
여기서 <math>\mathcal F_n</math>은 <math>n</math>차 [[페리 수열]]이다.

== 성질 ==
뫼비우스 함수는 [[곱셈적 함수]]이다. 즉, [[서로소 정수|서로소]] 정수에 대하여 다음과 같다.
:<math>\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)\qquad(\gcd\{a,b\}=1)</math>
뫼비우스 함수는 [[디리클레 합성곱]] 아래 [[상수 함수]] 1의 역원이다.
:<math>(\mu*1)(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) = \delta_{n,1}=\begin{cases}1&n=1\\
0&n>1
\end{cases}</math>
이 성질 때문에 뫼비우스 함수는 [[뫼비우스 반전 공식]]에 등장한다.

=== 생성 함수 ===
뫼비우스 함수의 [[생성 함수 (수학)|생성 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=1}^\infty \mu(n)x^n = x - \sum_{a=2}^\infty x^a + \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty x^{ab} - \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty x^{abc} + \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty \sum_{d=2}^\infty x^{abcd} - \cdots </math>

뫼비우스 함수의 [[람베르트 급수]]는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)q^n}{1-q^n} = q</math>
이는 <math>|q|<1</math>에 대하여 수렴한다.

뫼비우스 함수의 [[디리클레 급수]]는 [[리만 제타 함수]]의 역수이다.
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)}</math>

=== 점근적 성질 ===
[[파일:Congettura di Mertens.svg|섬네일|right|메르텐스 추측은 메르텐스 함수의 그래프가 포물선 속에 머무른다는 추측이다. 이는 작은 수에 대해서 성립하지만, 매우 큰 수에 대하여 성립하지 않는다.]]
뫼비우스 함수의 값이 <math>\{\pm1,0\}</math>뿐이므로, 메르텐스 함수는 매우 느리게 움직이며 또한 자명하게
:<math>|M(n)|\le n\qquad\forall n\in\mathbb Z^+</math>
이다.

[[소수 정리]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac1nM(n)=0</math>
또한, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^n|\mu(n)|=
\prod_p\left(1-{{1}\over{p^2}}\right)={{1}\over{\zeta(2)}}={{6}\over{\pi^2}}</math>
즉, 점근적으로 <math>3/\pi^2\approx30.4\%</math>의 수에 대하여 뫼비우스 함수가 +1이며, <math>3/\pi^2\approx30.4\%</math>의 수에 대하여 뫼비우스 함수가 −1이며, <math>1-6/\pi^2\approx39.2\%</math>의 수에 대하여 뫼비우스 함수가 0이다.

[[리만 가설]]은 메르텐스 함수에 대한 다음 조건과 [[동치]]이다.
:<math>M(n)=O(x^{1/2+\epsilon})\qquad\forall \epsilon\in\mathbb R^+</math>
'''메르텐스 추측'''(Mertens推測, {{llang|en|Mertens conjecture}})은 <math>\forall n\in\mathbb Z^+\colon|M(n)|\le\sqrt n</math>라는 명제이다. 이는 오랫동안 난제로 있었으나, 1985년에 거짓으로 판명되었으며, 다음이 성립한다.<ref name="OtR"> {{저널 인용 | last1=Odlyzko | first1=A. M. | last2=te Riele | first2=H. J. J. | title=Disproof of the Mertens conjecture | url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/mertens.disproof.pdf | doi=10.1515/crll.1985.357.138 |mr=783538 | year=1985 | journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik | volume=357 | pages=138–160 | zbl=0544.10047 | issn=0075-4102 |언어=영어}}</ref><ref>{{서적 인용 | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I  | url=https://archive.org/details/handbookofnumber0000jsnd | location=Dordrecht | publisher=Springer | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 | pages=[https://archive.org/details/handbookofnumber0000jsnd/page/n186 187]–189 }}</ref>{{rp|188–189}}
:<math>\liminf \frac{M(n)}{\sqrt n}<-1.009</math>
:<math>\limsup \frac{M(n)}{\sqrt n}>1.06</math>
그러나 [[리만 가설]]은 현재 (2021년) 미해결 문제이다. 메르텐스 추측보다 더 약하지만 리만 가설보다 더 강한 명제
:<math>M(x)=O(x^{1/2})</math>
역시 아직 반증되지 않았으나, 이는 아마 거짓일 것이라고 추측된다.<ref name="OtR"/>

=== 급수 ===
뫼비우스 함수에 대하여 다음과 같은 급수가 존재한다.
:<math>\sum_{n=1}^\infty (\mu(n)/n)^2=15/\pi^2</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty \mu(n)\frac{\ln n}n=-1</math>

== 표 ==
처음 몇 개의 양의 정수에 대해서 뫼비우스 함수와 메르텐스 함수의 값은 다음과 같다. {{OEIS|A008683}}, {{OEIS|A002321}}
{| class=wikitable
! <math>n</math>
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12
|-
! <math>\mu(n)</math>
| 1 || −1 || −1 || 0 || −1 || 1 ||  −1 || 0 || 0 || 1 || −1 || 0
|-
! <math>M(n)</math>
| 1 || 0 || −1 || −1 || −2 || −1 || −2 || −2 || −2 || −1 || −2 || −2
|}
뫼비우스 함수의 값의 그래프는 다음과 같다.
:[[파일:Moebius mu.svg]]
메르텐스 함수의 10<sup>4</sup>까지의 값의 그래프는 다음과 같다.
:[[파일:Mertens function.svg]]

<math>\mu(n)=0</math>인 정수 <math>n</math> (즉, [[제곱 인수가 없는 정수]]가 아닌 수)은 다음과 같다.
:4,  8,  9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, … {{OEIS|A013929}}

== 역사 ==
[[레온하르트 오일러]]는 1748년 저서<ref>{{서적 인용|제목=Introductio in analysin infinitorum|이름=Leonhardus|성=Eulerus|저자링크=레온하르트 오일러|출판사=Apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios|날짜=1748|언어=la|위치=[[로잔]]}}</ref>에 뫼비우스 함수를 정의하고 암묵적으로 사용하였지만, 자세하게 다루지 않았다.<ref name="Shapiro">{{서적 인용|제목=Introduction to the Theory of Numbers|url=https://archive.org/details/introductiontoth00haro|이름=Harold N.|성=Shapiro|isbn=0-471-86737-3|출판사=Wiley|날짜=1983|언어=영어}}</ref>{{rp|99, Notes to §3.1}} 1798년에 [[카를 프리드리히 가우스]]는 《산술 연구》({{llang|la|Disquisitiones Arithmeticae}})<ref>{{서적 인용|이름=Carolus Fridericus|성=Gavss|저자링크=카를 프리드리히 가우스|제목=Disqvisitiones arithmeticae|출판사=in commissis apvd Gerh. Fleischer, Jun.|위치=[[라이프치히]]|날짜=1801|언어=la}}</ref>에서 [[1의 거듭제곱근|1의 원시 <math>n</math>거듭제곱근]]의 합이 <math>\mu(n)</math>이라는 것을 보였으나, 역시 이 함수를 특별히 연구하지 않았다.

1831년에 [[아우구스트 페르디난트 뫼비우스]]는 뫼비우스 함수를 최초로 명시적으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Möbius|이름=A. F.|저자링크=아우구스트 페르디난트 뫼비우스|제목=Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1832|호=9|쪽= 105-123|날짜= 1832|issn=0075-4102|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002138654|doi=10.1515/crll.1832.9.105|eram=009.0333cj|언어=de}}</ref><ref name="Shapiro"/>{{rp|99, Notes to §3.1}} 1874년에 [[프란츠 메르텐스]]가 최초로 오늘날 사용되는 기호 μ를 사용하였다.<ref>{{저널 인용|이름=F.|성= Mertens|저자링크=프란츠 메르텐스|날짜=1874|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1874|호=78|쪽=46–62|제목=Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie|issn=0075-4102|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002155656|doi=10.1515/crll.1874.78.46|jfm=06.0116.01|언어=de}}</ref>{{rp|53}}<ref name="Shapiro"/>{{rp|99, Notes to §3.1}}

1885년 7월 11일에 [[토마스 요아너스 스틸티어스]]는 [[샤를 에르미트]]에게 보낸 편지에서 메르텐스 함수를 최초로 사용하였다. (이 편지는 1905년에 출판되었다.<ref name="Stieltjes">{{서적 인용|성=Stieltjes|이름=T. J.|저자링크=토마스 요아너스 스틸티어스|날짜=1905|장=79. Stieltjes a Hermite. Paris, 11 juillet 1885|편집자=B. Baillaud, H. Bourget|제목=Correspondance d’Hermite et Stieltjes|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|출판사=Gauthier-Villars|쪽=160–164|장url=https://archive.org/stream/correspondancedh01hermuoft#page/160/mode/2up|언어=프랑스어}}</ref>) 스틸티어스는 <math>M(n)=O(\sqrt n)</math>임을 증명하였다고 주장하였고, 또 메르텐스 추측 (<math>|M(n)|\le\sqrt n</math>)을 추측하였다. 스틸티어스는 뫼비우스 함수를 <math>f(n)</math>으로, 메르텐스 함수를 <math>g(n)</math>으로 표기하였다. 이 편지에서 스틸티어스는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
그러나 나는 이 합
:<math>g(n)=f(1)+f(2)+\cdots+f(n)</math>
에서 <math>\pm1</math> 항들이 서로 충분히 상쇄하여 <math>\tfrac{g(n)}{\sqrt n}</math>가 (임의로 큰 <math>n</math>에 대하여) 항상 상계와 하계를 갖는 것을 발견하였습니다. (아마 이 상계와 하계는 +1과 −1로 잡을 수 있을 것입니다.) […]
이와 같이 이 모든 산술 연구는 이 합 <math>f(1)+f(2)+\cdots+f(n)</math>에 의존합니다. 나의 증명은 매우 어렵습니다. 나는 연구를 계속하여 이 증명을 더 간략하게 하려고 시도할 것입니다.<br>
{{lang|fr|
Or, je trouve que dans la somme
:<math>g(n)=f(1)+f(2)+\cdots+f(n),</math>
les termes <math>\pm1</math> se compensent assez bien pour que <math>\tfrac{g(n)}{\sqrt n}</math> reste toujours comprise entre deux limites fixes, quelque grand que soit <math>n</math> (probablement on peut prendre pour ces limites +1 et −1).
[…]
Vous voyez que tout dépend d’une recherche arithmétique sur cette somme <math>f(1)+f(2)+\cdots+f(n)</math>. Ma démonstration est bien pénible; je tâcherai, lorsque je reprendrai ces recherches, de la simplifier encore.}}
|<ref name="Stieltjes"/>{{rp|162–163}}
}}
그러나 스틸티어스는 이 "증명"을 출판하지 않았다.

1897년에 [[프란츠 메르텐스]]는 메르텐스 함수를 독자적으로 재발견하였고, 메르텐스 추측을 스틸티어스와 독자적으로 추측하였다.<ref>{{저널 인용|이름=F.|성=Mertens|저자링크=프란츠 메르텐스|날짜=1897|제목=Ueber eine zahlentheoretische Function|저널=Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a|권=106|쪽=761–830|jfm= 28.0177.01|언어=de}}</ref>

1985년에 앤드루 마이클 오들리스코({{llang|en|Andrew Michael Odlyzko}}, 1949~)와 헤르마뉘스 요하너스 요서프 터 릴러({{llang|nl|Hermanus Johannes Joseph te Riele}}, 1947~)는 메르텐스 추측이 거짓임을 증명하였다.<ref name="OtR"/>

== 같이 보기 ==
* [[뫼비우스 반전 공식]]
* [[제곱 인수가 없는 정수]]
* [[근접 대수]]
* [[리만 제타 함수]]
* [[프라임 제타 함수]]

== 참고 문헌 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류|Moebius function}}
* {{eom|title=Möbius function}}
* {{매스월드|id=MoebiusFunction|title=Möbius function}}
* {{매스월드|id=MertensFunction|title=Mertens function}}
* {{매스월드|id=MertensConjecture|title=Mertens conjecture}}
* {{웹 인용|날짜=2011-02-23|url=https://rjlipton.wordpress.com/2011/02/23/the-depth-of-the-mobius-function/|제목=The depth of the Möbius function|웹사이트=Gödel’s Lost Letter and P=NP|이름=R. J.|성=Lipton|언어=영어}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2015/09/06/sign-patterns-of-the-mobius-and-liouville-functions/|제목=Sign patterns of the Möbius and Liouville functions|이름=Terence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|날짜=2015-09-06|웹사이트=What’s New|언어=영어}}
* {{웹 인용|url=http://oeis.org/wiki/M%C3%B6bius_function|제목=Möbius function|웹사이트=OeisWiki|언어=영어}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathwiki.net/뫼비우스_뮤_함수|제목=뫼비우스 뮤 함수|웹사이트=오메가|언어=한국어}}{{깨진 링크|url=http://www.mathwiki.net/%EB%AB%BC%EB%B9%84%EC%9A%B0%EC%8A%A4_%EB%AE%A4_%ED%95%A8%EC%88%98 }}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}
{{새 사용자 작업에서 제외 (링크 추가)}}

[[분류:곱셈적 함수]]