미분 등급 대수 문서 원본 보기

[[호몰로지 대수학]]에서 '''미분 등급 대수'''(微分等級代數, {{llang|en|differential graded algebra}}, 약자 DGA)는 [[곱 규칙]]을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 [[공사슬 복합체]]이다. [[미분 대수]]의 개념의 일반화이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자.

=== 추상적 정의 ===
음이 아닌 차수 [[공사슬 복합체]]의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)</math>를 생각하자. 이는 [[텐서곱]]에 대하여 [[대칭 모노이드 범주]]를 이루며, 따라서 [[모노이드 대상]]과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다.

'''미분 등급 대수'''는 <math>\operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)</math>의 [[모노이드 대상]]이다. '''가환 미분 등급 대수'''(可換微分等級代數, {{llang|en|commutative differential graded algebra}}, CDGA)는 <math>\operatorname{Ch}^{\ge0}(\operatorname{Mod}_K)</math>의 가환 [[모노이드 대상]]이다. 이들의 범주를 각각 <math>\operatorname{DGA}^{\ge0}_K</math> 및 <math>\operatorname{CDGA}^{\ge0}_K</math>이라고 표기하자.

음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 [[공사슬 복합체]]를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각 <math>\operatorname{DGA}^{\mathbb Z}_K</math> 및 <math>\operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K</math>라고 표기하자.

=== 구체적 정의 ===
<math>K</math>에 대한 '''미분 등급 대수''' <math>(A,\mathrm d)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\textstyle A=\bigoplus_{i\in\mathbb N}A_i</math>는 결합 <math>K</math>-[[등급환|등급 대수]]이다.
* <math>d\colon A_i\to A_{i+1}</math>는 등급이 1인 <math>K</math>-[[선형 변환]]이다.
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
* (멱영성) <math>\mathrm d^2=0</math>. 즉, <math>(A,\mathrm d)</math>는 [[공사슬 복합체]]이다.
* ([[곱 규칙]]) 모든 동차 원소 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>\mathrm d(ab)=(\mathrm da)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm db)</math>

<math>K</math>에 대한 '''가환 미분 등급 대수'''는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데, <math>(-)^{\deg}</math>에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,
:<math>ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba</math>
이다.

== 연산 ==
=== 직접곱 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족 <math>(A^{(i)})_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 이들의 [[곱집합]]
:<math>A_n = \prod_{i\in I}A_n^{(i)}</math>
:<math>A = \bigoplus_{n\in\mathbb N}A_n</math>
은 미분 등급 대수를 이룬다.

=== 몫 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 미분 등급 대수 <math>A</math>의 '''미분 등급 아이디얼'''(微分等級ideal, {{llang|en|differential graded ideal}}) <math>\mathfrak a\subseteq A</math>는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 [[부분 집합]]이다.
* <math>A</math>의 [[양쪽 아이디얼]]이다.
* [[등급 벡터 공간]]이다. 즉, 임의의 <math>a\in\mathfrak a</math>에 대하여, <math>\textstyle a=\sum_ia_i</math>, <math>a_i\in A_i</math>라면, 모든 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>a_i\in \mathfrak a</math>이다.
* [[공사슬 복합체]]이다. 즉, 임의의 <math>a\in\mathfrak a</math>에 대하여, <math>\mathrm da\in\mathfrak a</math>이다.
미분 등급 아이디얼 <math>\mathfrak a</math>가 주어졌을 때, '''몫 미분 등급 대수'''({{llang|en|quotient differential graded algebra}}) <math>A/\mathfrak a</math>를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 [[준동형]] <math>A\to B</math>의 [[핵 (수학)|핵]]은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.

=== 코호몰로지 ===
미분 등급 대수의 [[코호몰로지]] <math>\operatorname H^\bullet(A,\mathrm d)</math>는 <math>\mathrm d=0</math>인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 [[준동형]]
:<math>[-]_A\colon A\to \operatorname H(A)</math>
을 갖는다.

또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형 <math>f\colon A\to B</math>은 그 [[코호몰로지]]의 미분 등급 대수 [[준동형]]
:<math>f_* \colon \operatorname H(A)\to \operatorname H(B)</math>
을 유도한다.

만약 미분 등급 대수 준동형 <math>f</math>에 대하여, <math>f_*</math>가 [[동형 사상]]이라면, <math>f</math>를 '''[[유사동형]]'''(類似同型, {{llang|en|quasi-isomorphism}})이라고 한다.

(이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 [[동치 관계]]를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.)

만약 <math>[-]_A\colon A\to \operatorname H(A)</math>가 유사동형이라면, <math>A</math>를 '''형식적 미분 등급 대수'''(形式的微分等級代數, {{llang|en|formal differential graded algebra}})라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다.

== 성질 ==
[[체의 표수|표수]] 0인 체 <math>K</math> 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.
* [[자연수]] 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 <math>\operatorname{CDGA}^{\ge0}_K</math>
* [[자연수]] 등급의 미분 등급 대수의 범주 <math>\operatorname{DGA}^{\ge0}_K</math>
* [[정수]] 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 <math>\operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K</math>
* [[정수]] 등급의 미분 등급 대수의 범주 <math>\operatorname{DGA}^{\mathbb Z}_K</math>

<math>\operatorname{CDGA}^{\ge0}_K</math> 및 <math>\operatorname{DGA}^{\ge0}_K</math> 위에는 다음과 같은 [[모형 범주]] 구조를 줄 수 있다.
* 약한 동치는 유사동형이다.
* 올뭉치는 각 차수마다 [[전사 함수]]인 [[준동형]]이다.
** 모든 대상이 [[올대상]]이다.
* 쌍대올뭉치는 [[설리번 대수|상대 설리번 대수]]의 [[왼쪽 역사상]]이다.
** [[쌍대올대상]]은 [[설리번 대수]]이다. 이들은 항상 가환 대수이다.

<math>\operatorname{DGA}^{\ge0}_K</math>의 경우, 망각 함자 <math>\operatorname{CDGA}^{\ge0}_K\to\operatorname{DGA}^{\ge0}_K</math>는 [[왼쪽 수반 함자]]를 가지며, 이는 [[퀼런 수반 함자]]를 이룬다.

<math>\operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K</math>의 경우, 다음과 같은 모형 구조를 줄 수 있다.
* 약한 동치는 유사동형이다.
* 올뭉치는 각 차수마다 [[전사 함수]]인 [[준동형]]이다.
** 모든 대상이 [[올대상]]이다.
* 쌍대올뭉치는 약한 동치와 올뭉치로서 결정된다.

만약 <math>K</math>가 [[표수 0]]이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 [[모형 범주]] 구조를 정의하지 못한다.

== 예 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[미분 형식]] <math>\Omega^\bullet(M)</math>은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우, <math>\mathrm d</math>는 [[외미분]]이고, 대수 연산은 [[쐐기곱]]이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[특이 코호몰로지]] 환 <math>\operatorname H^\bullet(X)</math>은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 <math>\mathrm d</math>는 [[복시테인 준동형]]이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다.

[[리 대수]]의 [[코쥘 복합체]]나 기저가 주어진 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[텐서 대수]] <math>\operatorname T^\bullet(V)</math> 역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[A∞-대수]]
* [[미분 등급 리 대수]]

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=differential graded algebra|title=Differential graded algebra}}
* {{nlab|id=formal dg-algebra|title=Formal dg-algebra}}
* {{nlab|id=model structure on dg-algebras|title=Model structure on dg-algebras}}
* {{nlab|id=dg-ideal}}
* {{nlab|id=dg-module}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/23269/non-examples-of-model-structures-that-fail-for-subtle-surprising-reasons|제목=
Non-examples of model structures, that fail for subtle/surprising reasons | 웹사이트=Math Overflow|언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:대수]]