반완전환 문서 원본 보기

[[환론]]에서 '''반완전환'''(半完全環, {{llang|en|semiperfect ring}})은 모든 [[유한 생성 가군]]이 [[사영 덮개]]를 갖는 [[환 (수학)|환]]이다.

== 정의 ==
환 <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''반완전환'''({{llang|en|semiperfect ring}})이라고 한다.
* <math>1=e_1+e_2+\cdots+e_k</math>가 되는, [[국소 멱등원]]들의 직교 유한 집합 <math>\{e_1,e_2,\dots,e_k\}</math>가 존재한다.<ref name="Lam1">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈 | 출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|347, Theorem 23.6}}
* <math>R/\operatorname{rad}(R)</math>는 [[반단순환]]이며, <math>R/\operatorname{rad}(R)</math>의 모든 [[멱등원]] <math>[e]\in R/\operatorname{rad}(R)</math>에 대하여 <math>e\in[e]</math>가 되는 <math>R</math>-멱등원 <math>e\in R</math>가 존재한다.<ref name="Lam1"/>{{rp|346, Definition 23.1}}
* 모든 <math>R</math>-[[유한 생성 왼쪽 가군]]이 [[사영 덮개]]를 갖는다.
* 모든 <math>R</math>-[[유한 생성 오른쪽 가군]]이 [[사영 덮개]]를 갖는다.
(여기서 모든 [[반단순환]]은 [[왼쪽 아르틴 환]]·[[오른쪽 아르틴 환]]이며, <math>\operatorname{rad}R</math>는 [[제이컵슨 근기]]를 뜻한다.)

환 <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''왼쪽 완전환'''(-完全環, {{llang|en|left perfect ring}})이라고 한다.
* 모든 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]이 [[사영 덮개]]를 갖는다.
* 모든 <math>R</math>-[[평탄 왼쪽 가군]]은 [[사영 왼쪽 가군]]이다.
* (배스 정리 P {{llang|en|Bass’s theorem P}}) <math>R</math>-[[주 오른쪽 아이디얼]]들 <math>\{rR\colon r\in R\}</math>은 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다. (※ 왼쪽이 아니라, 주 오른쪽 아이디얼이다.)
* <math>R/\operatorname{rad}R</math>는 [[반단순환]]이며, 임의의 [[수열|열]] <math>j_0,j_1,j_2,\dots\in\operatorname{rad}R</math>에 대하여 <math>j_0j_1j_2\cdots j_n=0</math>이 되는 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>이 존재한다.
* <math>R/\operatorname{rad}R</math>는 [[반단순환]]이며, 모든 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]은 [[영가군]]이 아니라면 [[극대 부분 가군]]을 갖는다.
마찬가지로 '''오른쪽 완전환'''(-完全環, {{llang|en|right perfect ring}})의 개념을 정의할 수 있다. 반완전환과 달리, 완전환의 개념은 왼쪽·오른쪽이 서로 다르다.

== 성질 ==
반완전환·왼쪽 완전환·오른쪽 완전환의 개념은 ([[가군]]만을 통해 정의되므로) [[모리타 동치]]에 대하여 불변이다.

=== 함의 관계 ===
임의의 (곱셈 항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]]에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.<ref name="Lam1"/>{{rp|335}}
{| style="text-align: center"
| [[오른쪽 아르틴 환]] || ⇒ || [[오른쪽 뇌터 환]] || || 오른쪽 완전환
|-
| || ⇘ || || ⇗ || || ⇘
|-
| || || 반으뜸환 || || [[국소환]] || ⇒ || 반완전환 || ⇒ || 반국소환
|-
| || ⇗ || || ⇘ || || ⇗
|-
| [[왼쪽 아르틴 환]] || ⇒ || [[왼쪽 뇌터 환]] || || 왼쪽 완전환
|}
여기서 '''반으뜸환'''(半-環, {{llang|en|semiprimary ring}})은 그 [[제이컵슨 근기]] <math>\operatorname{rad}R</math>가 [[멱영 아이디얼]]이며, [[제이컵슨 근기]]에 대한 [[몫환]] <math>R/\operatorname{rad}R</math>가 [[반단순환]]인 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>를 뜻한다.

=== 사영 가군 ===
<math>R</math>가 반완전환이며, <math>\{e_1,\dots,e_k\}</math>가 서로 직교인 국소 멱등원들의 집합이라고 하자.

반완전환 <math>R</math> 위의 모든 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 왼쪽 가군]] <math>_RM</math>은 다음과 같은 꼴의 유한 [[직합]]으로 분해된다.
:<math>M=(Re_1)^{\oplus n_1}\oplus(Re_2)^{\oplus n_2}\oplus\cdots\oplus (Re_k)^{\oplus n_k}</math>
여기서 각 <math>n_k\in\mathbb N</math>은 [[자연수]]이다.

<math>R</math>가 추가로 왼쪽 완전환이라고 하자. <math>R</math> 위의 모든 [[사영 왼쪽 가군]] <math>_RM</math>은 다음과 같은 꼴 [[직합]]으로 분해된다.
:<math>M=(Re_1)^{\oplus\kappa_1}\oplus(Re_2)^{\oplus\kappa_2}\oplus\cdots\oplus (Re_k)^{\oplus\kappa_k}</math>
여기서 각 <math>\kappa_i</math>는 (무한 또는 유한) [[기수 (수학)|기수]]이다.

=== 주 분해 불가능 가군 ===
<math>R</math>가 반완전환이라고 하자. 그렇다면, [[원시 멱등원]] <math>e\in R</math>에 대하여, <math>Re</math>와 같은 꼴의 [[왼쪽 가군]]을 '''주 분해 불가능 왼쪽 가군'''({{llang|en|principal indecomposable left module}})이라고 한다. 이들은 [[분해 불가능 가군]]이며 [[사영 가군]]이다.

그렇다면, <math>R</math> 위의 [[단순 왼쪽 가군]]들의 동형류 집합은 <math>R</math> 위의 주 분해 불가능 왼쪽 가군들의 동형류 집합과 표준적으로 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, [[원시 멱등원]] <math>e\in R</math>가 주어졌을 때, 주 분해 불가능 왼쪽 가군 <math>Re</math>에 대응하는 단순 왼쪽 가군은
:<math>\frac{Re}{\operatorname{rad}(R)e}</math>
이다.

=== 나카야마 순열 ===
반완전환 <math>R</math>가 유한 개의 원시 멱등원 <math>\{e_1,\dots,e_n\}</math>을 갖는다고 하자. 만약
:<math>\operatorname{soc}(Re_{\sigma(i)})\cong\frac{Re_i}{\operatorname{rad}(R)e_i}</math>
:<math>\operatorname{soc}(e_iR)\cong{Re_{\sigma(i)}}{e_{\sigma(i)}\operatorname{rad}(R)}</math>
라면, <math>\sigma</math>를 <math>R</math>의 '''나카야마 순열'''([中山]順列, {{llang|en|Nakayama permutation}})이라고 한다. 이는 [[나카야마 다다시]]가 도입하였다.

== 분류 ==
반완전환 <math>R</math>는 다음과 같은 유한 [[직접곱]]으로 나타낼 수 있다.<ref name="Lam1"/>{{rp|361, Theorem 25.4}}
:<math>R=e_1R\times e_2R\times\cdots\times e_kR</math>
여기서 각 <math>e_i\in\operatorname Z(R)</math>는 [[환의 중심|중심]]에 속하는 [[원시 멱등원]]들이다. 각 <math>e_iR</math>는 항등원 <math>e_i\in e_iR</math>를 갖는 반완전환이다.

반완전환 <math>R</math>의 '''기초 멱등원'''({{llang|en|basic idempotent}}) <math>e\in R</math>는 다음과 같은 꼴의 [[멱등원]]이다.
:<math>e=e_1+e_2+\cdots+e_k</math>
여기서
* 각 <math>e_i\in R</math>는 원시 멱등원이며, <math>e_ie_j=e_je_i\qquad\forall i,j</math>이다.
* <math>\{Re_1,Re_2,\dots,Re_k\}</math>는 각각 서로 동형이 아닌 주 분해 불가능 가군들에 대응한다.
기초 멱등원 <math>e\in R</math>가 주어졌을 때, <math>eRe</math>는 반완전환을 이루며, 이는 <math>R</math>의 [[모리타 동치]]류의 표준적인 대표원을 이룬다.<ref name="Lam1"/>{{rp|364}}

== 역사 ==
1956년에 [[사무엘 에일렌베르크]]는 모든 대상이 [[사영 덮개]]를 갖는 [[아벨 범주]]를 "완전 범주"({{llang|en|perfect category}})라고 명명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Homological dimension and syzygies|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1956-09_64_2/page/328|이름=Samuel|성=Eilenberg|저자링크=사무엘 에일렌베르크|저널=Annals of Mathematics|doi=10.2307/1969977|jstor=1969977|권=64|호=2|날짜=1956-09|쪽=328–336|issn=0003-486X|언어=en}}</ref> 이후 에일렌베르그의 용어를 차용하여, [[하이먼 배스]]가 1960년에 완전환 및 반완전환의 개념을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|last=Bass|first=Hyman|저자링크=하이먼 배스|title=Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings|doi=10.1090/S0002-9947-1960-0157984-8|jstor=1993568|mr=0157984|year=1960|journal=Transactions of the American Mathematical Society|issn=0002-9947|volume=95|issue=3|pages=466–488|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Semi-perfect ring}}
* {{eom|title=Perfect ring}}

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{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:환론]]