보르다 계산법 문서 원본 보기

{{선거 제도 사이드바|expanded=Single-winner}}
'''보르다 계산법''', '''보르다 카운트'''(borda count) 또는 '''능력 순위'''(order of merit)는 각 후보에게 자신보다 [[선호투표제|낮은 순위]]를 받은 후보 수와 같은 점수를 부여하는 [[위치 투표]] 규칙이다. 가장 낮은 순위의 후보는 0점, 두 번째로 낮은 순위의 후보는 1점을 받는 식이다. 가장 많은 점수를 얻은 후보가 승리한다.

보르다 계산법은 여러 번 독립적으로 재창안되었으며, 1435년 [[니콜라우스 쿠자누스]]가 처음으로 기록된 제안을 했다(아래 [[#역사|역사]] 참조).<ref name="Emerson_2016">{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=6txlCwAAQBAJ |title=From Majority Rule to Inclusive Politics |last=Emerson |first=Peter |date=2016-01-16 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-23500-4 |language=en}}</ref><ref name=":2">{{서적 인용|last=Emerson |first=Peter |date=2013-02-01 |title=The original Borda count and partial voting |journal=Social Choice and Welfare |language=en |volume=40 |issue=2 |pages=353–358 |doi=10.1007/s00355-011-0603-9 |s2cid=29826994 |issn=0176-1714}}</ref> 그러나 이 방법은 1770년 이 시스템을 재고안한 18세기 프랑스 수학자이자 해군 엔지니어인 [[장-샤를 드 보르다]]의 이름을 따서 명명되었다.{{Sfn|McLean|Urken|Hewitt|1995|p=81}}

보르다 계산법은 쾌적한 이론적 속성과 조작 용이성으로 인해 [[사회 선택 이론]]에서 잘 알려져 있다. [[전략적 투표]]와 [[피선거권]]이 없는 경우, 보르다 계산법은 (지속적으로 다수의 선호를 따르기보다는) 널리 수용 가능한 선택지나 후보를 선출하는 경향이 있다.<ref name="Lippman">{{서적 인용|url=https://www.opentextbookstore.com/mathinsociety/ |title=Math in Society |last=Lippman |first=David |chapter=Voting Theory |quote=Borda count is sometimes described as a consensus-based voting system, since it can sometimes choose a more broadly acceptable option over the one with majority support. |chapter-url=https://www.opentextbookstore.com/mathinsociety/current/VotingTheory.pdf}}</ref> 투표 및 지명 패턴이 모두 완전히 무작위일 때, 보르다 계산법은 일반적으로 예외적으로 높은 [[사회적 효용 효율성]]을 갖는다.<ref name=":0" /> 그러나 이 방법은 유사한 후보군이 모여 있을 때 [[스포일러 효과]]에 매우 취약하다. 더 많은 후보가 선거에 미치는 영향이 무한하기 때문에, 어떤 정당이든 충분한 [[복제 독립성|복제 후보]]를 내세워 선거에서 승리할 수 있다.<ref name=":0" /><ref>{{서적 인용|last=Russell |first=Nathan |date=2007-01-01 |title=Complexity of control of Borda count elections |url=https://repository.rit.edu/theses/332/ |journal=Theses |via=[[로체스터 공과대학교|RIT]] Digital Institutional Repository}}</ref> [[동점 순위|동점]] 또는 [[절단된 투표 용지]]의 일반적인 구현은 유권자가 전략적일 때 극단적인 [[전략적 투표#매장|매장]]을 유인할 수 있으며, 이는 매우 인기가 없는 [[다크호스]] 후보가 아무런 관심도 받지 않고 승리할 수 있게 한다.<ref name=":02" /><ref>{{웹 인용|last1=Myerson |first1=Roger B. |last2=Weber |first2=Robert J. |title=A Theory of Voting Equilibria |url=https://www.jstor.org/stable/2938959 |website=The American Political Science Review |pages=102–114 |doi=10.2307/2938959 |date=1993}}</ref><ref>{{서적 인용|last1=Felsenthal |first1=Dan S. |title=Setting the Record Straight: A Note on Sophisticated Voting under Borda's Method |journal=Public Choice |date=1996 |volume=89 |issue=1/2 |pages=17–25 |url=https://www.jstor.org/stable/30024145 |issn=0048-5829}}</ref> 이 문제는 보르다 계산법에서는 표시된 낮은 선호도가 유권자의 첫 번째 선호도 당선을 실패하게 할 수 있기 때문에 발생한다. 보르다 계산법에서는 낮은 선호도가 높은 선호도보다 적은 가중치를 받으므로 이 문제는 [[버클린 투표|버클린 시스템]]보다 덜 심각하지만, 여전히 존재한다.<ref>"Why We Love the Borda Count", https://blog.opavote.com/2017/03/why-we-love-borda-count.html accessed April 2, 2025</ref>

전통적인 보르다 계산법은 현재 [[슬로베니아 국회]]의 두 소수 민족 의원을 선출하는 데 사용되며,<ref name=":1">{{웹 인용|url=http://www.minelres.lv/NationalLegislation/Slovenia/Slovenia_ElecParl_excerpts_English.htm |title=Slovenia's electoral law |website=www.minelres.lv |access-date=15 June 2009 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304001534/http://www.minelres.lv/NationalLegislation/Slovenia/Slovenia_ElecParl_excerpts_English.htm |archive-date=4 March 2016 |url-status=dead}}</ref> 수정된 형태로 [[2013년 아이슬란드 의회 선거#선거구|아이슬란드 의회 선거]]에서 정당 명부 의석에 선출될 후보를 결정하는 데 사용된다. [[#다우들|다우들 시스템]]으로 알려진 변형은 [[나우루 의회]] 의원 선출에 사용된다.<ref name="Fraenkel_Grofman_20142">{{서적 인용|last1=Fraenkel |first1=Jon |last2=Grofman |first2=Bernard |date=2014-04-03 |title=The Borda Count and its real-world alternatives: Comparing scoring rules in Nauru and Slovenia |journal=Australian Journal of Political Science |volume=49 |issue=2 |pages=186–205 |doi=10.1080/10361146.2014.900530 |s2cid=153325225}}</ref> 1970년대 초반까지 핀란드에서는 정당 명부 내에서 개별 후보를 선정하는 데 또 다른 변형이 사용되었다. 1979년부터 2002년까지 이 방법은 [[키리바시]]의 대통령 선거 후보를 선정하는 데 사용되었다.<ref name="Reilly2002">{{서적 인용|last=Reilly |first=Benjamin |date=2002 |title=Social Choice in the South Seas: Electoral Innovation and the Borda Count in the Pacific Island Countries |journal=International Political Science Review |volume=23 |issue=4 |pages=364–366 |citeseerx=10.1.1.924.3992 |doi=10.1177/0192512102023004002 |s2cid=3213336}}</ref> 또한 전 세계적으로 다양한 민간 단체 및 대회에서 널리 사용된다.

[[쿼터 보르다 시스템]]은 비례적인 [[다수 당선 투표|다수 당선]] 변형이다. {{목차숨김|3}}

==투표 및 계산==
===투표 용지===
[[파일:Preferential ballot.svg|140px|섬네일|right]]
보르다 계산법은 [[선호투표제]] 시스템이다. 유권자는 후보 목록을 선호도 순으로 순위를 매긴다. 예를 들어, 유권자는 가장 선호하는 후보에게 1, 두 번째로 선호하는 후보에게 2를 부여하는 식이다. 이러한 점에서 [[즉석결선투표제]], [[단기 이양식 투표 제도]] 또는 [[콩도르세 방법]]과 같은 다른 선호투표제 시스템과 유사하다. 후보를 평가하기 위한 정수 값의 순위는 [[큰 수의 법칙]]에 기반한 확률 모델을 사용한 [[라플라스]]에 의해 정당화되었다.

보르다 계산법은 [[위치 투표 시스템]]으로 분류된다. 즉, 모든 선호도가 계산되지만 다른 값으로 계산된다. 다른 일반적으로 사용되는 위치 투표 시스템은 [[선두당선제]]로, 최고 후보에게만 1점을 할당한다.

각 후보는 각 투표 용지에서 선호하는 후보 수와 같은 점수를 받는다. 따라서 n명의 후보가 있을 때, 각 후보는 첫 번째 선호도에 대해 n-1점, 두 번째 선호도에 대해 n-2점 등을 받는다.<ref name="Black_19872">{{서적 인용|last1=Black |first1=Duncan |author-link1=Duncan Black |url=https://books.google.com/books?id=CRdnaPy8oB4C&q=honest&pg=PA182 |title=The Theory of Committees and Elections |date=1987 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-89838-189-4 |language=en |orig-year=1958}}</ref> 우승자는 가장 많은 총점을 얻은 후보이다. 예를 들어, 4명의 후보가 있는 선거에서 단일 투표 용지에 유권자가 표현한 선호도에 할당된 점수는 다음과 같다.

{| class="wikitable"
! 순위 !! 후보 !! 공식 !! 점수
|-
! 1위
| 앤드루 || n − 1 || '''3'''
|-
! 2위
| 브라이언 || n − 2 || '''2'''
|-
! 3위
| 캐서린 || n − 3 || '''1'''
|-
! 4위
| 데이비드 || n − 4 || '''0'''
|}
U, V, W 세 명의 유권자가 있다고 가정하자. U와 V는 후보를 A-B-C-D 순서로 순위를 매기고, W는 B-C-D-A 순서로 순위를 매긴다.
{| class="wikitable"
! 후보 !! U 점수 !! V 점수 !! W 점수 !! 총점
|-
| 앤드루 || 3 || 3 || 0 || 6
|-
| 브라이언 || 2 || 2 || 3 || 7
|-
| 캐서린 || 1 || 1 || 2 || 4
|-
| 데이비드 || 0 || 0 || 1 || 1
|}
따라서 브라이언이 당선된다.

[[#테네시|아래]]에 테네시주 수도에 대한 가상의 선거를 기반으로 한 더 긴 예시가 나와 있다.

==속성==
===추정 절차로서의 선거===
[[니콜라 드 콩도르세|콩도르세]]는 선거를 추정치를 결합하려는 시도로 보았다. 각 후보가 우수성 수치를 가지고 있고 각 유권자가 각 후보의 가치에 대한 노이즈가 있는 추정치를 가지고 있다고 가정해 보자. 투표 용지는 유권자가 추정된 우수성 순서로 후보를 순위를 매길 수 있게 한다. 선거의 목표는 최고의 후보에 대한 결합된 추정치를 생성하는 것이다. 이러한 추정치는 개별 구성 요소보다 더 신뢰할 수 있다.<ref>{{웹 인용|last1=Pacuit |first1=Eric |url=https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/voting-methods/ |title=Voting Methods |date=3 August 2011 |publisher=The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 Edition) |editor-last1=Zalta |editor-first1=Edward N.}}</ref>

[[페이턴 영]]은 보르다 계산법이 최적 후보의 대략적인 [[최대가능도 방법|최대가능도 추정치]]를 제공한다는 것을 보여주었다.<ref name=":0">{{서적 인용|last1=Young |first1=H. P. |date=December 1988 |title=Condorcet's Theory of Voting |journal=American Political Science Review |volume=82 |issue=4 |pages=1231–1244 |doi=10.2307/1961757 |jstor=1961757 |s2cid=14908863}}</ref> 그의 정리는 오류가 독립적이라고 가정한다. 즉, 유권자가 특정 후보를 높게 평가하더라도 "유사한" 후보를 높게 평가할 것이라고 기대할 이유가 없다는 것이다. 만약 이 속성이 없다면, 즉 유권자가 공유된 속성을 가진 후보에게 상관관계가 있는 순위를 부여한다면, 최대가능도 속성은 상실되고 보르다 계산법은 [[스포일러 효과|지명 효과]]에 매우 취약해진다. 즉, 유사한 후보가 투표 용지에 있으면 후보가 당선될 가능성이 더 높아진다.

===무관한 후보의 영향<span class="anchor" id="irrelevant"></span>===
[[파일:Borda (dependence on irrelevant alternatives).png|right|455px|보르다 계산법에 따른 선거]]
보르다 계산법은 유권자들이 스펙트럼을 따라 분포되어 있을 때에도, 그 자체로는 고려 대상이 아닌 후보의 존재로 인해 특히 왜곡되기 쉽다. [[콩도르세 기준]]을 충족하는 투표 시스템은 자동으로 [[중위 투표자 정리]]를 충족하므로 이 약점에서 보호된다. 중위 투표자 정리는 다른 후보가 누구든 상관없이 선거의 승자는 중위 투표자가 선호하는 후보가 될 것이라고 말한다.

스펙트럼을 따라 0, 1, ..., 10으로 쓸 수 있는 11명의 유권자가 있고, 앤드루와 브라이언 두 후보가 다음과 같은 위치에 있다고 가정해 보자.
{| class="wikitable"
! 후보
| A
| B
|-
! 위치
| 5{{분수|1|4}}
| 6{{분수|1|4}}
|}
중위 유권자 말린은 위치 5에 있으며, 두 후보 모두 그녀의 오른쪽에 있으므로 A가 당선될 것으로 예상할 수 있다. 보르다 시스템의 경우, 계산을 설명하기 위해 표를 작성하여 이를 확인할 수 있다. 표의 주요 부분은 행과 열 제목으로 주어진 대로 두 번째 후보보다 첫 번째 후보를 선호하는 유권자를 보여주며, 오른쪽의 추가 열은 첫 번째 후보의 점수를 제공한다.
{| class="wikitable" style="border:none"
! {{대각선 분할|1위|2위}}
! A !! B
| rowspan="3" style="border: none; background: white;" |
! 점수
|-
! A
| {{Sdash}} || 0–5 || 6
|-
! B
| 6–10 || {{Sdash}} || 5
|}
A가 실제로 당선된다.

그러나 이제 두 명의 추가 후보가 더 오른쪽에 선거에 참여한다고 가정해 보자.
{| class="wikitable"
! 후보
| A
| B
| C
| D
|-
! 위치
| 5{{분수|1|4}}
| 6{{분수|1|4}}
| 8{{분수|1|4}}
| 10{{분수|1|4}}
|}
계산표는 다음과 같이 확장된다.
{| class="wikitable" style="border:none"
! {{대각선 분할|1위|2위}}
! A !! B !! C !! D
| rowspan="5" style="border: none; background: white;" |
! 점수
|-
! A
| {{Sdash}} || 0–5 || 0–6 || 0–7 || 21
|-
! B
| 6–10 || {{Sdash}} || 0–7 || 0–8 || 22
|-
! C
| 7–10 || 8–10 || {{Sdash}} || 0–9 || 17
|-
! D
| 8–10 || 9–10 || 10 || {{Sdash}} || 6
|}
두 명의 [[더미 후보]]의 등장은 B가 선거에서 승리할 수 있도록 한다. 유사한 사례로 인해 [[니콜라 드 콩도르세|콩도르세 후작]]은 보르다 계산법이 "판단을 형성하기 위해 [[무관한 대안의 독립성|무관한 요소에 의존]]"하기 때문에 "오류로 이어질 수밖에 없다"고 주장했다.<ref name="Fraenkel_Grofman_20142"/>

===기타 속성===
다음 표에 결과가 요약된 여러 공식화된 [[투표 시스템 기준]]이 있다.
{{Comparison of Schulze to preferential voting systems}}

시뮬레이션에 따르면 보르다는 전략적 투표가 없고 모든 후보를 순위 매기는 투표 용지가 있을 때 콘도르세 승자가 존재할 경우 이를 선택할 확률이 높다.<ref name="Emerson_2016" /><ref name="Fraenkel_Grofman_20142"/>

==동점 순위==
동점 순위를 처리하는 여러 가지 방법이 제안되었다. 앞서 논의한 4명의 후보 선거를 사용하여 이를 설명할 수 있다.
{| class="wikitable"
! 순위 !! 후보 !! 점수
|-
! 1위
| 앤드루 || '''3'''
|-
! 2위
| 브라이언 || '''2'''
|-
! 3위
| 캐서린 || '''1'''
|-
! 4위
| 데이비드 || '''0'''
|}

* '''전통적인 보르다''': 보르다가 원래 제안한 시스템에서는 각 동점 후보에게 최소 점수가 주어졌다. 따라서 유권자가 앤드루를 첫 번째 선호, 브라이언을 두 번째 선호로 표시하고 캐서린과 데이비드를 순위 매기지 않으면 앤드루는 3점, 브라이언은 2점, 캐서린과 데이비드는 0점을 받는다. 이는 나로디츠카와 월시가 "반올림"이라고 부르는 예시이다.
* '''토너먼트 보르다:''' 각 후보는 엄격하게 선호하는 모든 후보에 대해 1점을 받는 것 외에, 동점인 다른 모든 후보에 대해 0.5점을 받는다. 이 예시에서 유권자가 앤드루와 브라이언 사이에 무차별하고 둘 다 캐서린보다 선호하며 캐서린은 데이비드보다 선호한다고 가정해 보자. 그러면 앤드루와 브라이언은 각각 2{{분수|1|2}}점을 받고, 캐서린은 1점, 데이비드는 0점을 받는다. 이는 나로디츠카와 월시가 "평균"이라고 부르는 것이다.<ref name="nina2">{{인용|last1=Narodytska |first1=Nina |title=The Computational Impact of Partial Votes on Strategic Voting |volume=263 |pages=657–662 |year=2014 |series=Frontiers in Artificial Intelligence and Applications |arxiv=1405.7714 |doi=10.3233/978-1-61499-419-0-657 |s2cid=15652786 |last2=Walsh |first2=Toby |doi-access=free}}</ref>
* {{앵커|수정된 보르다|수정된 보르다 계산법}}'''수정된 보르다''': 유권자의 순위 마지막에만 동점을 허용한다. 순위 매기지 않은 후보에게는 점수를 주지 않고, 순위 매긴 후보 중 가장 선호도가 낮은 후보에게 1점 등을 부여한다. 따라서 유권자가 앤드루를 브라이언보다 높게 순위 매기고 다른 후보를 순위 매기지 않으면 앤드루는 2점, 브라이언은 1점, 캐서린과 데이비드는 0점을 받는다. 이는 "버림"과 동일하다. 투표 용지에서 가장 선호하는 후보는 순위 매기지 않은 후보 수에 따라 다른 점수를 받는다.

=== 전략에 미치는 영향 ===
수정된 보르다 및 토너먼트 보르다 방법뿐만 아니라 동점 순위를 허용하지 않는 보르다 방법은 전술적 투표에 재앙적인 반응을 보이는 것으로 잘 알려져 있으며, 이러한 반응을 [[칠면조 선거]]라고 한다.<ref name=":02">{{콘퍼런스 인용|last=Monroe |first=Burt |date=September 2001 |title=Raising Turkeys: An Extension and Devastating Application of Myerson-Weber Voting Equilibrium |url=https://www.accuratedemocracy.com/archive/condorcet/Monroe/004004MonroeBurt.pdf |conference=American Political Science Association}}</ref> [[과학 아카데미 (프랑스)]] (보르다가 회원이었던)는 보르다 시스템을 실험했지만 "유권자들이 보르다 규칙을 조작하는 방법을 알아냈다"는 이유로 부분적으로 이를 포기했다.{{Sfn|McLean|Urken|Hewitt|1995|p=40}} 보르다 계산법의 전략적 조작 문제에 대해 드 보르다 씨는 다음과 같이 말했다.<ref name="Black_19872"/>{{Sfn|McLean|Urken|Hewitt|1995|p=40}}<ref>{{서적 인용|last=Mascart |first=Jean |author-link=Jean Mascart |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7053023q/f146.item |title=La vie et les travaux du chevalier Jean-Charles de Borda (1733–1799). Épisodes de la vie scientifique au XVIII<sup>e</sup> siècle |publisher=A. Rey |year=1919 |location=Lyon |page=130}}</ref>{{blockquote|text={{lang|fr|Mon scrutin n'est fait que pour d'honnêtes gens.}}<br>
내 제도는 오직 정직한 사람들을 위한 것이다.}}포기되었음에도 불구하고, 버림 보르다 규칙은 전통적인 또는 토너먼트 변형보다 전술적 투표에 대한 반응이 훨씬 덜 심각하다. 전술적 투표는 상대적으로 경미한 [[집중 투표]]로 구성되며, 이는 잠재적인 칠면조 선거를 초래하기보다는 선거를 [[선두당선제|다수결 투표]]와 정직한 보르다 계산법 사이의 혼합으로 행동하게 할 뿐이다. 이 규칙을 사용하는 슬로베니아에서는 약 42%의 유권자가 두 번째 선호도를 순위 매긴다.<ref name="Fraenkel_Grofman_20142"/>

=== 강제적인 절단 ===
일부 보르다 투표 구현은 유권자가 투표 용지를 특정 길이로 잘라야 한다.

*키리바시에서는 1979년에서 2002년 사이에 사용된 변형은 전통적인 보르다 공식을 사용했지만, 유권자는 입후보자 수와 관계없이 네 명의 후보에게만 순위를 매겼다.<ref name="reilly">{{서적 인용|last=Reilly |first=Benjamin |date=2002 |title=Social Choice in the South Seas: Electoral Innovation and the Borda Count in the Pacific Island Countries |journal=International Political Science Review |volume=23 |issue=4 |pages=355–372 |doi=10.1177/0192512102023004002 |url=http://apseg.anu.edu.au/staff/pub_highlights/ReillyB_05.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20060819190033/http://apseg.anu.edu.au/staff/pub_highlights/ReillyB_05.pdf |archive-date=2006-08-19}}</ref> 이 접근법은 2002년 10월 18일부터 시행된 2002년 베레티텐티(개정) 선거법 통과와 함께 폐지되었다.<ref>{{Cite act|title=Election of the Beretitenti (Amendment) Act 2002 |at=section 2 |date=18 October 2002|url=https://www.paclii.org/ki/legis/num_act/eotba2002341/ |access-date=5 September 2025}}</ref>
* [[토스트마스터즈 인터내셔널]]에서 스피치 경연대회는 상위 3명의 후보에게 각각 3점, 2점, 1점을 부여하는 절단 방식으로 채점된다. 동점은 동점이 발생하지 않는 한 무시되는 특별 투표용지로 해결된다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.toastmasters.org/~/media/3117f77bbf4d430b8a403ececdd5f99f.ashx |title=Speech Contest Rulebook July 1, 2017 to June 30, 2018 |year=2017 |publisher=[[토스트마스터즈 인터내셔널]] |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20200223224709/https://www.toastmasters.org/~/media/3117f77bbf4d430b8a403ececdd5f99f.ashx |archive-date=23 February 2020}}</ref>

==다수 당선==
보르다가 발명한 시스템은 단일 당선인 선거에 사용하기 위한 것이었지만, 가장 많은 점수를 얻은 후보자 수를 당선인으로 인정함으로써 두 명 이상의 당선인으로 보르다 계산법을 수행하는 것도 가능하다. 즉, 두 개의 의석을 채워야 할 경우 가장 많은 점수를 얻은 두 명의 후보자가 당선되고, 세 개의 의석 선거에서는 가장 많은 점수를 얻은 세 명의 후보자가 당선되는 식이다. 보르다 계산법의 다수 의석 변형을 사용하는 나우루에서는 두 개 또는 네 개의 의석을 가진 의회 선거구가 사용된다.

[[쿼터 보르다 시스템]]은 보르다 계산법을 사용하는 다수 의석 선거구의 [[비례대표제]] 시스템이다. 크리스 겔러의 STV-B는 득표수 쿼터를 사용하여 선출하지만, 가장 낮은 보르다 점수를 가진 후보를 제거한다. 겔러-STV는 부분 투표 전송 후 보르다 점수를 재계산하지 않는다. 이는 부분 투표 전송이 당선에 대한 투표권에 영향을 미치지만 제거에는 영향을 미치지 않음을 의미한다.

==관련 시스템==
[[낸슨의 방법|낸슨 및 볼드윈 방법]]은 보르다 점수를 기반으로 한 콩도르세 일치 투표 방법이다. 둘 다 [[즉석결선투표제]]와 유사하게 일련의 제거 라운드로 진행된다. 낸슨 방법에서는 매 라운드마다 평균 보르다 점수 미만의 모든 후보가 제거되며, 볼드윈 방법에서는 가장 낮은 점수를 가진 후보가 제거된다. 보르다 계산법과 달리 낸슨 및 볼드윈은 다수결 콩도르세 방법이다. 왜냐하면 콩도르세 승자는 항상 평균 이상의 보르다 점수를 가지고 있고, [[콩도르세 패자]]는 항상 평균 이하의 보르다 점수를 가지고 있기 때문이다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.cs.rpi.edu/~xial/COMSOC18/papers/COMSOC2018_paper_33.pdf |title=Weak Mutual Majority Criterion for Voting Rules |last1=Kondratev |first1=Aleksei Yu. |last2=Nesterov |first2=Alexander S. |year=2018 |language=en |s2cid=49317238 |via=www.cs.rpi.edu}}</ref> 두 방법 모두 [[비음수 응답성|단조성]]을 만족하지 않는다.

==전술적 조작 가능성==
{{참고|전략적 투표#보르다}}

보르다 계산법은 전술적 투표와 전략적 지명 모두에 의한 조작에 취약하다. 다우들 시스템은 수정된 보르다 계산법을 사용하는 키리바시와 다우들 시스템을 사용하는 나우루의 관찰을 기반으로 더 저항력이 있을 수 있지만,<ref name=Reilly2002/> 나우루 시스템에 대한 연구는 지금까지 거의 이루어지지 않았다.

===전술적 투표===
보르다 계산법은 다른 대부분의 투표 시스템과 비교해도 [[전술적 투표]]에 비정상적으로 취약하다.<ref>{{서적 인용|last1=Green-Armytage |first1=James |last2=Tideman |first2=T. Nicolaus |last3=Cosman |first3=Rafael |date=August 2015 |title=Statistical Evaluation of Voting Rules |journal=Social Choice and Welfare |volume=46 |pages=183–212 |doi=10.1007/s00355-015-0909-0}}</ref> 자신의 진정한 선호도가 아닌 전술적으로 투표하는 유권자가 더 큰 영향력을 행사할 것이다. 더 심각하게는, 모든 사람이 전술적으로 투표하기 시작하면 결과는 거의 무승부에 가까워져 반무작위적으로 결정될 가능성이 높다. 유권자가 타협을 이용할 때, 그들은 두 번째 또는 세 번째 선택 후보가 자신이 덜 좋아하는 후보를 이기도록 돕기 위해 자신의 첫 번째 선택 후보보다 두 번째 또는 세 번째 선택 후보의 위치를 불성실하게 높인다. 유권자가 매장을 이용할 때, 유권자는 자신의 투표 용지에서 덜 선호하는 후보의 위치를 불성실하게 낮춤으로써 더 선호하는 후보를 도울 수 있다. 이 두 전략을 모두 결합하면 강력할 수 있으며, 특히 선거에서 후보자 수가 증가할수록 더욱 그렇다. 예를 들어, 유권자가 이길 가능성이 가장 높은 후보가 두 명이라고 생각한다면, 유권자는 자신이 더 좋아하는 후보를 1위로, 덜 좋아하는 후보를 마지막 순위로 매겨 이 선두 주자들 간의 경쟁에 대한 영향력을 극대화할 수 있다. 만약 두 선두 주자 중 어느 누구도 그의 진정한 첫 번째 또는 마지막 선택이 아니라면, 유권자는 타협과 매장 전술을 동시에 사용하고 있는 것이다. 충분한 유권자가 이러한 전략을 사용한다면, 결과는 더 이상 유권자들의 진정한 선호도를 반영하지 않게 될 것이다.

전술적 투표가 얼마나 강력한지 보여주는 예시를 들어보자. 북미 동부 해안에 사는 100명의 사람들이 여행을 계획하고 있다. 그들은 방문할 도시를 보르다 계산법으로 투표하기로 결정한다. 세 명의 후보는 [[뉴욕]], [[올랜도]], 그리고 [[이칼루이트]]이다. 48명은 올랜도/뉴욕/이칼루이트를 선호하고, 44명은 뉴욕/올랜도/이칼루이트를 선호하며, 4명은 이칼루이트/뉴욕/올랜도를 선호하고, 4명은 이칼루이트/올랜도/뉴욕을 선호한다. 모든 사람이 진정한 선호도대로 투표하면 결과는 다음과 같다.
# 올랜도: <math>(48 \times 2) + ((44+4) \times 1) {{=}} 144</math>
# 뉴욕: <math>(44\times2) + ((48+4) \times 1) {{=}} 140</math>
# 이칼루이트: <math>((4+4)\times2) {{=}} 16</math>

만약 뉴욕 유권자들이 패배할 가능성이 높다는 것을 깨닫고 모두 전술적으로 선호도를 뉴욕/이칼루이트/올랜도로 변경하여 올랜도를 매장한다면, 이는 그들의 호의적인 결과로 충분히 바뀐다.
# 뉴욕: <math>(44\times2) + ((48+4) \times 1) {{=}} 140</math>
# 올랜도: <math>(48\times2) + (4 \times 1) {{=}} 100</math>
# 이칼루이트: <math>((4+4)\times2) + (44 \times 1) {{=}} 60</math>

이 예시에서는 뉴욕 유권자 중 소수만 선호도를 바꾸더라도 결과가 뒤바뀔 수 있을 만큼 접전이었다. 다른 모든 유권자들이 진정한 선호도를 투표했다면 단 5명의 유권자만으로도 충분했을 것이다. 그러나 만약 올랜도 유권자들이 뉴욕 유권자들이 전술적 투표를 계획하고 있다는 것을 깨닫는다면, 그들 역시 올랜도/이칼루이트/뉴욕으로 전술적 투표를 할 수 있다. 하지만 뉴욕과 올랜도 유권자 모두가 이렇게 하면 놀라운 새 결과가 나온다.
# 이칼루이트: <math>((4+4)\times2) + ((48+44) \times 1) {{=}} 108</math>
# 올랜도: <math>(48\times2) + (4 \times 1) {{=}} 100</math>
# 뉴욕: <math>(44\times2) + (4 \times 1) {{=}} 92</math>

전술적 투표가 과도하게 수정되어, 이제 명확히 꼴찌였던 옵션이 승리할 위협이 되며, 세 가지 옵션 모두가 극도로 근접하게 되었다. 전술적 투표는 그룹의 진정한 선호도를 거의 무승부에 가까운 대규모 혼돈으로 완전히 가려버렸다.

=== 전략적 지명 ===
보르다 계산법은 팀 구성 또는 복제라고 불리는 [[전략적 지명]]의 형태에 매우 취약하다. 이는 유사한 이념을 가진 후보가 많을수록 그 후보 중 한 명이 당선될 확률이 높아진다는 것을 의미한다. 이는 위 [[#irrelevant|'무관한 대안의 영향']] 예시에서 잘 설명된다. 따라서 보르다 계산법에서는 파벌이 가능한 한 많은 후보를 내세우는 것이 유리하다. 예를 들어, 단일 의석 선거에서도 정치 정당은 가능한 한 많은 후보를 선거에 출마시키는 것이 유리하다. 이러한 점에서 보르다 계산법은 [[선두당선제|'선두 통과']] 다수결 시스템과 같은 다른 많은 단일 당선 시스템과 다르다. 선두 통과 시스템에서는 정치 파벌이 너무 많은 후보를 내세움으로써 불이익을 받는다. 다수결과 같은 시스템에서는 이러한 방식으로 정당의 표를 '[[득표 분산|분산]]'시키는 것이 [[스포일러 효과]]로 이어져 파벌 후보의 당선 가능성을 해칠 수 있다.

나우루에서는 MP [[롤랑 쿤]]에 따르면 전략적 지명이 사용되며, 파벌들은 승리할 것으로 예상되지 않는 여러 "완충 후보"를 내세워 주요 경쟁자들의 득표율을 낮춘다.<ref name="Fraenkel_Grofman_20142"/> 그러나 이 전략적 지명의 효과는 단순한 [[등차수열]]이 아닌 [[조화수열]]을 사용함으로써 크게 감소된다. [[조화급수]]는 무한하기 때문에, 이론적으로는 아무리 인기가 없는 후보라도 충분한 복제 후보를 지명함으로써 당선시킬 수 있다. 실제로 그렇게 하는 데 필요한 복제 후보의 수는 나우루 전체 인구를 초과할 가능성이 높다.

==예시<span class="anchor" id="tennessee"></span>==
{{선거제 예시}}

따라서 유권자들은 자신의 고향에 가장 가까운 후보를 선호한다고 가정한다. 100명의 유권자당 다음과 같은 점수를 얻는다.
{| class="wikitable" style="border:none"
|-
! {{대각선 분할|후보|유권자}} !! 멤피스 !! 내슈빌 !! 녹스빌 !! 채터누가
| rowspan="5" style="border: none; background: white;" |
! 점수
|-
! 멤피스
| 42×3=126 || 0 || 0 || 0 || 126
|-
! 내슈빌
| 42×2 = 84 || 26×3 = 78 || 17×1 = 17 || 15×1 = 15 || 194
|-
! 녹스빌
| 0 || 26×1 = 26 || 17×3 = 51 || 15×2 = 30 || 107
|-
! 채터누가
| 42×1 = 42 || 26×2 = 52 || 17×2 = 34 || 15×3 = 45 || 173
|}

이에 따라 내슈빌이 당선된다.

===다우들===
다우들 규칙에 따르면 표는 다음과 같다.
{| class="wikitable" style="border:none"
! {{대각선 분할|후보|유권자}}
! 멤피스
! 내슈빌
! 녹스빌
! 채터누가
| rowspan="5" style="border: none; background: white;" |
! 점수
|-
! 멤피스
| 42×1=42
| 26×1/4 = 6.5
| 17×1/4 = 4.25
| 15×1/4 = 3.75
| 56.5
|-
! 내슈빌
| 42×1/2 = 21
| 26×1 = 26
| 17×1/3 = 5.6667...
| 15×1/3 = 5
| 57.667...
|-
! 녹스빌
| 42×1/4 = 10.5
| 26×1/3 = 8.333...
| 17×1 = 17
| 15×1/2 = 7.5
| 43.667...
|-
! 채터누가
| 42×1/3 = 14
| 26×1/2 = 13
| 17×1/2 = 8.5
| 15×1 = 15
| 50.5
|}

일반 보르다 규칙과 마찬가지로 내슈빌이 승리한다.

==현재 사용==

===정치적 용도===
보르다 계산법은 [[슬로베니아]]의 특정 정치 선거에 사용되며, 2002년 이전에는 [[미크로네시아]] 국가인 [[키리바시]]에서 사용되었다. [[다우들 시스템|유사한 규칙]]이 [[나우루]]에서 사용된다.

슬로베니아에서는 보르다 계산법이 90명의 국회 의원 중 2명을 선출하는 데 사용된다. 한 명은 이탈리아계 소수 민족의 선거구를 대표하고, 다른 한 명은 헝가리계 소수 민족의 선거구를 대표한다.

나우루 의회 의원들은 보르다 계산법의 변형을 기반으로 선출되며, 이는 일반적인 관행에서 두 가지 벗어난 점이 있다.
# 두 개 또는 네 개의 의석을 가진 다수 의석 선거구
# 전체 점수 대신 각 순위에 대해 점점 작아지는 분수 점수를 포함하는 점수 할당 공식

키리바시에서는 대통령(또는 [[베레티텐티]])이 다수결 시스템으로 선출되지만, (2002년 이전에는) 보르다 계산법의 변형이 선거에 출마할 세 명 또는 네 명의 후보를 선정하는 데 사용되었다. 선거구는 입법부(마네아바) 의원들로 구성되었다. 입법부의 유권자들은 네 명의 후보에게만 순위를 매겼으며, 다른 모든 후보는 0점을 받았다. 적어도 1991년부터 전술적 투표는 지명 과정의 중요한 특징이었다.

[[나우루 공화국]]은 1968년 [[오스트레일리아]]로부터 독립했다. 독립 전과 독립 후 3년 동안 나우루는 오스트레일리아에서 수입한 즉석결선투표제를 사용했지만, 1971년부터는 보르다 계산법의 변형이 사용되었다.

수정된 보르다 계산법은 [[녹색당 (아일랜드)|아일랜드 녹색당]]에서 당 의장을 선출하는 데 사용되었다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.deborda.org/votingsys.shtml |title=Voting Systems |website=www.deborda.org |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20080516104139/http://www.deborda.org/votingsys.shtml |archive-date=16 May 2008}}</ref><ref>{{서적 인용|last1=Emerson |first1=Peter |date=2007 |title=Designing an All-Inclusive Democracy: Consensual Voting Procedures for Use in Parliaments, Councils and Committees |publisher=Springer Science & Business Media |pages=15–38 |chapter=Collective Decision-making: The Modified Borda Count, MBC |isbn=978-3-540-33164-3}}</ref>

보르다 계산법은 북아일랜드의 특정 평화 회의에서 비정부적인 목적으로 사용되었으며, [[신 페인]], [[얼스터 연합주의자]], [[얼스터 방위협회|UDA]]의 정치적 파벌 구성원을 포함한 참가자들 간의 합의를 도출하는 데 도움이 되었다.

===기타 용도===
보르다 계산법은 미국 일부 교육 기관에서 선거에 사용된다.
* [[미시간 대학교]]
** 중앙 학생회
** 문학, 과학 및 예술 대학 학생회 (LSASG)
* [[미주리 대학교]]: 대학원-전문 대학원 협의회 임원
* [[캘리포니아 대학교 로스앤젤레스]]: 대학원생 협회 임원
* [[하버드 대학교]]: 2018년 현재 학부 협의회 회원<ref>{{뉴스 인용|last1=Berger |first1=Jonah S. |date=10 September 2018 |url=https://www.thecrimson.com/article/2018/9/10/uc-voting-system/ |title=Undergraduate Council Adopts New Voting Method for Elections |publisher=[[더 하버드 크림슨]] |access-date=13 April 2024}}</ref>
* [[남일리노이 대학교 카본데일|카본데일 남일리노이 대학교]]: 교수 평의회 임원
* [[애리조나 주립 대학교]]: 수학 및 통계학과 총회 임원
* [[휘튼 칼리지 (매사추세츠주)]]: 위원회 교수진
* [[윌리엄 앤 메리 칼리지]]: 경영대학원 교수 인사위원회 위원 (동점자 결정)

보르다 계산법은 일부 전문 및 기술 학회에서 선거에 사용된다.
* 국제 극저온 생물학회: 이사회
* 미국 밀 및 보리 녹병 연구 이니셔티브: 연구 분야 위원회 위원
* [[X.Org 재단]]: 이사회

[[OpenGL]] 아키텍처 검토 위원회는 보르다 계산법을 기능 선택 방법 중 하나로 사용한다.

보르다 계산법은 [[토스트마스터즈 인터내셔널]]이 주관하는 [[세계 대중 연설 챔피언십]] 대회에서 우승자를 결정하는 데 사용된다. 심사위원들은 상위 3명의 연사에게 각각 3점, 2점, 1점을 부여하여 순위를 매긴다. 순위가 매겨지지 않은 모든 후보는 0점을 받는다.

수정된 보르다 계산법은 [[AIESEC]] 미국 회원 위원회의 회장을 선출하는 데 사용된다.

[[유로비전 송 콘테스트]]는 점수 분포가 다른 대폭 수정된 형태의 보르다 계산법을 사용한다. 각 투표에서 상위 10개 참가곡만 고려되며, 가장 선호하는 참가곡은 12점, 2위는 10점, 나머지 8개 참가곡은 8점에서 1점까지 받는다. 명확한 우승자를 선호하도록 설계되었지만, 매우 근접한 경쟁과 심지어 동점까지 만들어냈다.

보르다 계산법은 [[호주 포도재배 및 양조학회]]의 와인 트로피 심사와 [[독일]] [[브레멘 대학교]] 컴퓨팅 기술 센터의 [[로보컵]] 자율 로봇 축구 대회에서 사용된다.

핀란드 협회법은 비례 선거를 치르기 위한 세 가지 다른 보르다 계산법 수정안을 명시하고 있다. 모든 수정안은 나우루와 같이 분수를 사용한다. 핀란드 협회는 다른 선거 방법을 선택할 수도 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.prh.fi/en/yhdistysrekisteri/yhdistyslaki.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20130301134602/http://www.prh.fi/en/yhdistysrekisteri/yhdistyslaki.html |archive-date=2013-03-01 |title=Finnish Associations Act |publisher=National Board of Patents and Registration of Finland |access-date=26 June 2011}}</ref>

==== 스포츠 시상식 ====
보르다 계산법은 스포츠 상을 수여하는 데 인기 있는 방법이다. 미국에서 사용되는 예시는 다음과 같다.

* [[MLB 최우수 선수상]] (야구)
* [[하이스먼 트로피]] (대학 미식축구)<ref>{{웹 인용|url=http://www.heisman.com/history/balloting.html |title=Heisman Trophy Balloting |publisher=Heisman Trophy |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20090920205108/http://www.heisman.com/history/balloting.html |archive-date=20 September 2009}}</ref>
* [[전미 대학 체육 협회|NCAA]] 대학 팀 순위 (AP 폴 및 코치 폴 포함)

=== 정보 검색 분야에서 ===
보르다 계산법은 [[정보 검색]]에서 문서가 여러 기준에 따라 [[순위 (정보 검색)|순위 매겨지고]] 그 결과 순위가 복합 순위로 결합될 때 순위 통합 방법으로 제안되었다. 이 방법에서는 순위 기준을 유권자로 간주하고, 통합 순위는 보르다 계산법을 "투표 용지"에 적용한 결과이다.<ref name="dwork-www10">{{서적 인용|first1=Cynthia |last1=Dwork |author-link1=Cynthia Dwork |first2=Ravi |last2=Kumar |first3=Moni |last3=Naor |author-link3=Moni Naor |first4=D. |last4=Sivakumar |title=Proceedings of the 10th international conference on World Wide Web |chapter=Rank aggregation methods for the Web |date=May 2001 |pages=613–622 |doi=10.1145/371920.372165 |isbn=1-58113-348-0 |s2cid=8393813}}</ref>

=== 스포츠 토너먼트와의 유추 ===
스포츠 토너먼트에서는 종종 맞대결 경기에서 경쟁자들의 순위를 매기려고 한다. 각 경기에서는 승리 시 1점, 무승부 시 0.5점, 패배 시 0점을 부여한다. (때로는 점수가 2/1/0으로 두 배가 되기도 한다.) 이는 단일 유권자가 두 후보 사이에 표현한 각 선호도가 스포츠 경기에 해당하고, 유권자 전체의 두 후보 간 선호도가 스포츠 경기를 대신한다고 가정할 때 [[코플랜드 방법]]과 유사한 보르다 계산법과 유사하다. 이 득점 시스템은 19세기 중반 국제 체스에 채택되었고, 1888-1889년 [[잉글리시 풋볼 리그]]에 채택되었다.

==역사==
보르다 계산법은 적어도 네 번 독립적으로 개발된 것으로 생각된다.
* [[라몬 류이]] (1232–1315/16)는 1283년 소설 [[블랑케르나]]에서 수녀원장 선출을 묘사했다. 이 선거 과정은 보르다의 두 가지 동등한 보르다 계산법 정의 중 두 번째와 동일하다.{{Sfn|McLean|1990|p=102}}
* [[니콜라우스 쿠자누스]] (1401–1464)는 그의 "가톨릭 교회의 합치에 대하여" (1433)에서 보르다 계산법을 처음으로 설명하고 [[신성 로마 황제]] 선출에 사용하도록 주장했으나 실패했다. 쿠자누스는 류이의 다른 팸플릿을 읽은 것으로 알려져 있지만, 다른 정의를 제시하며 블랑케르나 방법을 몰랐거나 그것이 동등하다는 것을 깨닫지 못한 것으로 보인다.{{Sfn|McLean|1990|pp=105–106}}
* [[장-샤를 드 보르다]] (1733–1799)는 [[과학 아카데미 (프랑스)]] 회원 선출을 위한 공정한 방법으로 이 시스템을 고안했으며, 1784년 아카데미에 제출된 논문에서 [http://gerardgreco.free.fr/spip.php?article28 "Mémoire sur les élections au scrutin"]으로 Histoire de l'Académie Royale des Sciences, Paris에 발표되었다.<ref group="note">이 논문은 1781년 Histoire 판에 실렸으며, 보르다 자신은 1770년 일찍이 이러한 아이디어를 공개했다고 주장했지만, 1784년이 정확한 귀속 날짜로 보인다. Brian, É, [https://www.jehps.net/juin2008/Brian.pdf "Condorcet and Borda in 1784. Misfits and Documents"], Electronic Journal for History of Probability and Statistics',' Vol. 4, No. 1 (June 2008).</ref> 보르다 계산법은 1795년부터 1800년까지 아카데미 회원 선출에 유일하게 사용되었으며, 이후 [[나폴레옹]]의 요청으로 다른 방법들이 보완되었다.
* [[찰스 루트위지 도지슨]] (루이스 캐럴, 1832–1898)은 "선거를 진행하는 다양한 절차 방법에 대한 논의" (1783)에서 [[크라이스트 처치 (옥스퍼드)]]에서 펠로우십을 배정하기 위한 투표로 보르다 계산법의 한 버전을 제안했다. 펠로우들은 이 방법을 사용하여 투표했고, 콘도르세 승자가 승리하지 못했다는 것 ([[콩도르세 기준]] 위반)을 깨닫고 결과를 거부했으며, 펠로우십을 콘도르세 승자에게 수여했다.{{Sfn|McLean|2019}} 다음 해 도지슨은 자신의 보르다 계산법을 [[코플랜드 방법]]과 유사한 방법으로 대체할 것을 제안했고, 1876년에는 "두 가지 이상의 문제에 대한 투표 방법"에서 두 가지를 결합한 하이브리드 방법을 제안했다. 그는 보르다나 콩도르세의 연구를 몰랐던 것으로 보인다.{{Sfn|McLean|2019|pp=123–124}}

== 같이 보기 ==

* [[선거 제도 비교]]
* [[코플랜드 방법]]
* [[낸슨의 방법]]
* [[애로의 불가능성 정리]]
* [[오클라호마 예비 선거 시스템]]

==내용주==
<references group="note" />

== 각주 ==
<references />

===인용된 저작물===
* {{서적 인용|last1=McLean |first1=Iain |date=April 1990 |title=The Borda and Condorcet Principles: Three Medieval Applications |journal=Social Choice and Welfare |volume=7 |issue=2 |pages=99–108 |doi=10.1007/BF01560577 |jstor=41105942 |s2cid=120618785}}
* {{서적 인용|last1=McLean |first1=Iain |last2=Urken |first2=Arnold B. |last3=Hewitt |first3=Fiona |date=1995  |title=Classics of Social Choice |url=https://archive.org/details/isbn_9780472104505 |publisher=University of Michigan Press |isbn=978-0-472-10450-5 |language=en}}
* {{서적 인용|last1=McLean |first1=Iain |editor-last1=Wilson |editor-first1=Robin |editor-last2=Moktefi |editor-first2=Amirouche |year=2019 |chapter=Voting |title=The Mathematical World of Charles L. Dodgson (Lewis Carroll) |publisher=Oxford University Press}}

==추가 자료==
* {{서적 인용|last1=Szpiro |first1=George G. |author-link=조지 슈피로 |title=Numbers Rule: The Vexing Mathematics of Democracy, from Plato to the Present |year=2010 |postscript=none}}: 투표 방법 연구의 역사에 대한 대중적인 설명.
* {{서적 인용|first=Peter |last=Emerson |title=Designing an All-Inclusive Democracy: Consensual Voting Procedures for use in Parliaments, Councils and Committees |publisher=Springer-Verlag |year=2007 |postscript=none}}
** {{ISBN|978-3-540-33163-6}} (인쇄)
** {{ISBN|978-3-540-33164-3}} (온라인)
* {{서적 인용|first=Benjamin |last=Reilly |title=Social Choice in the South Seas: Electoral Innovation and the Borda Count in the Pacific Island Countries |journal=[[국제정치학회지]] |year=2002 |volume=23 |issue=4 |pages=355–372 |doi=10.1177/0192512102023004002 |s2cid=3213336}}
* {{서적 인용|last1=Saari |first1=Donald G. |author-link=도널드 G. 사리 |journal=[[경제 이론 저널]] |volume=15 |issue=1 |pages=511–528 |year=2000 |title=Mathematical Structure of Voting Paradoxes: II. Positional Voting |doi=10.1007/s001990050002 |s2cid=195227181 |ssrn=195769}}
* {{서적 인용|title=Chaotic Elections! |first=Donald G. |last=Saari |year=2001 |location=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-2847-2 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/chaoticelections0000saar |postscript=none}}: 수학적 모델을 사용하여 다양한 투표 시스템을 설명하고 보르다 계산법의 사용을 지지한다.
* {{서적 인용|last1=Saari |first1=Donald G. |year=2008 |url=https://a.co/43K4kLO |title=Disposing Dictators, Demystifying Voting Paradoxes: Social Choice Analysis |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-51605-1 |postscript=none}}: 이 설명적이고 대부분 비기술적인 책은 상황이 우리가 믿게 된 것만큼 심각하고 부정적이지 않다는 긍정적인 결과를 처음으로 찾아낸다.
* {{서적 인용|last1=Toplak |first1=Jurij |author-link1=유리 토플라크 |title=The parliamentary election in Slovenia, October 2004 |journal=[[선거 연구]] |volume=25 |year=2006 |issue=4 |pages=825–831 |doi=10.1016/j.electstud.2005.12.006}}
* {{서적 인용|last1=Adelsman |first1=Rony M. |last2=Whinston |first2=Andrew B. |title=Sophisticated Voting with Information for Two Voting Functions |journal=[[경제 이론 저널]] |volume=15 |year=1977 |issue=1 |pages=145–159 |doi=10.1016/0022-0531(77)90073-4}}
* {{서적 인용|last1=Hulkower |first1=Neal D. |last2=Neatrour |first2=John |year=2019 |title=The Power of None |journal=SAGE Open |volume=9 |issue=1 |doi=10.1177/2158244019837468 |doi-access=free |issn=2158-2440 |s2cid=151079205 |postscript=none}}: 이 논문은 보르다 계산법에 '없음'을 구속력 있는 옵션으로 추가하는 것을 다루고, 그것이 다섯 가지 합리적인 속성을 독특하게 만족시킨다는 것을 증명한다.

== 외부 링크 ==
* [https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/voting-methods/ 에릭 파퀴트, "투표 방법", 스탠포드 철학 백과사전 (2019년 가을판), 에드워드 N. 잘타 (편집)]
* [http://www.deborda.org/ 드 보르다 연구소, 북아일랜드]
* [https://voterschoose.info/ 유권자 선택, 미국]: 미국 기반의 보르다 계산법 옹호 및 연구 단체
* [https://web.archive.org/web/20080228102001/https://ritdml.rit.edu/dspace/bitstream/1850/4923/1/NRussellThesis07-2007.pdf 보르다 계산법 선거 통제의 복잡성]: 네이선 F. 러셀의 논문
* [http://pareto.uab.cat/wp/2004/61704.pdf 이분법적 선호에 대한 득점 규칙]: 마크 보르샤츠의 논문, 특정 조건에서 보르다 계산법과 [[승인투표제]]를 수학적으로 비교한다.
* [https://web.archive.org/web/20120212035813/http://www.nuff.ox.ac.uk/Users/McLean/A%20program%20to%20implement%20the%20Condorcet%20and%20Borda%20rules%20in%20a%20small.pdf 소규모 선거에서 콩도르세 및 보르다 규칙을 구현하는 프로그램]: 이안 매클린과 닐 셰퍼드의 논문.
* {{언어링크|fr}} [http://gerardgreco.free.fr/spip.php?article28 Élections au scrutin'']: 보르다의 원본 프랑스어 텍스트 (1781) 고화질 PDF 파일.
* [https://ewanchelley.github.io/voting/borda 퀵보트]&nbsp;– 보르다 계산법 결과를 계산하는 웹사이트. 비교를 위해 다수결, 즉석결선투표제, 케메니-영 및 기타 투표 방법에 따른 당선자도 계산한다.

{{선거 제도}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:권력 분담]]