복소기하학 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''복소기하학'''은 [[복소수]]를 기반으로한 기하학적 대상에서 발생하거나 설명되는 [[기하학|기하학적]] 구조 및 구성에 대한 연구이다. 특히, 복소기하학은 [[복소다양체]](complex manifold)와 복소[[대수다양체|대수다형체]](complex algebraic variety), 복소 다변수 함수, [[정칙 벡터 다발|정칙 선형 다발]], [[연접층]]과 같은 정칙적 [[공간#수학|공간]]에 대한 연구와 관련이 있다. [[대수기하학]]에 대한 초월적 방법의 적용은 [[복소해석학|복소 해석학]]의 더 많은 기하학적 측면과 함께 이 범주에 속한다.

복소 기하학은 [[대수기하학]], [[미분기하학]], 복소 해석학의 교차점에 있으며 세 영역의 방법을 모두 사용한다. 다양한 영역의 기술과 아이디어가 혼합되어 있기 때문에 복소 기하학의 문제는 일반적으로 다루기 쉽거나 구체적이다. 예를 들어, [[극소 모형 프로그램]]과 [[모듈라이 공간]]의 구성을 통한 복소 다양체와 복소 [[대수다양체|대수다형체]]의 분류는 가능한 [[매끄러운 다양체]]의 분류가 훨씬 더 어려운 미분 기하학과 다른 분야를 형성한다. 또한 복소기하학의 추가 구조는 특히 [[콤팩트 공간|콤팩트]]인 경우에서 [[야우싱퉁]]의 칼라비 추측 증명, 히친-고바야시 대응성, 비아벨 호지 대응성을 포함하여 전역 해석 결과와 켈러-아인슈타인 계량 및 상수 스칼라 곡률 켈러 계량에 대한 존재 결과를 성공적으로 증명할 수 있도록 한다. 이러한 결과는 종종 복소 대수 기하학으로 다시 피드백되며, 예를 들어 최근 K-안정성을 사용한 파노 다양체의 분류는 해석학적 기법과 순수 쌍유리 기하학 모두에서 엄청난 이점을 얻었다.

복소 기하학은 [[등각 장론]], [[끈 이론]] 및 [[거울 대칭]]을 이해하는 데 필수적인 이론 물리학에 중요한 응용 프로그램이다. [[보렐-베유-보트 정리|보렐-바일-보트 정리]]로 이어지는 복소 기하학을 사용하여 일반화된 플래그 다형체를 연구할 수 있는 [[표현론 (수학)|표현론]] 또는 [[리만 기하학|리만기하학]]에서 [[켈러 다양체]]가 상징적인 사교 기하학을 포함하여 수학의 다른 영역에서 예제의 소스가 되는 경우가 많다. 복소 다양체가 [[칼라비-야우 다양체]] 및 [[초켈러 다양체]] 와 같은 이국적인 계량 구조의 예를 제공하는 [[리만 기하학|기하학]]과 정칙 [[정칙 벡터 다발|벡터 다발]]이 종종 양-밀스 방정식과 같은 물리학에서 발생하는 중요한 [[미분방정식|미분 방정식]]에 대한 해를 허용하는 [[게이지 이론 (수학)|게이지 이론]] 에서. 복소 기하학은 또한 켈러 다양체의 [[호지 이론]] 과 같은 복소 설정의 해석 결과가 p-진 호지 이론 뿐만 아니라 [[대수다양체|다형체]] 및 [[스킴 (수학)|체계]]에 대한 [[호지 구조]]에 대한 이해를 고취시키는 순수 대수기하학에 추가로 영향을 미친다. 도식의 [[대수다양체|다형체]] 이론과 복소 다양체의 [[코호몰로지]]에 대한 결과는 [[베유 추측]] 과 [[알렉산더 그로텐디크|그로텐디크]]의 표준 추측 공식화에 영감을 주었다. 다른 한편으로, 이러한 많은 분야의 결과와 기술은 종종 복소 기하학으로 다시 피드백되며, 예를 들어 끈 이론과 거울 대칭 수학의 발전은 끈 [[칼라비-야우 다양체|이론가]]들이 SYZ 추측을 통해 라그랑주 fibrations의 구조를 가지며, [[심플렉틱 다양체|사교 다양체]]의 [[그로모프-위튼 불변량|그로모프-위튼 이론]]의 개발로 인해 복소다형체의 기하학이 발전했다.

[[밀레니엄 문제|밀레니엄 수학 난제]] 중 하나인 [[호지 추측]]은 복소 기하학의 문제이다.<ref>Voisin, C., 2016. The Hodge conjecture. In Open problems in mathematics (pp. 521-543). Springer, Cham.</ref>

== 아이디어 ==
[[파일:RiemannKugel.svg|섬네일| [[리만 구|복소 사영 직선]]은 복소 공간의 전형적인 예이다. [[미분기하학|미분 기하학]]에서 등장하는 매끄러운 다양체인 [[구 (기하학)|구]] 또는 [[무한원점|무한대에 점을]] 추가하여 복소 평면의 확장인 [[리만 구|리만 구로]] 볼 수 있다.]]
대체로 복소 기하학은 어떤 의미에서 [[복소평면|복소 평면]]에 모델링된 [[공간#수학|공간]] 및 [[기하학|기하학적 대상]]과 관련이 있다. 복소평면의 특징과 [[방향 (다양체)|방향성]] (즉, [[복소해석학|복소]] 평면의 모든 점에서 반시계 방향으로 일관되게 90도 회전할 수 있음)의 내재적 개념, [[정칙 함수|정칙함수]]의 경직성(즉,, 단일 복소 도함수의 존재는 모든 차수에 대한 복소 미분 가능성을 의미함)은 복소 기하학 연구의 모든 형태에서 나타나는 것으로 보인다. 예를 들어, 모든 복소 다양체는 정규적으로 방향을 지정할 수 있으며 [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]] 형식은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 복소 다양체 또는 사영 복소 [[대수다양체|대수다형체]]에 적용된다.

복소 기하학은 [[수직선 (수학)|실수직선]]의 기하학적 및 해석적 특성을 기반으로 하는 공간 연구인 ''실'' 기하학이라고 할 수 있는 것과 성격이 다르다. 예를 들어, [[매끄러운 다양체]]는 일부 [[열린집합|열린 집합]]에서 값이 1이고 다른 곳에서는 값이 0일 수 있는 매끄러운 함수의 집합 [[단위 분할]]을 허용하는 반면, 복소 다양체는 그러한 정칙 함수 집합을 허용하지 않는다. 이것은 일변수 복소 해석학에서 전형적인 결과인 [[항등 정리]]이다. 어떤 의미에서 복소 기하학의 참신함은 이 근본적인 관찰로 거슬러 올라갈 수 있다.

모든 복소 다양체는 매끄러운 다양체이다. 이는 복소 평면 <math>\mathbb{C}</math> 때문이다. 복소 평면은, 복소 구조를 잊으면, 실수 평면 <math>\mathbb{R}^2</math>과 선형 대수학적으로 동형이다. 그러나 복소 기하학은 일반적으로 매끄러운 다양체에 대한 연구인 [[미분기하학|미분 기하학]]의 특정 분야로 간주되지 않다. 특히 [[장피에르 세르|세르]]의 [[가가 정리|GAGA 정리]]는 모든 사영 해석 다형체는 실제로는 [[대수다양체|대수다형체]]이며, 해석적 다양체에 대한 정칙적인 정보를 연구하는 것은 대수적 정보를 연구하는 것과 동일하다고 말한다.

이 동등성은 복소 기하학이 어떤 의미에서 [[미분기하학]] 보다 [[대수기하학]]에 더 가깝다는 것을 나타낸다. 복소 평면의 특성으로 다시 연결되는 이것의 또 다른 예는 일변수 복소 해석학에서 [[유리형 함수]]의 특이점을 쉽게 설명할 수 있다는 것이다. 대조적으로, 실수 값 연속 함수의 가능한 특이 작용은 특성화하기가 훨씬 더 어렵다. 그 결과, 미분 기하학에서 특이 공간에 대한 연구는 종종 기피되는 반면, 단일 복소 해석적 다양체 또는 특이 복소 [[대수다양체|대수다형체]]과 같은 복소 기하학에서 [[특이점 (해석학)|특이]] 공간을 쉽게 연구할 수 있다.

복소기하학은 미분기하학, 대수기하학 및 다변수 복소 해석학의 교차점에 있으며 복소 기하학은 세 분야의 방법을 모두 사용하여 복소 공간을 연구한다. 복소 기하학에 대한 일반적인 관심 방향에는 복소 공간의 분류, 여기에 부착된 정칙적 대상(예: [[정칙 벡터 다발]]과 [[연접층]])에 대한 연구, 복소 기하학적 개체와 수학과 물리학의 다른 영역 간의 친밀한 관계가 포함된다.

== 정의 ==
복소 기하학은 [[복소다양체]], 복소 대수 및 복소 해석 다형체에 대한 연구와 관련이 있다. 이 절에서는 이러한 유형의 공간을 정의하고 이들 사이의 관계를 제시한다.

'''복소다양체'''는 다음과 같은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>이다:

* <math>X</math>는 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]]이고 [[제2 가산 공간|제2 가산]]이다.
* <math>X</math>는 고정된 <math>n</math>에 대해 <math>\mathbb{C}^n</math>의 열린 부분집합에 국소적으로 [[위상동형사상|위상동형]]이다. 즉, 모든 점 <math>p\in X</math>에 대해, 열린 부분 집합 <math>V\subseteq \mathbb{C}^n</math>로 가는 위상동형사상 <math>\varphi: U \to V</math>이 존재하는 <math>p</math>의 [[근방|열린 이웃]] <math>U</math>가 존재한다. 이러한 열린 집합을 ''좌표 조각''이라고 한다.
* 만약에 <math>(U_1,\varphi)</math>와 <math>(U_2,\psi)</math>가 <math>\mathbb{C}^n</math>의 열린 집합 <math>V_1, V_2</math>에 사상되는 두 개의 겹치는 좌표 조각이면 각각 ''추이사상'' <math>\psi \circ \varphi^{-1}:\varphi(U_1\cap U_2) \to \psi(U_1\cap U_2)</math>는 쌍정칙사상이다.

모든 쌍정칙사상은 [[미분동형사상]]이며, <math>\mathbb{C}^n</math>는 <math>\mathbb{R}^{2n}</math>과 [[벡터 공간|실 선형 공간]]으로서의 동형이기 때문에, 모든 <math>n</math>차원 복소 다양체는 매끄러운 <math>2n</math>차원 다양체이다.

복소 다양체는 항상 매끄럽지만, 복소 대수 기하학은 특이점을 가진 공간과도 관련이 있다. '''아핀 복소 해석 다형체 <math>X</math>'''는 각 점 <math>p\in X</math>에 대해 <math>X\cap U = \{z\in U \mid f_1(z) = \cdots = f_k(z) = 0\} = Z(f_1,\dots,f_k)</math>인 <math>p</math>의 열린 이웃 <math>U</math>와 정칙 함수들 <math>f_1, \dots, f_k: U \to \mathbb{C}</math>이 존재하는 부분 집합 <math>X\subseteq \mathbb{C}^n</math>이다. 규칙에 따라 집합 <math>X</math>도 기약임이 필요하다. 점 <math>p\in X</math>는 정칙 함수들의 벡터 <math>(f_1,\dots,f_k)</math>의 [[야코비 행렬]]이 <math>p</math> 에서 꽉찬 랭크가 아니면 특이점이고 그렇지 않으면 특이점이 아니다. '''사영 복소 해석 다형체 <math>X</math>'''는 국소적으로 <math>\mathbb{CP}^n</math>의 열린 부분집합에 대한 유한개의 정칙 함수들의 근에 의해 주어진 복소 사영 공간 부분 집합 <math>X\subseteq \mathbb{CP}^n</math>이다.

비슷하게 '''아핀 복소수 대수다형체 <math>X</math>'''를 부분 집합 <math>X\subseteq \mathbb{C}^n</math>으로 정의할 수 있다. 이는 국소적으로 유한개의 <math>n</math> 복소 변수 다항식들의 영점 집합으로 주어진다. '''사영 복소 대수다형체'''를 정의하려면 유한히 많은 [[동차다항식]]들의 영점 집합에 의해 국소적으로 주어지는 부분 집합 <math>X\subseteq \mathbb{CP}^n</math>이 필요하다.

일반적인 복소 대수 또는 복소 해석적 다형체를 정의하기 위해서는 [[환 달린 공간|국소적으로 환 달린 공간]]의 개념이 필요하다. '''복소 대수/해석적 다형체'''는 국소적으로 환 달린 공간 <math>(X,\mathcal{O}_X)</math>이다. 이는 국소적으로 환 달린 공간으로서 아핀 복소 대수/해석적 다형체와 국소적으로 동형이다. 해석적인 경우에는 일반적으로 <math>X</math>를 국소적으로 <math>\mathbb{C}^n</math>의 열린 부분 집합으로 식별하기 때문에 부분 위상와 국소적으로 동일한 위상를 갖는다. 반면 대수적인 경우 <math>X</math>에는 종종 [[자리스키 위상]]이 주어져 있다. 관례에 따라 이 국소 환 달린 공간이 기약인 것을 가정한다.

특이점의 정의는 국소적이기 때문에 아핀 해석/대수적 다형체에 대해 주어진 정의는 모든 복소 해석적 또는 대수다형체의 점에 적용된다. 다형체 <math>X</math>의 특이점들의 집합을 특이 궤적 <math>X^{sing}</math>이라고 한다. 여집합은 비특이 또는 ''매끄러운 궤적'' <math>X^{nonsing}</math>으로 표시된다. 특이 궤적이 비어 있으면 복소 다양체가 매끄럽다 또는 특이하지 않다고 말한다. 즉, 비특이 궤적과 동일한 경우이다.

정칙 함수에 대한 [[음함수 정리]]에 의해, 모든 복소 다양체는 비특이 복소 해석 다형체이지만, 일반적으로 아핀 또는 사영적이지 않다. 세르의 [[가가 정리|GAGA 정리]]에 따르면 모든 사영 복소 해석 다형체는 사영 복소 대수다형체이다. 복소 다형체가 특이하지 않은 경우 복소 다양체이다. 보다 일반적으로, 복소 다형체의 비특이 궤적은 복소 다양체이다.

== 복소공간의 종류들 ==

=== 켈러 다양체 ===
복소 다양체는 미분 기하학의 관점에서 연구될 수 있으며, [[리만 다양체|리만 계량]] 또는 [[심플렉틱 벡터 공간|사교 형식]]과 같은 추가적인 기하학 구조를 갖추고 있을 수도 있다. 이 추가적 구조가 복소 기하학과 관련이 있으려면 적절한 의미에서 복소 구조와 호환되도록 해야 한다. [[켈러 다양체]]는 복소 구조와 호환되는 리만 계량 및 사교 구조를 가진 복소 다양체이다. <math>\mathbb{C}^n</math>의 표준 에흐미트 계량 또는 <math>\mathbb{CP}^n</math>의 [[푸비니-슈투디 계량]]을 부분 다양체로 제한하면 켈러 다양체의 모든 복소 부분 다양체는 켈러이다.

켈러 다양체의 다른 중요한 예에는 리만 곡면, [[K3 곡면]] 및 [[칼라비-야우 다양체|칼라비–야우 다양체]]가 있다.

=== 슈타인 다양체 ===
세르의 [[가가 정리|GAGA 정리]]는 모든 사영 복소 해석 다형체가 [[대수다양체|대수다형체]]라고 주장한다. 이 주장은 엄밀하게는 아핀 다형체에 대해 사실이 아니지만, [[슈타인 다양체]]라고 하는 아핀 복소 대수다형체과 아주 비슷한 복소 다양체들이 있다. 다양체 <math>X</math>가 정칙적으로 볼록하고 정칙적으로 분리 가능한 경우 [[슈타인 다양체]]라고 한다.(자세한 정의는 슈타인 다양체에 대한 문서 참조). 그러나 이것은 어떤 <math>n</math>에 대해 <math>X</math>가 <math>\mathbb{C}^n</math>의 복소 부분다양체임과 동일하다는 것을 보일 수 있다. 슈타인 다양체가 아핀 복소수 대수다형체과 비슷함을 보이는 또 다른 방법은 [[카르탕 정리|카르탕의 정리 A와 B]]가 슈타인 다양체에 대해 유지된다는 것이다.

슈타인 다양체의 예에는 비콤팩트 리만 곡면과 비특이 아핀 복소수 대수다형체이 포함된다.

=== 초켈러 다양체 ===
[[초켈러 다양체]]는 복소 다양체의 특별한 부류이며, 이것은 3개의 별개의 호환 [[개복소다양체|가능한 적분 가능하고 거의 복소 구조]] <math>I,J,K</math>를 가진 [[리만 다양체]]이다. 여기서 [[사원수|사원수 관계]]<math>I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -\operatorname{Id}</math>가 성립한다. 따라서 초켈러 다양체는 세 가지 다른 방식으로 켈러 다양체이며 풍부한 기하학적 구조를 갖는다.

초켈러 다양체의 예로는 ALE 공간, [[K3 곡면]], 힉스 번들 모듈라이 공간, [[화살집 (수학)|퀴버 다형체]] 및 [[게이지 이론]] 및 [[표현론 (수학)|표현론]]에서 발생하는 기타 많은 [[모듈라이 공간]]이 있다.

=== 칼라비-야우 다양체 ===
[[파일:CalabiYau5.jpg|섬네일| 5차 [[칼라비-야우 다양체|칼라비-야우]] 3중체의 실 2차원 단면]]
언급한 바와 같이 켈러 다양체들 중 특정 종류는 칼라비-야우 다양체에 해당한다. 이들은 자명한 표준 다발 <math>K_X = \Lambda^n T_{1,0}^* X</math>이 주어진 켈러 다양체이다. 일반적으로 칼라비-야우 다양체의 정의에는 <math>X</math>가 콤팩트임이 필요하다. 이 경우 [[야우싱퉁|야우]]의 칼라비 추측 증명은 다음을 의미한다: <math>X</math>가 [[리치 곡률 텐서|리치 곡률]]이 사라지는 켈러 계량을 인정하며 이는 칼라비–야우의 동등한 정의로 간주될 수 있다.

칼라비-야우 다양체는 [[끈 이론]]에서 등장한다. 끈 이론의 10차원 [[시공간]] 모형에서 기존 물리학의 전통적인 4차원 시공간 이외에 여분의 [[축소화]]된 6차원 시공간을 모델링하는 데 사용된다.

또한 [[거울 대칭 가설]]은 특정한 두 칼라비-야우 다양체들이 가진 서로 다른 종류의 정보들이 서로 일치한다는 놀라운 가설이다.

칼라비-야우 다양체의 예에는 [[타원곡선|타원 곡선]], K3 곡면 및 복소 [[아벨 다양체|아벨 다형체]] 등이 있다.

=== 복소 파노 다형체 ===
복소 [[파노 다양체|파노 다형체]]는 [[풍부한 가역층|풍부한]] 반표준 선다발(즉, <math>K_X^*</math>가 풍부한)이 주어진 복소 대수 다형체이다. 파노 다형체는 복소 대수 기하학, 특히 [[극소 모형 프로그램]]에서 자주 발생하는 쌍유리 기하학에서 상당한 관심을 끌고 있다. 파노 다형체의 기본적 예에는 <math>K=\mathcal{O}(-n-1)</math>인 사영 공간 <math>\mathbb{CP}^n</math>과. <math>n+1</math>차원 이하인 <math>\mathbb{CP}^n</math>의 매끄러운 초곡면이 있다.

=== 원환 다형체 ===
[[파일:Moment_polytope_of_first_Hirzebruch_surface.png|섬네일| 첫 번째 히르체부르흐 곡면을 설명하는 모먼트 다포체.]]
원환 다형체는 <math>(\mathbb{C}^*)^n</math>과 쌍정칙적인 열린 [[조밀 집합|조밀 부분 집합]]을 포함하는 <math>n</math>차원 복소 [[대수다양체|대수다형체]]이다. 그 열린 조밀 부분 집합에 대한 작용을 <math>(\mathbb{C}^*)^n</math>로 확장한 작용을 가지고 있다. 원환 다형체는 원환 팬에 의해 조합적으로 서술될 수 있으며, 적어도 그것이 특이하지 않은 경우에는 [[운동량 사상|모멘트]] 다포체에 의해 기술될 수 있다. 이는 임의의 꼭지점이 <math>\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})</math>의 작용에 의해 양수 분면의 꼭지점이라는 표준 형태로 놓일 수 있다는 성질을 가진 <math>\mathbb{R}^n</math> 안의 다각형이다. 이 원환 다형체는 다포체 위에 올을 형성하는 적절한 공간으로 얻을 수 있다.

원환 다형체에 대해 수행되는 많은 구성은 모멘트 다포체 또는 관련 원환 팬의 조합 및 기하학 측면에서 대체적 설명을 할 수 있다. 이로 인해 원환 다형체는 복소기하학의 많은 구조에 대한 매력적인 시험 사례가 된다. 원환 다형체의 예로는 복소 사영 공간과 그 위의 다발이 있다.

== 복소기하학의 기법들 ==
정칙함수와 복소다양체가 가진 강한 조건들로 인해 복소다양체와 복소다형체를 연구하는 데 일반적으로 사용되는 기법은 보통의 미분기하학에서 사용되는 기법과 다르며 대수기하학에서 사용되는 기법에 더 가깝다. 예를 들어, 미분기하학에서 많은 문제는 국소적 구조를 취하여 단위 분할을 사용하여 전역적으로 붙임으로 접근한다. 단위 분할은 복소 기하학에 존재하지 않으므로 국소 정보가 대역적 정보에 접착될 수 있는 경우의 문제는 더 미묘하다. 국소 정보를 함께 붙일 수 있는 정확한 조건은 [[층 코호몰로지]]에 의해 측정되며 [[층 (수학)|층]]과 그 [[코호몰로지|코호몰로지 군]]은 주요 도구이다.

예를 들어, 현대적 정의 도입 이전의 여러 다변수 복소 해석학에서 유명한 문제는 [[쿠쟁 문제]]로, 전역 유리형 함수를 얻기 위해 국소 유리형 정보를 붙일 수 있는 정확한 조건을 묻는다. 이러한 오래된 문제는 층과 코호몰로지 군을 도입한 후에 간단히 해결할 수 있다.

복소기하학에 사용되는 층의 특수한 예로는 정칙 선다발(및 관련 인수), [[정칙 벡터 다발|정칙 선형 다발]] 및 [[연접층]]이 있다. 층 코호몰로지는 복소기하학에서 방해물을 측정하기 때문에 사용되는 한 가지 기술은 소실 정리를 증명하는 것이다. 복소기하학에서 소실 정리의 예에는 콤팩트 켈러 다양체에서 선 다발의 코호몰로지에 대한 고다이라 소실 정리와 아핀 복소 다형체에 대한 연접층의 코호몰로지에 대한 [[카르탕 정리|카르탕의 정리 A 및 B]]가 포함된다.

복소기하학은 또한 미분 기하학 및 해석학에서 쓰는 기법을 사용한다. 예를 들어, [[히르체브루흐-리만-로흐 정리|히르체부르흐-리만-로흐 정리]]는 [[아티야-싱어 지표 정리]]의 특수한 경우로, 기저에 깔려 있는 매끄러운 복소 선형 다발의 특성류 측면에서 정칙 선형 다발의 정칙 오일러 특성을 계산한다.

== 복소기하학의 분류 ==
복소기하학의 한 가지 주요 주제는 복소 다양체의 분류이다. 복소 다양체와 다형체의 엄격한 특성으로 인해 이러한 공간을 분류하는 문제는 다루기 쉬운 경우가 많다. 복소 대수 기하학의 분류는 종종 그 자체가 복소 기하학에서 발생하는 다른 기하학적 대상을 분류하는 복소 다양체 또는 다형체인 [[모듈라이 공간]]의 연구를 통해 발생한다.

=== 리만 곡면 ===
모듈라이라는 용어는 [[베른하르트 리만]]이 리만 곡면에 대해 연구 하면서 만들어낸 것이다. 분류 이론은 콤팩트 리만 곡면에 대해 가장 잘 알려져 있다. [[곡면|닫힌 유향 곡면의 분류]]에 따라 콤팩트 리만 곡면은 [[곡면 종수|종수]] <math>g</math>로 측정되는 자연수에 따라 분류된다. 이 종수는 주어진 콤팩트 리만 곡면의 구멍 수를 세는 음이 아닌 정수이다.

리만 곡면 분류는 본질적으로 [[균일화 정리]]를 따르며 다음과 같다.<ref>Forster, O. (2012). Lectures on Riemann surfaces (Vol. 81). Springer Science & Business Media.
</ref><ref>Miranda, R. (1995). Algebraic curves and Riemann surfaces (Vol. 5). American Mathematical Soc.</ref><ref>Donaldson, S. (2011). Riemann surfaces. Oxford University Press.</ref>

* <math>g = 0 : \mathbb{CP}^1</math>
* <math>g = 1 :</math> 종수 1의 가능한 콤팩트 리만 곡면, 소위 [[타원곡선|타원 곡선]], [[모듈러 곡선]]을 분류하는 1차원 복소 다양체가 있다. [[균일화 정리]]에 의해 모든 타원 곡선은 몫 <math>\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau \mathbb{Z})</math>으로 쓸 수 있다. 여기서 <math>\tau</math>는 허수부가 양수인 복소수이다. 모듈라이 공간은 [[뫼비우스 변환]]에 의해 [[상반평면]]에 작용 군 <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})</math>의 몫이다.
* <math>g > 1 :</math> 1보다 큰 각 종수 <math>g</math>에 대해 종수 <math>g</math>인 콤팩트 리만 곡면의 모듈라이 공간 <math>\mathcal{M}_g</math>이 있다. <math>\dim_{\mathbb{C}} \mathcal{M}_g = 3g-3</math>이다. 타원 곡선의 경우와 비슷하게 이 공간은 군 <math>\operatorname{Sp}(2g, \mathbb{Z})</math>의 작용에 의해 지겔 상반 공간의 적절한 몫으로 얻을 수 있다.

=== 정칙 선다발 ===
복소 기하학은 복소 공간뿐만 아니라 그 공간에 부착된 다른 정칙적 대상과도 관련이 있다. 복소 다형체 <math>X</math>위의 정칙 [[선다발]]은 <math>X</math>의 [[피카르 군|피카드 다형체]] <math>\operatorname{Pic}(X)</math>에 의해 분류된다.

피카드 다형체는 <math>X</math>가 종수 <math>g</math>인 콤팩트 리만 곡면인 경우에 쉽게 설명할 수 있다. 이 경우, 피카드 다형체는 복소 [[아벨 다양체|아벨 다형체]]들의 [[분리합집합]]이며, 각 다형체는 곡선의 [[야코비 다양체|야코비 다형체]]과 동형이며, 0차 인자들을 선형 동형에 의해 분류한다.

[[토렐리 정리]]에 의해 콤팩트 리만 곡면은 야코비 다형체에 의해 결정되며, 이는 공간 자체를 분류할 수 있다는 점에서 복소 공간의 구조에 대한 연구가 유용할 수 있는 한 가지 이유를 보여준다.

== 같이 보기 ==

* 쌍벡터(복소수)
* [[칼라비-야우 다양체]]
* [[카르탕 정리|카르탕의 정리]]
* 복소 해석 공간
* 복소 리 군
* 복소 다포체
* 복소 사영 공간
* [[쿠쟁 문제]]
* [[엔리퀘스-고다이라 분류|엔리케스–코다이라 분류]]
* [[가가 정리]]
* [[하르톡스 확장정리|하르톡스의 확장 정리]]
* 에흐미트 대칭 공간
* [[호지 이론|호지 분해]]
* 호프 다양체
* 허직선(수학
* 고바야시 계량
* 고바야시-히친 대응성
* [[켈러 다양체]]
* <math>\partial \bar \partial</math>-정리
* 레롱 수
* 복소 대수 곡면 목록
* [[거울 대칭 가설]]
* 승수 이데알
* 사영 다양체
* 유사볼록성
* 복소 다변수
* [[슈타인 다양체]]


== 각주 ==
{{각주}}

* {{서적 인용|title=Complex Geometry: An Introduction|last=Huybrechts|first=Daniel|author-link=Daniel Huybrechts|year=2005|publisher=Springer|isbn=3-540-21290-6}}
* {{인용|last1=Griffiths|first1=Phillip|author1-link=Phillip Griffiths|last2=Harris|first2=Joseph|author2-link=Joe Harris (mathematician)|title=Principles of algebraic geometry|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-05059-9|mr=1288523|year=1994}}
* {{인용|last=Hörmander|first=Lars|author-link=Lars Hörmander|title=An Introduction to Complex Analysis in Several Variables|place=Amsterdam–London–New York–Tokyo|publisher=[[Elsevier|North-Holland]]|orig-year=1966|year=1990|series=North–Holland Mathematical Library|volume=7|edition=3rd (Revised)|mr=1045639|zbl=0685.32001|isbn=0-444-88446-7}}
* [[:en:E._H._Neville|E. H. Neville]] (1922) ''Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions'', [[:en:Cambridge_University_Press|Cambridge University Press]].
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[[분류:복소다양체]]
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