부분 행렬 문서 원본 보기

[[선형대수학]]에서 '''부분 행렬'''(部分行列, {{llang|en|submatrix}})은 주어진 [[행렬]]의 일부 행과 일부 열을 취한 더 작은 행렬이다. '''소행렬식'''(小行列式, {{llang|en|minor}})은 부분 [[정사각 행렬]]의 [[행렬식]]이다. 부분 행렬과 그 행렬식은 [[라플라스 전개]]와 [[코시-비네 공식]] 등의 항등식에서 등장한다. [[양의 정부호 행렬]]의 한 가지 [[필요충분조건]]도 부분 행렬의 행렬식을 통해 기술할 수 있다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> [[행렬]] <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>과 그 행의 집합 <math>I\subseteq\{1,2,\dots,m\}</math> 및 열의 집합 <math>J\subseteq\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>A</math>의 '''<math>(I,J)</math>-부분 행렬'''
:<math>A_{I,J}\in\operatorname{Mat}(|I|,|J|;R)</math>
은 <math>A</math>의 <math>I</math>에 속하는 행과 <math>J</math>에 속하는 열을 취하여 원래의 순서대로 배열한 <math>|I|\times|J|</math> 행렬이다. 즉, 만약
:<math>I=\{i_1,i_2,\dots,i_{|I|}\}\qquad(i_1<i_2<\cdots<i_{|I|})</math>
:<math>J=\{j_1,j_2,\dots,j_{|J|}\}\qquad(j_1<j_2<\cdots<j_{|J|})</math>
라고 하면, 이는 다음과 같다.
:<math>(A_{I,J})_{r,s}=A_{i_r,j_s}\qquad(r=1,2,\dots,|I|,\;s=1,2,\dots,|J|)</math>
특히,
* <math>A</math>의 <math>I</math>에 대한 '''주부분 행렬'''(主部分行列, {{llang|en|principal submatrix}})은 부분 행렬 <math>A_{I,I}</math>를 뜻한다.<ref name="Golub">{{서적 인용|성1=Golub|이름1=Gene H.|성2=Van Loan|이름2=Charles F.|제목=Matrix computations|url=https://archive.org/details/matrixcomputatio0004golu|언어=en|판=4|총서=Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences|출판사=The Johns Hopkins University Press|위치=Baltimore|날짜=2013|isbn=978-1-4214-0794-4|mr=3024913|zbl=1268.65037|lccn=2012943449}}</ref>{{rp|24, §1.3.3}}
* <math>A</math>의 <math>k\times k</math> '''선행 주부분 행렬'''(先行主部分行列, {{llang|en|leading principal submatrix}})은 부분 행렬 <math>A_{\{1,\dots,k\},\{1,\dots,k\}}</math>를 뜻한다.<ref name="Golub" />{{rp|24, §1.3.3}}
* <math>A</math>의 <math>i</math>번째 '''행벡터'''(行-, {{llang|en|row vector}})는 <math>A_{i,\{1,\dots,n\}}</math>이다.
* <math>A</math>의 <math>j</math>번째 '''열벡터'''(列-, {{llang|en|column vector}})는 <math>A_{\{1,\dots,m\},j}</math>이다.

=== 소행렬식과 여인자 ===
[[가환환]] 성분의 [[행렬]]의 부분 [[정사각 행렬]]의 [[행렬식]]은 흔히 '''소행렬식'''이라고 부른다. 주부분 행렬의 행렬식은 '''주소행렬식'''(主小行列式, {{llang|en|principal minor}})이라고 하며, 선행 주부분 행렬의 행렬식은 '''선행 주소행렬식'''(先行主小行列式, {{llang|en|leading principal minor}})이라고 한다.

[[가환환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>A\in\operatorname{Mat}(n;R)</math> 및 크기가 같은 행과 열의 집합 <math>I,J\subseteq\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여 (<math>|I|=|J|</math>), <math>A</math>의 '''<math>(I,J)</math>-소행렬식''' <math>M(A)_{I,J}</math>은 <math>I</math>에 속하는 행과 <math>J</math>에 속하는 열을 제거한 부분 행렬의 [[행렬식]]이다. <math>A</math>의 '''<math>(I,J)</math>-여인자''' <math>C(A)_{I,J}</math>는 <math>(I,J)</math>-소행렬식에 적절한 부호 <math>(-1)^{\sum I+\sum J}</math>를 추가한 것이다.
:<math>M(A)_{I,J}=\det A_{\{1,\dots,n\}\setminus I,\{1,\dots,n\}\setminus J}\in R</math>
:<math>C(A)_{I,J}=(-1)^{\sum I+\sum J}\det A_{\{1,\dots,n\}\setminus I,\{1,\dots,n\}\setminus J}\in R</math>

[[가환환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>A\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>의 '''여인자 행렬'''(餘因子行列, {{llang|en|cofactor matrix}})
:<math>C(A)\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>
는 각 <math>(i,j)</math>-여인자
:<math>C(A)_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{\{1,\dots,n\}\setminus\{i\},\{1,\dots,n\}\setminus\{j\}}</math>
를 <math>(i,j)</math>-성분으로 하는 <math>n\times n</math> 정사각 행렬이다.

== 예 ==
실수 3×3 행렬
:<math>
  \begin{pmatrix}
    2 & -1 & 0 \\
    3 & 1 & 9 \\
    -5 & 7 & -12
  \end{pmatrix}
</math>
에서 2번째 행과 1번째 열을 제거한 부분 행렬은
:<math>
  \begin{pmatrix}
    -1 & 0 \\
    7 & -12
  \end{pmatrix}
</math>
이다. 따라서 (2,1)-여인자는
:<math>(-1)^{2+1}
  \begin{vmatrix}
    -1 & 0 \\
    7 & -12
  \end{vmatrix}
=(-1)\times((-1)\times(-12)-0\times 7)=-12</math>
이다.

== 응용 ==
=== 라플라스 전개 ===
{{본문|라플라스 전개}}
[[가환환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>A</math> 및 행·열의 집합 <math>I\subseteq\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\det A=\sum_{J\subseteq\{1,\dots,n\}}^{|J|=|I|}(\det A_{I,J})(-1)^{\sum I+\sum J}(\det A_{\{1,\dots,n\}\setminus I,\{1,\dots,n\}\setminus J})=\sum_{J\subseteq\{1,\dots,n\}}^{|J|=|I|}(\det A_{J,I})(-1)^{\sum J+\sum I}(\det A_{\{1,\dots,n\}\setminus J,\{1,\dots,n\}\setminus I})</math>

=== 코시-비네 공식 ===
{{본문|코시-비네 공식}}
[[가환환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A</math> 및 <math>n\times m</math> 행렬 <math>B</math>에 대하여, 다음이 성립한다 (<math>m\le n</math>).
:<math>\det(AB)=\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\}}^{|I|=m}\det A_{\{1,\dots,m\},I}\det B_{I,\{1,\dots,m\}}</math>

=== 역행렬 ===
{{본문|고전적 수반 행렬}}
[[가환환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>A</math>의 '''[[고전적 수반 행렬]]''' <math>\operatorname{adj}A</math>은 여인자 행렬의 [[전치 행렬]]이다. [[가역 행렬]] <math>A</math>의 [[역행렬]]은 고전적 수반 행렬과 [[행렬식]]을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>A^{-1}=\frac 1{\det A}\operatorname{adj}A</math>

=== 양의 정부호성 ===
{{본문|양의 정부호 행렬}}
[[에르미트 행렬]] <math>A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[양의 정부호 행렬]]이다.
* 모든 선행 주소행렬식이 양의 실수이다.
또한 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[양의 준정부호 행렬]]이다.
* 모든 주소행렬식이 음이 아닌 실수이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id=[[인터넷 아카이브|Internet Archive]] [https://archive.org/details/LinearAlgebraHoffmanAndKunze LinearAlge(…)]}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Minor|제목=Minor}}
* {{매스월드|id=Cofactor|제목=Cofactor}}

{{선형대수학}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:행렬론]]
[[분류:행렬식]]