불 대수 문서 원본 보기

{{대수 구조|expanded=격자}}
[[순서론]]과 [[추상대수학]], [[논리학]]에서 '''불 대수'''(Boole代數, {{llang|en|Boolean algebra}})는 고전 [[명제 논리]]의 명제의 [[격자 (순서론)|격자]]와 같은 성질을 갖는 격자이다. 즉, 논리적 공리들을 만족시키는 [[논리합]]과 [[논리곱]] 및 [[부정 (논리학)|부정]]의 연산이 정의된 [[대수 구조]]이다.

== 정의 ==
불 대수의 개념은 다양하게 정의할 수 있으며, 이 정의들은 서로 [[동치]]이다.
* 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 [[유계 격자]](또는 [[직교 여원 격자]] 또는 [[헤이팅 대수]])로 여길 수 있다.
* 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 [[가환환]]으로 여길 수 있다.
* 불 대수의 범주는 '''스톤 공간'''(Stone空間, {{llang|en|Stone space}})이라는 특정 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주의 반대 범주이다. 이를 통해, 불 대수를 특정 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 속의 특정 [[집합족]]으로 여길 수 있다.

=== 직교 여원 격자를 통한 정의 ===
[[직교 여원 격자]]에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[직교 여원 격자]]를 '''불 대수'''라고 한다.
* [[분배 격자]]이다.
* 임의의 원소 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>c\land x=\bot</math>이며 <math>c\lor x=\top</math>인 <math>c\in L</math>가 유일하게 존재한다. (이는 물론 <math>\lnot x</math>이다.)
* (엘칸 법칙 {{llang|en|Elkan’s law}}) 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>\lnot(a\land\lnot b)=b\lor\lnot a\land\lnot b</math><ref>{{저널 인용|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1503-2.pdf|저자={{ruby-ja|近藤 溢血|こんどう みちろう}}|제목=On orthocomplemented lattices with Elkan’s law|저널=数理解析研究所講究録|권=1503|날짜=2006|쪽=10–16|언어=en}}</ref>
* [[직교모듈러 격자]]이며, 임의의 원소 <math>x\in L\setminus\{\bot\}</math>에 대하여, 다음 세 조건들을 만족시키는 [[함수]] <math>s\colon L\to\{0,1\}</math>가 존재한다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/CMUC/pdf/cmuc9401/ptak.pdf|제목=A measure-theoretic characterization of Boolean algebras among orthomodular lattices|이름=Pavel|성=Pták|이름2=Sylvlia|성2=Pulmannová|저널=Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae|권=35|호=1|날짜=1994|쪽=205–208|issn=0010-2628|언어=en}}</ref>
** <math>s(\top)=s(x)=1</math>
** 임의의 <math>a,b\in L</math>에 대하여, <math>s(a\lor b)\le\max\{s(a),s(b)\}</math>
** 임의의 <math>a,b\in L</math>에 대하여, <math>a\le\lnot b</math>라면 <math>s(a\lor b)=\max\{s(a),s(b)\}</math>

불 대수의 '''준동형'''은 여원과 <math>\top</math> 및 <math>\bot</math>을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다.

=== 유계 격자를 통한 정의 ===
[[유계 격자]] <math>L</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[격자 (순서론)|격자]]를 '''불 대수'''라고 한다.
* [[모듈러 격자]]이며, 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>x\land c=\bot</math>이자 <math>x\lor c=\top</math>인 원소 <math>c\in L</math>가 유일하게 존재한다.<ref>{{저널 인용|이름=Gustav|성=Bergmann|제목=Zur Axiomatic der Elementargeometrie|저널=Monatschrift für Mathematik und Physik|권=36|호=1|날짜=1929|쪽=269-284|mr=1549684|doi=10.1007/BF02307616|issn=0026-9255|언어=de}}</ref>
* [[분배 격자]]이며, 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>x\land c=\bot</math>이자 <math>x\lor c=\top</math>인 원소 <math>c\in L</math>가 적어도 하나 이상 존재한다.
* 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>x\land c=\bot</math>이자 <math>x\lor c=\top</math>인 원소 <math>c\in L</math>가 유일하게 존재하며, 또한 <math>\textstyle x=\bigvee A</math>인 <math>A\subseteq\min(X\setminus\{\bot\})</math>가 존재한다.<ref>{{저널 인용|이름=Garrett|성=Birkhoff|저자링크=개릿 버코프|이름2=Morgan|성2=Ward|제목=A characterization of Boolean algebras|저널=Annals of Mathematics|권=40|호=3|날짜=1939-07|쪽=609–610|bibcode=1939AnMat..40..609B|doi=10.2307/1968945|jstor=1968945|mr=0000009|언어=en}}</ref>
여기서 <math>\min(X\setminus\{\bot\})</math>는 [[부분 순서 집합]] <math>X\setminus\{\bot\}</math>의 [[극소 원소]]들의 집합이다.

=== 헤이팅 대수를 통한 정의 ===
[[헤이팅 대수]] <math>H</math>에 대하여,
:<math>\lnot x=(x\implies\bot)</math>
를 정의하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[헤이팅 대수]]를 '''불 대수'''라고 한다.
* ([[대합 (수학)|대합]]) <math>\lnot</math>은 [[대합 (수학)|대합]]이다. 즉, 임의의 <math>x\in H</math>에 대하여, <math>\lnot\lnot x=x</math>이다.
* ([[배중률]]) 모든 원소 <math>x\in H</math>에 대하여, <math>x\lor\lnot x=\top</math>이다.
이 경우, <math>(H,\lnot)</math>은 [[직교 여원 격자]]를 이룬다.

=== 환론적 정의 ===
(단위원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[환 (수학)|환]]을 '''불 대수'''라고 한다.
* 모든 원소가 [[멱등원]]이다. 즉, 모든 <math>x\in B</math>에 대하여, <math>x^2=x</math>이다.<ref name="Stone"/>{{rp|39, Definition 1}}
* <math>R</math>는 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math>의 [[직접곱]] <math>\mathbb F_2^{\times\kappa}</math>의 [[부분환]]과 동형이다 (<math>\kappa</math>는 임의의 [[기수 (수학)|기수]]).
특히, [[자명환]]은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는 <math>\kappa=0</math>에 해당한다.)

'''불 대수 준동형'''은 두 불 대수 사이의 [[환 준동형]]이다.

=== 위상수학적 정의 ===
'''스톤 공간'''({{llang|en|Stone space}})은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[완전 분리 공간|완전 분리]] [[하우스도르프 공간]]이다.<ref>{{서적 인용|이름=Peter T.|성=Johnstone|제목=Stone spaces|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=3|출판사=Cambridge University Press|날짜=1983-04|mr=0698074|zbl=0499.54001|url=http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/logic-categories-and-sets/stone-spaces?format=HB|isbn=978-052123893-9|언어=en}}</ref> 스톤 공간과 [[연속 함수]]의 범주를 <math>\operatorname{Stone}</math>이라고 쓰자.

스톤 공간의 [[열린닫힌집합]]들의 족은 [[유계 격자]]를 이룬다. 스톤 공간의  [[열린닫힌집합]]들의 족과 동형인 [[유계 격자]]를 '''불 대수'''라고 한다.

[[열린닫힌집합]]의 [[연속 함수]] 아래의 [[원상 (수학)|원상]]은 [[열린닫힌집합]]이다. 따라서, 두 불 대수 <math>B</math>, <math>B'</math>에 대응하는 스톤 공간 <math>X</math>, <math>X'</math>가 주어졌을 때, [[연속 함수]] <math>f\colon X'\to X</math>는 함수
:<math>f^{-1}\colon B\to B'</math>
를 유도한다. 두 불 대수 사이의 '''불 대수 준동형'''은 이와 같이 스톤 공간 사이의 [[연속 함수]]로 유도될 수 있는 함수이다.

이에 따라, 다음과 같은 [[범주의 동치]]가 존재한다.
:<math>\operatorname{Stone}\simeq\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}</math>
이 정의가 불 대수의 다른 정의들과 [[동치]]라는 사실은 '''스톤 표현 정리'''({{llang|en|Stone representation theorem}})라고 한다.

특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든 [[가환환]]에 대하여, '''[[환의 스펙트럼|스펙트럼]]'''이라는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 대응시킬 수 있으며, 이는 [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>의 [[반대 범주]]에서 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Spec}\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Top}</math>
를 정의한다. 만약 이 [[가환환]]이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 [[열린닫힌집합]]족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는 [[범주의 동치]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{Spec}\colon\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Stone}</math>
:<math>\operatorname{Clopen}\colon\operatorname{Stone}\to\operatorname{Bool}^{\operatorname{op}}</math>

불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의 [[극대 아이디얼]]은 극대 [[순서 아이디얼]]과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는 [[극대 필터]]와 일대일 대응한다. 따라서, <math>2</math>가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은 <math>\hom_{\operatorname{Bool}}(B,2)</math>이다. 이 위에 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다.
:<math>\{\{\mathcal U \in\operatorname{Spec}(B) \colon b \in \mathcal U\}\}_{b\in B}</math>
이는 <math>2</math>에 [[이산 위상]]을 부여하고, [[멱집합]] <math>\mathcal P(B)=2^B</math>에 [[곱위상]]을 부여한 뒤, <math>\operatorname{Spec}(B)\subset\mathcal P(B)</math>에 [[부분 공간]] 위상을 부여한 것과 같다.

=== 범주론적 정의 ===
모든 [[원순서 집합]]은 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]로 간주할 수 있다. 이 경우, [[부분 순서 집합]]은 서로 동형인 두 대상이 항상 같은 [[원순서 집합]]이며, [[헤이팅 대수]]는 [[유한 완비 범주]]이자 [[유한 쌍대 완비 범주]]이자 [[데카르트 닫힌 범주]]인 [[부분 순서 집합]]이다.

'''불 대수'''는 다음 조건을 만족시키는 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=A categorical characterization of Boolean algebras|저널=Algebra Universalis|이름=M. E.|성=Szabo|권=4|호=1|쪽=192–194|doi=10.1007/BF02485724|issn=0002-5240|날짜=1974|언어=en}}</ref>
* 서로 동형인 두 대상은 같다.
* [[유한 완비 범주]]이며 [[유한 쌍대 완비 범주]]이다.
* [[데카르트 닫힌 범주]]이다.
* 임의의 두 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>에 대하여, 다음과 같은 [[동형]]이 존재한다. (이들은 [[드 모르간 법칙]]을 [[범주론]]적 용어로 번역한 것이다.)
*:<math>X\times Y\cong 0^{0^X\sqcup 0^Y}</math>
*:<math>0^{X\times Y}\cong 0^X\sqcup 0^Y</math>
여기서 <math>\times</math>는 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이며, <math>\sqcup</math>는 [[쌍대곱]]이며, <math>0</math>은 [[시작 대상]]이며, <math>A^B</math>는 [[지수 대상]]이다.

=== 서로 다른 정의들의 비교 ===
불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.

{| class="wikitable" style="text-align: center"
|-
! 해석 !! 가환환 !! 격자 !! [[직교 여원 격자]] !! [[헤이팅 대수]] !! 스톤 공간 <math>X</math>의 부분 집합 || 범주론적 정의
|-
| [[논리곱]] || 곱 <math>x\cdot y</math>
| colspan=3| 만남 <math>x\land y</math> || [[교집합]] <math>x\cap y</math> || [[곱 (범주론)|곱]] <math>x\times y</math>
|-
|  [[배타적 논리합]] || 합 <math>x+y</math> || <math>x\land y\land c=\bot</math>, <math>(x\land y)\lor c=\top</math>라면, <math>(x\lor y)\land c</math> || <math>(x\lor y)\land\lnot(x\land y)</math> || <math>(x\lor y)\land\left((x\land y)\Rightarrow\bot\right)</math> || <math>(x\setminus y)\cup(y\setminus x)</math> || <math>(x\times0^y)\sqcup(y\times0^x)</math>
|-
| [[논리합]] || <math>x+y+xy</math>
| colspan=3 | 이음 <math>x\lor y</math> || [[합집합]] <math>x\cup y</math> ||  [[쌍대곱]] <math>x\sqcup y</math>
|-
| 거짓 || 덧셈 항등원 <math>0</math>
| colspan=3 | [[최소 원소]] <math>\bot</math> || [[공집합]] <math>\varnothing</math> || [[시작 대상]] <math>0</math>
|-
| 참 || 곱셈 항등원 <math>1</math>
| colspan=3 | [[최대 원소]] <math>\top</math> || 전체 집합 <math>X</math> || [[끝 대상]] <math>1</math>
|-
| 부정 || <math>1+x</math>|| <math>x\land c=\bot</math>, <math>x\lor c=\top</math>인 유일한 <math>c</math> || [[직교 여원 격자|직교 여원]] <math>\lnot x</math> || <math>x\Rightarrow\bot</math> || [[여집합]] <math>X\setminus x</math> || [[지수 대상]] <math>0^x</math>
|-
| 함의 || <math>1+x+xy</math>|| <math>x\land c=\bot</math>, <math>x\lor c=\top</math>라면, <math>c\lor y</math>  || <math>\lnot x\lor y</math> || <math>x\Rightarrow y</math> || <math>(X\setminus x)\cup y</math> || [[지수 대상]] <math>y^x</math>
|}

== 성질 ==
=== 순서론적 성질 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
|| || || || || [[완비 격자]] || ⇐ || [[완비 헤이팅 대수]] ||  ⇐ || [[완비 불 대수]]
|-
|| || || || || || || || || ⇓
|-
|| || || || || ⇓ || || ⇓ || || [[시그마 대수]]
|-
|| || || || || || || || || ⇓
|-
| [[원순서 집합]] || ⇐ || [[부분 순서 집합]] || ⇐ || [[유계 격자]] || ⇐ || [[헤이팅 대수]] || ⇐ || 불 대수
|}

불 대수를 [[가환환]]으로 여겼을 때, 그 [[아이디얼]]은 [[순서 아이디얼]]과 일치한다.

=== 환론적 성질 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[가환환]] ⇐ 가환 [[축소환]] ⇐ 가환 [[반원시환]] ⇐ 가환 [[폰 노이만 정칙환]] ⇐ 불 대수

임의의 불 대수 <math>B</math>는 [[가환환]]이고 [[환의 표수|표수]]가 2이며 (즉 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다) 따라서 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 위의 [[결합 대수]]이다.<ref name="Stone"/>{{rp|39–40, Theorem 1}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''가환성''': 임의의 <math>x,y\in B</math>에 대하여 <math>0=(x+y)^2-(x+y)=x^2+y^2+xy+yx-x-y=xy+yx</math>이다.

'''표수 2''': 위에서 <math>x=y=1</math>이라면 <math>0=2</math>이다.
</div></div>
(그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, [[다항식환]] <math>\mathbb F_2[x]</math>는 <math>x^2\ne x</math>이므로 불 대수가 아니다.)

==== 아이디얼 ====
불 대수의 임의의 [[몫환]]은 불 대수이다. 불 대수의 임의의 [[부분환]]은 불 대수이다.

불 대수의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든 [[소 아이디얼]]은 [[극대 아이디얼]]이다. 불 대수 <math>B</math>의 임의의 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}B</math>에 대한 [[몫환]]은 크기 2의 [[유한체]]이다.
:<math>B/\mathfrak p\cong\mathbb F_2</math>
불 대수는 [[폰 노이만 정칙환]]이며, 따라서 그 위의 모든 [[가군]]은 [[평탄 가군]]이다.

불 대수의 모든 [[유한 생성 아이디얼]]은 [[주 아이디얼]]이다. 구체적으로
:<math>(x,y)=(x+y+xy)</math>
이다.

=== 범주론적 성질 ===
불 대수의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이루며, 따라서 그 범주는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며 [[자유 대상]]을 갖는다.

== 예 ==
=== 멱집합 ===
[[파일:Hypercubeorder.svg|섬네일|right|크기가 16=2<sup>2<sup>2</sup></sup>인 불 대수. 이는 두 개의 생성원으로 생성되는 자유 불 대수이다.]]
임의의 집합 <math>S</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(S)</math>은 크기가 <math>2^{|S|}</math>인 불 대수를 이룬다. 반대로, 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합의 불 대수와 [[동형]]이다. 특히, 공집합의 멱집합 <math>\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}</math>은 가장 작은 불 대수이며, 또한 <math>\top=\bot</math>인 유일한 불 대수이다.

[[집합]] <math>S</math>에 대하여, [[멱집합]] <math>\mathcal P(S)</math>에 대응하는 스톤 공간은 <math>S</math>의 [[스톤-체흐 콤팩트화]]이다.

멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합 <math>S</math> 및 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌을 때,
:<math>\mathcal P_{\kappa}(S)=\left\{T\subset S|\kappa>\min\{|T|,|S\setminus T|\}\right\}</math>
로 정의하자. 만약 <math>\kappa=0</math>이거나 <math>\kappa\ge\aleph_0</math>이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, <math>|S|=\aleph_0</math>일 경우, <math>\mathcal P_{\aleph_0}(S)</math>는 크기가 <math>\aleph_0</math>인 불 대수이며, 따라서 [[멱집합]]과 동형일 수 없다.

=== 자유 불 대수 ===
불 대수는 [[대수 구조 다양체]]를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다.

스톤 표현 정리에 따라서, 임의의 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\kappa</math>개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은
:<math>\{0,1\}^\kappa</math>
이다. 여기서 <math>\{0,1\}</math>은 2개의 점을 가진 [[이산 공간]]이며, <math>\{0,1\}^\kappa</math>에는 [[곱 위상]]을 준다. 이 경우, <math>\alpha</math>번째 생성원은 [[튜플]]의 <math>\alpha</math>번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된 [[열린닫힌집합]]에 대응한다.

만약 <math>\kappa</math>가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는 <math>2^{2^\kappa}</math>이며, 만약 <math>\kappa</math>가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는 <math>\kappa</math>이다.

=== 사유한군 ===
{{본문|사유한군}}
스톤 공간을 이루는 [[위상군]]은 '''[[사유한군]]'''이라고 한다.

== 응용 ==
=== 논리학 ===
{{본문|명제 논리}}
논리학에서, 불 대수는 고전 [[명제 논리]]의 [[모형 이론|모형]]을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를 [[직관 논리]]로 약화시키면, 불 대수 대신 [[헤이팅 대수]]를 사용하여야 한다.

=== 컴퓨터 과학 ===
불 대수는 [[디지털 회로]] 설계에 응용된다. 디지털 회로는 [[전압]]의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 [[조합 회로]]는 불 대수에 있는 [[논리식]]을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, [[플립플롭]] 등 [[순차 회로]]는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.) 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.

== 역사 ==
불 대수의 개념은 1847년에 [[조지 불]]이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=George|성=Boole|저자링크=조지 불|제목=The mathematical analysis of logic, being an essay towards a calculus of deductive reasoning|날짜=1847|url=https://archive.org/details/mathematicalanal00booluoft|위치=[[케임브리지]]|출판사=MacMillan, Barclay, & MacMillan|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=The calculus of logic|이름=George|성=Boole|저자링크=조지 불|저널=Cambridge and Dublin Mathematical Journal|권=3|날짜=1848|쪽=183–198|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Boole/CalcLogic/CalcLogic.html|언어=en}}</ref> 이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다.<ref>{{서적 인용|제목= An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities|이름=George|성=Boole|저자링크=조지 불|날짜=1954|url=https://archive.org/details/investigationofl00boolrich|위치=[[런던]]|출판사=Walton and Maberly|언어=en}}</ref> 불은 [[논리곱]]과 [[배타적 논리합]]을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를 [[가환환]]의 일종으로 여기는 것과 같다.

이후 윌리엄 스탠리 제번스({{llang|en|William Stanley Jevons}}, 1835~1882) · [[찰스 샌더스 퍼스]](1839~1914) · 에른스트 슈뢰더({{llang|de|Ernst Schröder}}, 1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한 [[배타적 논리합]] 대신 (배타적이지 않은) [[논리합]]을 최초로 사용하였다.<ref name="Jevon">{{서적 인용|제목=Pure logic or the logic of quality apart from quantity: with remarks on Boole’s system and on the relation of logic and mathematics|이름=William Stanley|성=Jevons|날짜=1864|url=https://archive.org/details/purelogicorlogi00jevogoog|위치=[[런던]]|출판사=Edward Stanford|언어=en}}</ref> 이 책에서 제번스는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|불 교수는 ‘+’ 기호를 사용하여 항들을 결합시킬 때, 이들이 서로 논리적으로 반대되는 것이라는 것을 가정합니다. 즉, 이들은 같은 대상에 모순 없이 적용되거나 결합될 수 없습니다. […] 이에 대하여 나는 이의를 제기합니다. 일상적인 접속사의 용례에서는 서로 배타적이지 않은 항들을 결합시킬 수 있습니다. […] 예를 들어, "귀족은 [[공작 (작위)|공작]]이거나 [[후작]]이거나 [[백작]]이거나 [[자작]]이거나 [[남작]]이다."라는 명제를 불 교수의 기호로 나타낸다면, 귀족이 공작이자 동시에 후작, 또는 후작이자 동시에 백작이 될 수 없습니다. 그러나 실제로는 많은 귀족들은 두 개 이상의 작위들을 소유합니다. 예를 들어, [[웨일스 공]]은 콘월 [[공작 (작위)|공작]]이자 체스터 [[백작]]이자 렌프루 [[남작]]입니다.<br>
{{lang|en|Professor Boole uses the symbol + to join terms together, on the understanding that they are logical contraries, which cannot be predicated of the same thing or combined together without contradiction. […] This I altogether dispute. In the ordinary use of these conjunctions, we do not necessarily join logical contraries only; […] Take, for instance, the proposition—‘A peer is either a duke, or a marquis, or an earl, or a viscount, or a baron.’ If expressed in Professor Boole’s symbols, it would be implied that a peer cannot be at once a duke and marquis, or marquis and earl. Yet many peers do possess two or more titles, and the Prince of Wales is Duke of Cornwall, Earl of Chester, Baron Renfrew, &c.}}
|<ref name="Jevon"/>{{rp|76, §177–179}}}}

1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼({{llang|en|Henry Maurice Sheffer}}, 1882~1964)가 "불 대수"({{llang|en|Boolean algebra|불리언 앨지브라}})라는 용어를 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|성=Sheffer|이름=Henry Maurice|날짜=1913|제목=A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=14|쪽=481–488|doi=10.1090/S0002-9947-1913-1500960-1|mr=1500960|jstor=1988701|issn=0002-9947|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Edward V.|성=Huntington|제목=New sets of independent postulates for the algebra of logic, with special reference to Whitehead and Russell’s Principia mathematica|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=35|호=1|날짜=1933|쪽=274–304|doi=10.1090/S0002-9947-1933-1501684-X |mr=1501684|issn=0002-9947|언어=en}}</ref>{{rp|278, 주석}} 이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을 [[부정논리곱]]으로서 정의할 수 있음을 보였다.

스톤 표현 정리는 [[마셜 하비 스톤]]이 1936년에 증명하였다.<ref name="Stone">{{저널 인용|이름=Marshall H.|성=Stone|저자링크=마셜 하비 스톤|날짜=1936|doi=10.2307/1989664 |jstor=1989664|제목=The theory of representations of Boolean algebras|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=40|쪽=37–111|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[부울 도메인]]
* [[불 함수]]
* [[완비 불 대수]]
* [[드 모르간의 법칙]]
* [[강제법]]
* [[헤이팅 대수]]
* [[카노 맵]]
* [[논리 회로]]
* [[이진 행렬]]
* [[콰인-매클러스키 알고리즘]]
* [[벤 다이어그램]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | 제목=Introduction to Boolean algebras|성=Givant|이름=Steven|이름2=Paul|성2= Halmos|저자링크2=헐모시 팔|날짜=2009|isbn= 978-0-387-40293-2|총서=Undergraduate Texts in Mathematics |issn=0172-6056|doi=10.1007/978-0-387-68436-9|zbl=1168.06001|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Paul|성=Halmos|저자링크=헐모시 팔|성2=Givant|이름2=Steven|날짜=1998|제목=Logic as Algebra|총서=Dolciani Mathematical Expositions|권=21|출판사=The Mathematical Association of America|언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Davey | first=B.A. | 공저자=H. A. Priestley |title=Introduction to lattices and order | 판=2판 | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-78451-1 | 날짜=2002|doi=10.1017/CBO9780511809088|zbl=1002.06001|언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=Countable Boolean algebras and decidability|성=Goncharov|이름=Sergey|날짜=1997|isbn=978-0-306-11061-0|출판사=Springer|url=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-306-11061-0|zbl=0912.03019|언어=en}}
* {{서적 인용|날짜=2002|제목=Boolean algebras in analysis|성=Vladimirov|이름=D. A.|doi=10.1007/978-94-017-0936-1|isbn=978-1-4020-0480-3|출판사=Springer-Verlag|총서=Mathematics and its Applications|url=http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/vladimirov.pdf|권=540|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Sikorski|이름=Roman|제목=Boolean algebras|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=25|출판사=Springer-Verlag|mr=126393|doi=10.1007/978-3-642-85820-8|isbn=978-3-642-85822-2|날짜=1969|판=2|zbl=0087.02503|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Boolean algebra}}
* {{eom|title=Boolean ring}}
* {{eom|title=Stone space}}
* {{매스월드|id=BooleanAlgebra|title=Boolean algebra}}
* {{매스월드|id=BooleanRing|title=Boolean ring}}
* {{매스월드|id=StoneSpace|title=Stone space}}
* {{nlab|id=Boolean algebra}}
* {{nlab|id=Boolean ring}}
* {{nlab|id=Stone space}}
* {{nlab|id=profinite space|title=Profinite space}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Boolean_Algebra|제목=Definition: Boolean algebra|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Boolean_Ring|제목=Definition: Boolean ring|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Boolean_Algebra|제목=Equivalence of definitions of Boolean algebra|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Duality_Principle_(Boolean_Algebras)|제목=Duality principle (Boolean algebra)|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/01/12/245b-notes-1-the-stone-and-loomis-sikorski-representation-theorems-optional/|제목=245B notes 4: The Stone and Loomis-Sikorski representation theorems (optional)|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|날짜=2009-01-12|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2010/11/22/boolean-rings-ultrafilters-and-stones-representation-theorem/|제목=Boolean rings, ultrafilters, and Stone’s representation theorem|웹사이트=Annoying Precision|날짜=2010-11-22|이름=Qiaochu|성=Yuan|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://thue.stanford.edu/bool.html|제목=Boolean algebras|출판사=Stanford University|이름=Vaughan|성=Pratt|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/boolalg-math/|제목=The Mathematics of Boolean Algebra|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|성=Monk|이름=J. Donald|날짜=2014-06-14|언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:불 대수| ]]