사슬 복합체 문서 원본 보기

[[파일:Chain map.svg|섬네일]]
[[호몰로지 대수학]]에서 '''사슬 복합체'''(-複合體, {{llang|en|chain complex}})는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, [[아벨 범주]]의 대상들의 [[수열|열]]이다. 이를 사용하여 [[호몰로지 대수학]] 및 [[호몰로지]] · [[코호몰로지]]의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.

== 정의 ==
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. (예를 들어, [[아벨 군]]이나 [[가군]], 또는 아벨 군 값을 갖는 [[층 (수학)|층]] 등이 있다.)

<math>\mathcal A</math> 속의 '''사슬 복합체''' <math>(C_\bullet, \partial_\bullet)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 정수 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\mathcal A</math>의 대상 <math>C_i\in\mathcal A</math>
* 각 정수 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\mathcal A</math>의 사상 <math>\partial_i\colon C_i\to C_{i-1}</math>
*:<math>\cdots \to
C_{i+1}\xrightarrow{\partial_{i+1}}
C_i \xrightarrow{\partial_i}
C_{i-1} \xrightarrow{\partial_{i-1}}
C_{i-2} \to \cdots
</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 정수 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\partial_{i-1}\circ\partial_i=0</math>
이 경우,  사상 <math>\partial_\bullet</math>은 '''경계 사상'''(境界寫像, {{llang|en|boundary map}})라고 하고, <math>C_i</math>의 원소는 ''i''차 '''사슬'''({{llang|en|''i''-chain}})이라고 한다. <math>\partial_i\alpha=0</math>인 ''i''차 사슬 <math>\alpha\in C_i</math>을 '''<math>i</math>차 순환'''(<math>i</math>次循環, {{llang|en|<math>i</math>-cycle|사이클}})이라고 한다.

'''공사슬 복합체'''(共사슬複合體, {{llang|en|cochain complex}}}) <math>(C^\bullet,\mathrm d^\bullet)</math>는 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다.
:<math>\cdots \to
C^{i-2}\xrightarrow{\mathrm d_C^{i-2}}
C^{i-1}\xrightarrow{\mathrm d_C^{i-1}}
C^i \xrightarrow{\mathrm d_C^i}
C^{i+1} \to \cdots
</math>
이 경우,  사상 <math>\mathrm d^\bullet</math>은 '''공경계 사상'''(共境界寫像, {{llang|en|coboundary map}})라고 하고, <math>C^i</math>의 원소는 ''i''차 '''공사슬'''(<math>i</math>次共사슬, {{llang|en|''i''-cochain}})이라고 한다. <math>\mathrm d^i\alpha=0</math>인 ''i''차 공사슬 <math>\alpha\in C^i</math>을 '''<math>i</math>차 공순환'''(<math>i</math>次共循環, {{llang|en|<math>i</math>-cocycle|코사이클}})이라고 한다.

<math>\mathcal A</math> 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 [[범주 (수학)|범주]]는 <math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 <Math>\operatorname{Ch}^\bullet(\mathcal A)</math>라고 한다. 물론, 이 둘은 (차수를 <math>A_i \mapsto A^{-i}</math>로 대응시킬 때) 같은 범주를 표기하는 서로 다른 두 방법일 뿐이지만, 용도에 따라 두 표기법 가운데 하나가 더 선호되는 경우가 많다.

=== 사슬 사상 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 두 사슬 복합체 <math>(C_\bullet,\partial^C_\bullet)</math>, <math>(D_\bullet,\partial^D_\bullet)</math> 사이의 '''사슬 사상'''(사슬寫像, {{llang|en|chain map}}) <math>f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 정수 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\mathcal A</math> 속의 사상 <math>f_i\colon C_i\to D_i</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 각 정수 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\partial^D_i\circ f_i=f_{i-1}\circ\partial^C_i</math>. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
*:<math>\begin{matrix}
\cdots \to &C_{i+1}&\overset{\partial^C_{i+1}}\to&C_i&\overset{\partial^C_i}\to&C_{i-1}&\to \cdots \\
&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_{i+1}}\downarrow{\scriptstyle f_{i+1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_i}\downarrow{\scriptstyle f_i}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f_{i-1}}\downarrow{\scriptstyle f_{i-1}}\!\!\!\!\!\!\\
\cdots \to &D_{i+1}&\underset{\partial^D_{i+1}}\to&D_i&\underset{\partial^D_i}\to&D_{i-1}&\to \cdots \\
\end{matrix}</math>

마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 두 공사슬 복합체 <math>(C^\bullet,\mathrm d_C^\bullet)</math>, <math>(D^\bullet,\mathrm d_D^\bullet)</math> 사이의 '''공사슬 사상'''({{llang|en|cochain map}}) <math>f^\bullet\colon C^\bullet\to D^\bullet</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 정수 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\mathcal A</math> 속의 사상 <math>f^i\colon C^i\to D^i</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 각 정수 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\mathrm d_D^i\circ f^i=f^{i+1}\circ\mathrm d_C^i</math>. 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.
*:<math>\begin{matrix}
\cdots \to &C^{i-1}&\overset{\mathrm d_C^{i-1}}\to&C^i&\overset{\mathrm d_C^i}\to&C^{i+1}&\to \cdots \\
&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^{i-1}}\downarrow{\scriptstyle f^{i-1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^i}\downarrow{\scriptstyle f^i}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle f^{i+1}}\downarrow{\scriptstyle f^{i+1}}\!\!\!\!\!\!\\
\cdots \to &D^{i-1}&\underset{\mathrm d_D^{i-1}}\to&D^i&\underset{\mathrm d_D^i}\to&D^{i+1}&\to \cdots \\
\end{matrix}</math>

사슬 복합체와 사슬 사상의 [[범주 (수학)|범주]]는 <Math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math> 또는 <math>\operatorname{Kom}_\bullet(\mathcal A)</math>로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는 {{llang|en|[[:wiktionary:ko:chain|chain]]|체인}} 또는 복합체를 뜻하는 {{llang|de|[[:wiktionary:ko:Komplex|Komplex]]|콤플렉스}}를 딴 것이다.

=== 사슬 호모토피 ===
{{본문|유도 범주}}
임의의 두 사슬 복합체 <math>C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합
:<math>\hom_{\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)}(C_\bullet, D_\bullet)</math>
위에는 '''[[사슬 호모토피]]'''라는 [[동치 관계]]가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 [[유도 범주]]의 사상을 이룬다.

=== 유계 사슬 복합체 ===
<math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>의 다음과 같은 부분 범주들이 흔히 사용된다.
* <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>는 음의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
*:<math>\dotsb\to A_2\to A_1\to A_0\to 0\to 0\to\dotsb</math>
* 마찬가지로, <math>\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)</math>는 음의 차수 성분들이 모두 0인 공사슬 복합체들의 범주이다. (이는 양의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체로 여겨질 수 있다.)
*:<math>\dotsb\to0\to 0\to A_0 \to A_1\to A_2\to\dotsb</math>
* <math>\operatorname{Ch}_{\le \bullet\le }</math>는 '''유계 사슬 복합체'''(有界사슬複合體, {{llang|en|bounded chain complex}}), 즉 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
*:<math>\dotsb\to 0\to 0\to A_n \to A_{n-1} \to \dotsb \to A_{m+1}\to A_m \to 0 \to 0 \to \dotsb</math>

== 연산 ==
=== 현수 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 사슬 복합체
:<math>A_k\in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>
와 [[정수]] <math>k\in\mathbb Z</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>A_\bullet</math>의 '''<math>k</math>차 현수'''(<math>k</math>次懸垂, {{llang|en|<math>k</math>th suspension}}) <math>A[k]_\bullet</math>는 다음과 같은 사슬 복합체이다.
:<math>A[k]_n = A_{n-k} \qquad\forall n\in\mathbb N</math>
:<math>\partial_n^{A[k]} = (-)^k \partial_{n-k}</math>
즉, 각 성분의 차수를 <math>k</math>만큼 추가하고, 만약 <math>k</math>가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다.

=== 직합 · 핵 · 여핵 · 상 · 여상 ===
사슬 복합체의 범주는 [[아벨 범주]]를 이룬다. 따라서, [[아벨 범주]]에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.

예를 들어, 두 사슬 복합체 <math>A_\bullet,B_\bullet</math> 의 '''[[직합]]''' <Math>(A\oplus B)_\bullet</math>은 다음과 같다.
* <math>(A\oplus B)_n = A_n \oplus_{\mathcal A} B_n</math> (<math>n\in\mathbb Z)</math>
* <math>\partial_n \colon (A\oplus B)_n \to (A\oplus B)_{n-1}</math>
* <math>\partial_n = \partial^A_n \oplus \partial^B_n</math>

마찬가지로, 사슬 복합체 사상
:<math>f_\bullet \colon A_\bullet \to B_\bullet</math>
의 '''[[핵 (수학)|핵]]'''
:<math>(\ker f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>
:<math>(\ker f)_n = \ker (f_n)</math>
및 '''[[여핵]]'''
:<math>(\operatorname{coker} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>
:<math>(\operatorname{coker} f)_n = \operatorname{coker} (f_n)</math>
및 '''[[상 (수학)|상]]'''
:<math>(\operatorname{im} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>
:<math>(\operatorname{im} f)_n = \operatorname{im} (f_n)</math>
및 '''[[여상]]'''
:<math>(\operatorname{coim} f)_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>
:<math>(\operatorname{coim} f)_n = \operatorname{coim} (f_n)</math>
이 성분별로 정의된다.

=== 호몰로지 ===
{{본문|호몰로지}}
{{본문|코호몰로지}}
사슬 복합체 <math>A_\bullet \in\operatorname{Ch}(\mathcal A)</math>의 경우, '''[[호몰로지]]'''
:<math>\operatorname H_\bullet(A) = \frac{\ker_\bullet}{\operatorname{im}_\bullet} \in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>
를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 '''[[코호몰로지]]'''라고 불린다.

두 사슬 복합체 <math>C_\bullet</math>, <math>D_\bullet</math> 사이의 '''유사동형'''(類似同型, {{llang|en|quasi-isomorphism}})은 다음과 같은 사슬 사상 <math>q\colon C\to D</math>이다.
* <math>q</math>로부터 유도되는 [[호몰로지]] 사상 <math>q_*\colon\operatorname H_\bullet(C)\to\operatorname H_\bullet(D)</math>는 각 성분마다 [[동형 사상]]이다.

서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

=== 텐서곱과 내적 사상 대상 ===
{{본문|텐서곱}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math> 위의 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]들의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)</math>
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체
:<math>C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)</math>
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 [[텐서곱]]을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 <math>E_{\bullet,\bullet}</math>를 정의할 수 있다.
:<math>E_{m,n} = C_m \otimes_A D_n</math>
:<math>\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m-1,n}</math>
:<math> \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} = \partial^C_m \otimes\operatorname{id}_{D_n}</math>
:<math>\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m,n-1}</math>
:<math> \partial^{\operatorname v,E}_{m,n} = \operatorname{id}_{C_m} \otimes\partial^D_n</math>
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 <math>(C\otimes D)_\bullet = \operatorname{Tot}_\bullet(E)</math>를 <math>C_\bullet</math>와 <math>D_\bullet</math>의 '''텐서곱'''이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:<math>(C\otimes D)_\bullet \in\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)</math>
:<math>(C\otimes D)_n = \bigoplus_{p+q=n} C_p \otimes_A D_q</math>
:<math>\partial_n \colon (C\otimes D)_n \to (C\otimes D)_{n-1}</math>
:<math>\partial_n \colon \bigoplus_{p+q=n} \left(\partial^C_p \otimes_A \operatorname{id}_{D_q} + (-)^p \operatorname{id}_{C_p} \otimes \partial^D_p\right)</math>

이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다.
:<math>1_\bullet \in \operatorname{Ch}(\mathcal A)</math>
:<math>1_n = \begin{cases}
0 & n \ne 0 \\
A & n = 0
\end{cases}</math>
그렇다면, <math>(\operatorname{Ch}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)</math>은 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 마찬가지로,
* <math>(\operatorname{Ch}_{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1^\bullet)</math>
* <math>(\operatorname{Ch}^{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)</math>
* <math>(\operatorname{Ch}_{\le\bullet\le}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1_\bullet)</math>
역시 각각 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다.

특히, <math>(\operatorname{Ch}^{\ge0}(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,1^\bullet)</math> 속의 [[모노이드 대상]]을 '''[[미분 등급 대수]]'''라고 한다.

또한, <math>\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)</math>의 두 사슬 복합체 <math>C_\bullet</math>, <math>D_\bullet</math>에 대하여,  다음과 같은 '''내적 사상 대상'''(內的寫像對象, {{llang|en|internal homomorphism-object}})
:<math>\hom_\bullet(C,D) \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)</math>
을 정의할 수 있다.
:<math>\hom_n(C,D) =\prod_{i\in\mathbb Z} \hom_{_A\operatorname{Mod}_A}(C_i,D_{i+n})</math>
:<math>\partial^{\hom(C,D)}_n f = \prod_{i\in\mathbb Z}
(\partial_{i+n}^D\circ f - (-)^n f\circ \partial_i^X) </math>
이에 따라, [[쌍가군]] 범주 위의 사슬 복합체 범주 <math>(\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A),\otimes,\hom_\bullet)</math>는 [[닫힌 모노이드 범주]]를 이룬다.

=== 유도 범주 ===
{{본문|유도 범주}}
[[사슬 복합체]]의 범주 <math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>에서, 유사동형들을 [[동형 사상]]이 되게 국소화하면, '''[[유도 범주]]''' <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>를 얻으며, 표준적 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal A)</math>
가 존재한다.

== 성질 ==
사슬 복합체의 범주는 [[아벨 범주]]를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 [[유도 범주]]는 [[가법 범주]]이지만 일반적으로 [[아벨 범주]]가 아니다.

=== 모형 범주 구조 ===
[[사영 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의, 음이 아닌 차수의 [[사슬 복합체]] 범주 <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>에는 다음과 같은 [[모형 범주]] 구조가 존재한다.
{| class=wikitable
! 약한 동치
| 사슬 복합체의 유사동형
|-
! 올뭉치
| 양의 차수에서 각 성분이 [[전사 사상]]인 사슬 사상
|-
! 쌍대올뭉치
| 각 성분이 [[단사 사상]]이며, 각 성분의 [[여핵]]이 [[사영 대상]]인 사슬 사상
|-
! [[올대상]]
| 모든 사슬 복합체
|-
! 올대상 분해
| (원래 사슬 복합체와 같음)
|-
! [[쌍대올대상]]
| 모든 성분이 [[사영 대상]]인 사슬 복합체
|-
! 쌍대올대상 분해
| [[사영 분해]]
|}

마찬가지로, [[단사 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 <math>\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)</math>에는 다음과 같은 [[모형 범주]] 구조가 존재한다.
{| class=wikitable
! 약한 동치
| 공사슬 복합체의 유사동형
|-
! 올뭉치
| 각 성분이 [[전사 사상]]이며, 각 성분의  [[핵 (범주론)|핵]]이 [[단사 대상]]인 공사슬 사상
|-
! 쌍대올뭉치
| 양의 차수에서 각 성분이 [[단사 사상]]인 공사슬 사상
|-
! [[올대상]]
| 모든 성분이 [[단사 대상]]인 공사슬 복합체
|-
! 올대상 분해
| [[단사 분해]]
|-
! [[쌍대올대상]]
| 모든 공사슬 복합체
|-
! 쌍대올대상 분해
| (원래 사슬 복합체와 같음)
|}

이 모형 범주 구조에 대한 [[호모토피 범주]]는 [[유도 범주]]이다.

== 예 ==
=== 돌트-칸 대응 ===
{{본문|정규화 사슬 복합체}}
[[아벨 범주]] 위의 [[단체 대상]] <math>X_\bullet</math>에 대하여, 항상 '''[[정규화 사슬 복합체]]''' <math>\operatorname N_\bullet(X)</math>라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 [[함자 (수학)|함자]]를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>와 [[단체 대상]]의 범주 <math>\mathcal A^{\triangle^{\operatorname{op}}}</math> 사이의 [[범주의 동치|동치]] 및 [[모형 범주]]의 [[퀼런 동치]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)\simeq \mathcal A^{\triangle^{\operatorname{op}}}</math>
이를 '''[[돌트-칸 대응]]'''이라고 한다.

마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 <math>\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)</math>는 [[쌍대 단체 대상]]의 범주 <math>\mathcal A^{\triangle}</math>와 [[범주의 동치|동치]]이며, 또한 이는 [[모형 범주]]의 [[퀼런 동치]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)\simeq \mathcal A^\triangle</math>

=== 이중 사슬 복합체 ===
{{본문|이중 사슬 복합체}}
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의 [[사슬 복합체]]의 범주 <math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math> 역시 [[아벨 범주]]이므로, 그 위의 [[사슬 복합체]]를 취할 수 있다. 이를 '''이중 사슬 복합체'''(二重사슬複合體, {{llang|en|double chain complex, bicomplex}})라고 한다.

== 역사 ==
(공)사슬 복합체의 개념은 [[대수적 위상수학]]에서 [[호몰로지]]·[[코호몰로지]]를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[특이 호몰로지]]를 정의하기 위하여 [[특이 사슬 복합체]]라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 [[층 코호몰로지]] · [[군 코호몰로지]] 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, [[호몰로지 대수학]]의 발달로 추상적으로 정의되었다.

== 같이 보기 ==
* [[미분 등급 대수]]
* [[미분 등급 리 대수]]
* [[정규화 사슬 복합체]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름1=Raoul|성1=Bott|저자링크1=라울 보트|이름2=Loring Wuliang|성2=Tu|저자링크2=로링 투|제목=Differential forms in algebraic topology |날짜=1982|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=82|issn=0072-5285|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-1-4419-2815-3 |doi=10.1007/978-1-4757-3951-0|mr=658304|zbl= 0496.55001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complex (in homological algebra)}}
* {{eom|title=Chain}}
* {{eom|title=Cochain}}
* {{eom|title=Complex}}
* {{매스월드|id=ChainComplex|title=Chain complex}}
* {{매스월드|id=CochainComplex|title=Cochain complex}}
* {{매스월드|id=BoundaryOperator|title=Boundary operator}}
* {{매스월드|id=CoboundaryOperator|title=Coboundary operator}}
* {{매스월드|id=ChainHomomorphism|title=Chain homomorphism}}
* {{매스월드|id=ChainEquivalence|title=Chain equivalence}}
* {{nlab|id=chain complex|title=Chain complex}}
* {{nlab|id=differential graded vector space|title=Differential graded vector space}}
* {{nlab|id=complex|title=Complex}}
* {{nlab|id=chain map|title=Chain map}}
* {{nlab|id=suspension of a chain complex|title=Suspension of a chain complex}}
* {{nlab|id=chain homology and cohomology|title=Chain homology and cohomology}}
* {{nlab|id=category of chain complexes|title=Category of chain complexes}}
* {{nlab|id=model structure on chain complexes|title=Model structure on chain complexes}}
* {{nlab|id=internal hom of chain complexes|title=Internal hom of chain complexes}}
* {{nlab|id=tensor product of chain complexes|title=Tensor product of chain complexes}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/68339/motivating-the-category-of-chain-complexes|제목=Motivating the category of chain complexes|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-02-10|보존url=https://web.archive.org/web/20160215211032/http://mathoverflow.net/questions/68339/motivating-the-category-of-chain-complexes|보존날짜=2016-02-15|url-status=dead}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:호몰로지 대수학]]