사영작용소 문서 원본 보기

[[선형대수학]]에서 '''사영 작용소'''(射影作用素, {{llang|en|projection operator}})는 [[멱등]] [[선형 변환]]이다.

== 정의 ==
<math>V</math>가 [[벡터 공간]]이라고 하자. [[선형 변환]] <math>P\colon V\to V</math>가 <math>P^2=P</math>를 만족시키면, 이를 '''사영 작용소'''라고 한다.

== 분류 ==
유한 차원 벡터 공간의 경우, 사영 작용소들은 벡터 공간의 부분 벡터 공간 및 그 여공간의 쌍과 [[일대일 대응]]한다. 임의의 사영 작용소 <math>P\colon V\to V</math>가 주어지면, 벡터 공간은 <math>P</math>의 [[상 (수학)|상]]과 [[핵 (수학)|핵]]의 [[직합]]으로 나타내어진다. 즉,
:<math>V=P(V)\oplus\ker P</math>
로 분해할 수 있다.
{{증명}}
우선, 임의의 <math>a\in V</math>에 대하여, <math>Pa\in P(V)</math>이며, <math>a-Pa\in\ker P</math>이므로, <math>V=P(V)+\ker P</math>이다.

또한, 만약 <math>a\in P(V)\cap\ker P</math>라면, <math>a=Pb</math>인 <math>b\in V</math>가 존재하며,
:<math>0=Pa=P^2b=Pb=a</math>
이다. 따라서 <math>P(V)\cap\ker P=\{0_V\}</math>이다.
{{증명 끝}}
이에 따라, 임의의 <math>a\oplus b\in P(V)\oplus\ker P</math>에 대하여
:<math>P\colon a\oplus b\mapsto a\oplus0</math>
이다.
{{증명}}
만약 <math>a\in P(V)</math>라면, <math>a=Pb</math>인 <math>b\in V</math>가 존재하므로,
:<math>Pa=P^2b=Pb=a</math>
이며, <math>a</math>는 <math>P</math>의 고정점이다.
{{증명 끝}}
즉, <math>P</math>는 주어진 벡터를 그 핵 <math>\ker P\subset V</math>을 따라 그 상 <math>P(V)\subset V</math>에 사영하는 작용소로 생각할 수 있다.

== 성질 ==
사영 작용소의 [[고윳값]]은 0 또는 1이다. 그 중복도는 각각 <math>\dim\ker P</math>, <math>\dim P(V)</math>이다.

사영 작용소 <math>P</math>의 [[행렬 지수 함수]]는
:<math>\exp P=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}P^n=1+(e-1)P</math>
이다.

[[내적 공간]] <math>V</math>의 사영 작용소 <math>P\colon V\to V</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* [[최소 제곱법]]을 정의한다. 즉, 임의의 <math>b\in V</math> 및 <math>Pb\ne a\in P(V)</math>에 대하여, <math>\Vert b-Pb\Vert<\Vert b-a\Vert</math>
* <math>\ker P</math>는 <math>P(V)</math>의 [[직교 여공간]]이다. 즉, 임의의 <math>a,b\in V</math>에 대하여, <math>\langle Pa,b-Pb\rangle=0</math>이다.
* [[자기 수반 작용소]]이다.

== 응용 ==
=== 선형 최소 제곱법 ===
[[내적 공간]] <math>V</math> 및 벡터 <math>b\in V</math> 및 부분 벡터 공간 <math>W\subset V</math>이 주어졌다고 하자. 벡터 <math>Pb\in W</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>Pb</math>를 <math>b</math>의 <math>W</math>에 대한 '''최적 근사'''(最適近似, {{llang|en|best approximation}})라고 한다.
* 임의의 <math>a\in W</math>에 대하여, <math>\Vert b-Pb\Vert\le\Vert b-a\Vert</math>
* <math>b-Pb\in W^\perp</math>
최적 근사는 존재한다면 유일하지만, 일반적으로 존재하지 않는다. 만약 <math>W</math>를 상으로 하는 자기 수반 사영 작용소 <math>P\colon V\to V</math>가 존재한다면, (이 경우 <math>P</math>의 핵은 [[직교 여공간]] <math>W^\perp</math>이다.) 각 <math>b</math>의 <math>W</math>를 통한 최적 근사는 <math>Pb</math>이다. 특히, <math>W</math>가 유한 차원 벡터 공간이라면 이러한 자기 수반 사영 작용소는 항상 존재한다. [[연립 일차 방정식]]의 [[최소 제곱법]]은 이에 대한 특수한 경우이다.

== 같이 보기 ==
* [[불변 부분 공간]]
* [[대각합]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Projector}}
* {{nlab|id=projector|title=Projector}}

{{선형대수학}}
{{위키데이터 속성 추적}}
{{토막글|수학}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:선형 연산자]]
[[분류:함수해석학]]