산술기하학 문서 원본 보기

{{기하학 사이드바|branches}}
[[파일:Example of a hyperelliptic curve.svg|섬네일|<math>y^2=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)</math>로 정의된 [[초타원 곡선]]은 [[팔팅스의 정리]]에 의해 유한개의 [[유리점]] (예: <math>(-2, 0)</math> 및 <math>(-1, 0)</math>)만을 가진다.]]
수학에서 '''산술기하학'''(arithmetic geometry)은 대략적으로 [[대수기하학]]의 기법을 [[수론]]의 문제에 적용하는 학문이다.<ref>{{웹 인용|title=Introduction to Arithmetic Geometry|last=Sutherland|first=Andrew V.|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-782-introduction-to-arithmetic-geometry-fall-2013/lecture-notes/MIT18_782F13_lec1.pdf|date=September 5, 2013|access-date=22 March 2019}}</ref> 산술기하학은 [[대수다양체]]의 [[유리점]]을 연구하는 [[디오판토스 기하학]]을 중심으로 한다.<ref name="Quanta">{{웹 인용|url=https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/|title=Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry|last=Klarreich|first=Erica|date=June 28, 2016|access-date=March 22, 2019}}</ref><ref name="poonen-notes">{{웹 인용|title=Introduction to Arithmetic Geometry|last=Poonen|first=Bjorn|author-link=Bjorn Poonen|url=http://math.mit.edu/~poonen/782/782notes.pdf|year=2009|access-date=March 22, 2019}}</ref>

더 추상적인 용어로, 산술기하학은 [[대수적 정수환]]의 [[환의 스펙트럼]] 상의 [[Finite morphism#Morphisms of finite type|유한형]]인 [[스킴 (수학)|스킴]]을 연구하는 학문으로 정의될 수 있다.<ref>{{Nlab|id=arithmetic+geometry|title=Arithmetic geometry}}</ref>

== 개요 ==
산술기하학의 고전적인 관심 대상은 유리점이다. 즉, [[수체]], [[유한체]], [[p-진수]]체 또는 [[대수 함수체]], 즉 [[대수적으로 닫힌 체]]가 아닌 (실수를 제외한) [[체 (수학)|체]] 상에서 [[다항 방정식계]]의 [[해집합]]이다. 유리점은 그 산술적 복잡성을 측정하는 [[높이 함수]]에 의해 직접적으로 특성화될 수 있다.<ref>{{서적 인용| first=Serge | last=Lang | author-link=Serge Lang | title=Survey of Diophantine Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1997 | isbn=3-540-61223-8 | zbl=0869.11051 | pages=43–67 }}</ref>

대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 상에서 정의된 대수다양체의 구조는 대수기하학의 현대적이고 추상적인 발전과 함께 관심의 중심 영역이 되었다. 유한체 상에서는 [[에탈 코호몰로지]]가 대수다양체와 관련된 [[위상적 불변량]]을 제공한다.<ref name="grothendieck-cohomology"/> [[p-진 호지 이론]]은 [[복소수]] 상의 다양체의 코호몰로지적 특성이 [[p-진수]] 상의 다양체로 확장되는지 여부를 조사하는 도구를 제공한다.<ref>{{서적 인용| last=Serre | first=Jean-Pierre | author-link=장피에르 세르 | title=Résumé des cours, 1965–66 | journal=Annuaire du Collège de France | location=Paris | year=1967 | pages=49–58}}</ref>

== 역사 ==
===19세기: 초기 산술기하학===
19세기 초, [[카를 프리드리히 가우스]]는 [[유리수]] 계수를 가진 [[동차다항식]] 방정식에 비영 유리해만 존재한다면 비영 [[정수]]해도 존재한다고 관찰했다.<ref>{{서적 인용|title=Diophantine Equations|last=Mordell|first=Louis J.|author-link=루이스 모델|year=1969|publisher=Academic Press|isbn=978-0125062503|page=1}}</ref>

1850년대에 [[레오폴트 크로네커]]는 [[크로네커-베버 정리]]를 공식화하고, [[Divisor (algebraic geometry)|인자]] 이론을 도입했으며, 수론과 [[대수학]] 사이에 수많은 다른 연결을 만들었다. 그는 이후 "[[크로네커의 청춘의 꿈|liebster Jugendtraum]]" ("가장 소중한 청춘의 꿈")을 제안했는데, 이는 후에 힐베르트가 수정된 형태로 [[힐베르트 문제|그의 열두 번째 문제]]로 제시했으며, 수론이 정수 상의 [[다항식환]]의 몫환으로만 작동하는 목표를 제시한다.<ref name="Princeton">{{서적 인용| last1 = Gowers| first1 = Timothy| last2 = Barrow-Green| first2 = June| last3 = Leader| first3 = Imre| title = The Princeton companion to mathematics| url = https://archive.org/details/princetoncompanio00gowe| year = 2008| publisher = [[프린스턴 대학교 출판부]]| isbn = 978-0-691-11880-2| pages = 773–774 }}</ref>

===20세기 초중반: 대수적 발전과 베유 추측===
1920년대 후반, [[앙드레 베유]]는 대수기하학과 수론 사이에 깊은 연결을 보여주었으며, 그의 박사 연구는 [[아벨 다양체]]의 유리점 집합이 [[유한생성 아벨 군]]임을 증명하는 [[모델-베유 정리]]로 이어졌다.<ref>A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p.&nbsp;281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers {{ISBN|0-387-90330-5}}.</ref>

대수기하학의 현대적 기초는 1930년대와 1940년대에 [[오스카 자리스키]] 등에 의해 [[가환대수학]]의 발전([[값매김 이론]]과 [[아이디얼]] 이론 포함)에 기반하여 개발되었다.<ref>{{서적 인용| last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=오스카 자리스키 | editor1-last=Abhyankar | editor1-first=Shreeram S. | editor1-link=Shreeram Shankar Abhyankar| editor2-last=Lipman | editor2-first=Joseph | editor2-link=Joseph Lipman| editor3-last=Mumford | editor3-first=David | editor3-link=데이비드 멈퍼드 | title=Algebraic surfaces | orig-year=1935 | url=https://books.google.com/books?id=d6Zzhm9eCmgC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=second supplemented | series=Classics in mathematics | isbn=978-3-540-58658-6 | year=2004 | mr=0469915}}</ref>

1949년, [[앙드레 베유]]는 유한체 상의 대수다양체의 [[국소 제타 함수]](local zeta-function)에 대한 획기적인 [[베유 추측]]을 제기했다.<ref>{{서적 인용| last1=Weil | first1=André | author1-link=앙드레 베유 | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4  | mr=0029393 | year=1949 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=55 | pages=497–508 | issue=5| doi-access=free }} Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil {{ISBN|0-387-90330-5}}</ref> 이 추측들은 대수기하학과 수론 사이의 틀을 제공하여 [[알렉산더 그로텐디크]]가 1950년대와 1960년대에 [[장피에르 세르]]와 함께 [[층 이론]]을, 그리고 나중에는 스킴 이론을 사용하여 기초를 재구성하도록 이끌었다.<ref>{{서적 인용| last1 = Serre | first1 = Jean-Pierre | year = 1955 | title = Faisceaux Algebriques Coherents | journal = The Annals of Mathematics | volume = 61 | issue = 2| pages = 197–278 | doi=10.2307/1969915| jstor = 1969915 }}</ref> [[버나드 드워크]]는 1960년에 네 가지 베유 추측 중 하나(국소 제타 함수의 유리성)를 증명했다.<ref>{{서적 인용| last1=Dwork | first1=Bernard | author1-link=버나드 드워크 | title=On the rationality of the zeta function of an algebraic variety | jstor=2372974 | mr=0140494 | year=1960 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=82 | pages=631–648 | doi=10.2307/2372974 | issue=3 | publisher=American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3}}</ref> 그로텐디크는 1965년까지 [[마이클 아틴]]과 [[장루이 베르디에]]와 함께 두 가지 베유 추측을 증명하기 위해 에탈 코호몰로지 이론을 개발했다.<ref name="grothendieck-cohomology">{{서적 인용| last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=알렉산더 그로텐디크 | title=Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958) | publisher=[[케임브리지 대학교 출판부]] | mr=0130879 | year=1960 | chapter=The cohomology theory of abstract algebraic varieties | pages=103–118|chapter-url=http://grothendieckcircle.org/}}</ref><ref>{{서적 인용| last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=알렉산더 그로텐디크 | title=Séminaire Bourbaki | chapter-url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__41_0 | publisher=[[Société Mathématique de France]] | location=Paris | mr=1608788 | year=1995 | volume=9 | chapter=Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L | pages=41–55|orig-year=1965 |ref= {{harvid|Grothendieck|1965}} }}</ref> 마지막 베유 추측(리만 가설의 유사체)은 1974년에 [[피에르 들리뉴]]에 의해 최종적으로 증명되었다.<ref>{{서적 인용| last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=피에르 들리뉴 | title=La conjecture de Weil. I | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 | mr=0340258 | year=1974 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | volume=43 | issn=1618-1913 | issue=1 | pages=273–307| doi=10.1007/BF02684373 }}</ref>

===20세기 중후반: 모듈러성, p-진 방법론 등의 발전===
1956년에서 1957년 사이에 [[다니야마 유타카]]와 [[시무라 고로]]는 [[타원 곡선]]을 [[모듈러 형식]]과 연결시키는 [[모듈러성 정리|다니야마-시무라 추측]] (현재는 모듈러성 정리로 알려짐)을 제기했다.<ref>{{서적 인용|last=Taniyama|first=Yutaka |journal=Sugaku|volume=7|page=269|year=1956|title=Problem 12|language=ja}}</ref><ref>{{서적 인용| last1=Shimura | first1=Goro | title=Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections | doi=10.1112/blms/21.2.186 | mr=976064 | year=1989 | journal=The Bulletin of the London Mathematical Society | issn=0024-6093 | volume=21 | issue=2 | pages=186–196| doi-access=free }}</ref> 이 연결은 궁극적으로 [[앤드루 와일스]]가 1995년에 개발한 [[Lift (mathematics)|모듈러성 리프팅]]의 대수기하학적 기법을 통해 수론의 [[페르마의 마지막 정리]]의 [[Wiles's proof of Fermat's Last Theorem|첫 번째 증명]]으로 이어졌다.<ref name="wiles1995">{{서적 인용|last=Wiles|first=Andrew|author-link=앤드루 와일스|year=1995|title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem|url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf|journal=Annals of Mathematics|volume=141|issue=3|pages=443–551|oclc=37032255|doi=10.2307/2118559|jstor=2118559|citeseerx=10.1.1.169.9076|access-date=2019-03-22|archive-date=2011-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20110510062158/http://math.stanford.edu/%7Elekheng/flt/wiles.pdf|url-status=dead}}</ref>

1960년대에 [[시무라 고로]]는 [[모듈러 곡선]]의 일반화로서 [[시무라 다양체]]를 도입했다.<ref>{{서적 인용|last=Shimura|first=Goro|title=The Collected Works of Goro Shimura|publisher=Springer Nature|isbn=978-0387954158|year=2003}}</ref> 1979년 이래로 시무라 다양체는 [[랭글랜즈 프로그램]]에서 추측을 시험하기 위한 자연스러운 예제 영역으로서 중요한 역할을 해왔다.<ref>{{서적 인용|title=Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics|publisher=Chelsea Publishing Company|editor-last1=Borel|editor-first1=Armand|editor-link1=아르망 보렐|editor-last2=Casselman|editor-first2=William|editor-link2=빌 캐설먼 (수학자)|year=1979|volume=XXXIII Part 1|last=Langlands|first=Robert|author-link=로버트 랭랜즈|chapter-url=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/pdf/autoreps-ps.pdf|chapter=Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen|pages=205–246}}</ref>

1977년과 1978년 논문에서 [[배리 메이저]]는 [[꼬임 추측]]을 증명하여 유리수 상의 타원 곡선의 가능한 꼬임 부분군에 대한 완전한 목록을 제공했다. 메이저의 이 정리의 첫 번째 증명은 특정 [[모듈러 곡선]] 상의 유리점에 대한 완전한 분석에 의존했다.<ref>{{서적 인용|last=Mazur|first=Barry|author-link=배리 메이저|title=Modular curves and the Eisenstein ideal|volume=47|issue=1|pages=33–186|year=1977|doi=10.1007/BF02684339|mr=0488287|journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1977__47__33_0/}}</ref><ref>{{서적 인용|last=Mazur|first=Barry|title=Rational isogenies of prime degree|volume=44|issue=2|pages=129–162|year=1978|doi=10.1007/BF01390348|mr=0482230|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|others=with appendix by [[Dorian Goldfeld]]|bibcode=1978InMat..44..129M}}</ref> 1996년에는 [[로이크 메렐]]에 의해 꼬임 추측의 증명이 모든 수체로 확장되었다.<ref>{{서적 인용| last1=Merel | first1=Loïc | author1-link=로이크 메렐 | title=Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres | trans-title=Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields | language=fr | doi=10.1007/s002220050059 |mr=1369424 | year=1996 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=124 | issue=1 | pages=437–449 | bibcode=1996InMat.124..437M }}</ref>

1983년에 [[게르트 팔팅스]]는 [[팔팅스의 정리|모델 추측]]을 증명하여, 종수가 1보다 큰 곡선은 유한개의 유리점만을 가진다는 것을 보여주었다 (모델-베유 정리는 유리점 집합의 유한 생성만을 증명하며 유한성을 직접 증명하지 않는다).<ref>{{서적 인용|author-link=게르트 팔팅스| last=Faltings |first=Gerd |year=1983 |title=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=73 |issue=3 |pages=349–366 |doi=10.1007/BF01388432 | mr=0718935 | trans-title=Finiteness theorems for abelian varieties over number fields | language=de | bibcode=1983InMat..73..349F}}</ref><ref>{{서적 인용|last=Faltings |first=Gerd |year=1984 |title=Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=75 |issue=2 |pages=381 |doi=10.1007/BF01388572 | mr=0732554 | language=de |doi-access=free }}</ref>

2001년, [[Local Langlands conjectures#Local Langlands conjectures for GLn|GL<sub>n</sub>에 대한 국소 랭글랜즈 추측]]의 증명은 특정 시무라 다양체의 기하학에 기반을 두었다.<ref>{{서적 인용|  author1-link=Michael Harris (mathematician)| last1=Harris | first1=Michael |  author2-link=리처드 로런스 테일러| last2=Taylor | first2=Richard | title=The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties | url=https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC | publisher=[[프린스턴 대학교 출판부]] | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-09090-0 | mr=1876802 | year=2001 | volume=151}}</ref>

2010년대에 [[페터 숄체]]는 p-진 체 상의 산술기하학에서 [[퍼펙토이드]] 공간과 새로운 코호몰로지 이론을 개발했으며, 이는 [[갈루아 표현]]과 [[가중치 단조성 추측]]의 특정 사례에 적용되었다.<ref>{{웹 인용|title=Fields Medals 2018 |url=https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2018 |publisher=[[국제 수학 연맹]] |access-date=2 August 2018}}</ref><ref>{{웹 인용|last=Scholze|first=Peter|url=http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/CDM.pdf|title=Perfectoid spaces: A survey|website=University of Bonn|access-date=4 November 2018}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[아나벨 기하학]]
* [[프로베니오이드]]
* [[산술 역학]]
* [[아벨 다양체의 산술]]
* [[버치-스위너턴다이어 추측]]
* [[대수 곡선의 모듈라이 공간]]
* [[지겔 모듈러 다양체]]
* [[지겔의 정수점 정리]]
* [[범주론]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{수론|expanded}}
{{수학 분야| state=collapsed}}
{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:산술기하학| ]]