선택 공리 문서 원본 보기

[[파일:Axiom of choice.svg|섬네일|오른쪽|선택 공리의 형상화. 선택 함수는 각 집합 <math>S_i</math>를 그 속의 원소 <math>x_i\in S_i</math>로 대응시킨다.]]
[[집합론]]에서 '''선택 공리'''(選擇公理, {{llang|en|axiom of choice}}, 약자 AC)는 공집합이 아닌 집합에서 한 원소를 고를 수 있으며, 또한 이를 무한 번 반복할 수 있다는 [[공리]]이다. 직관적으로 자연스러워 보이지만, 비직관적인 결과를 함의한다.

== 정의 ==
[[집합족]] <math>\{S_i\}_{i\in I}</math> 위의 '''선택 함수'''(選擇函數, {{llang|en|choice function}})는 다음 성질을 만족시키는 [[함수]] <math>f</math>이다.
:<math>f\colon I\to\bigcup_{i\in I}S_i</math>
:<math>\forall i\in I\colon f(i)\in S_i</math>
만약 <math>\varnothing\in\{S_i\}_{i\in I}</math>라면, <math>\{S_i\}_{i\in I}</math>는 물론 선택 함수를 가질 수 없다. '''선택 공리''' <math>\mathsf{AC}</math>에 의하면, 공집합을 포함하지 않는 모든 집합족은 선택 함수를 갖는다.

=== 약화된 형태 ===
임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\mathsf{AC}_\kappa</math>는 "크기가 <math>\kappa</math> 이하인, 공집합을 포함하지 않는 집합족은 선택 함수를 갖는다"는 명제이다. 특히, <math>\kappa=\omega</math>일 때 <math>\mathsf{AC}_\omega</math>를 '''가산 선택 공리'''(可算選擇公理, {{llang|en|axiom of countable choice}})라고 한다.

임의의 [[집합]] <math>S</math> 및 [[이항 관계]] <math>R\subseteq S^2</math>가 주어졌고, 또한 이들이 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.
* <math>S\ne\varnothing</math>
* 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>(s,t)\in R</math>인 <math>t\in S</math>가 존재한다.
그렇다면, '''의존적 선택 공리'''(依存的選擇公理, {{llang|en|axiom of dependent choice}}) <math>\mathsf{DC}</math>에 따르면 다음 성질을 만족시키는 [[수열|열]]
:<math>s\colon\mathbb N\to S</math>
:<math>i\mapsto s_i</math>
이 존재한다.
* 임의의 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>(s_i,s_{i+1})\in R</math>

=== 대역적 선택 공리 ===
집합론의 언어 <math>\mathcal L_\in</math>에 1항 연산 <math>\tau</math>를 추가하자. 그렇다면, 이 언어 <math>\mathcal L_{\in,\tau}</math>에서, '''대역적 선택 공리'''(大域的選擇公理, {{llang|en|axiom of global choice}})는 다음과 같은 문장이다.
:<math>\forall x\colon\left(\exists y\colon y\in x\implies \tau(x)\in x\right)</math>
이 경우, <math>\tau</math>를 '''선택 연산'''({{llang|en|choice operator}})이라고 한다.

대역적 선택 공리는 선택 공리를 함의하며, ZF + 대역적 선택 공리는 ZFC의 [[보존적 확장]]이다.

== 성질 ==
집합족 <math>(X_i)_{i\in I}</math>가 주어졌으며, 각 <math>X_i</math> 위에 [[정렬 순서]] <math>\le_i</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선택 함수
:<math>f\colon I\to\bigcup_{i\in I}X_i</math>
를 다음과 같이 자명하게 정의할 수 있다.
:<math>f(i)=\min X_i</math>
특히, 만약 <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}X_i</math> 위에 정렬 순서가 주어졌다면, 이는 각 <math>X_i</math>에 대하여 제한할 수 있으며, 이에 따라 선택 함수를 정의할 수 있다.

=== 함의 관계 ===
[[체르멜로-프렝켈 집합론]] 아래, 임의의 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\mathsf{AC}_n</math>을 증명할 수 있다.
:<math>\forall n\in\mathbb N\colon(\mathsf{ZF}\vdash\mathsf{AC}_n)</math>
즉, 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 유한 개의 선택을 할 수 있지만, 무한 개의 선택은 (체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면) 불가능하다.

체르멜로-프렝켈 집합론 아래, 선택 공리는 의존적 선택 공리를 함의하며, 의존적 선택 공리는 가산 선택 공리를 함의한다.
:<math>\mathsf{ZF}\vdash\left(\mathsf{AC}\implies\mathsf{DC}\implies\mathsf{AC}_\omega\right)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\mathsf{DC}\implies\mathsf{AC}_\omega</math>):'''
<div class="mw-collapsible-content">
집합족 <math>(X_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 주어졌다고 하자. 집합
:<math>X=\bigsqcup X_i</math>
위에 다음과 같은 [[이항 관계]] <math>R\subseteq X^2</math>를 정의한다.
:<math>(x,y)\in R\iff(\exists i\in\mathbb N\colon x\in X_i\land y\in X_{i+1})</math>
그렇다면, <math>\mathsf{DC}</matH>에 의하여 열
:<math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math>
:<math>\exists k\in\mathbb N\forall i\in\mathbb N\colon x_i\in X_{i+k}</math>
가 존재한다. 따라서 <math>\mathsf{AC}_k</math>를 사용하여
:<math>y_i\in X_i\qquad(i=0,1,\dots,k)</math>
를 고른 뒤
:<math>y_{i+k}=x_i\qquad(i\in\mathbb N)</math>
이라고 정의하면, <math>y_i\in X_i\forall i\in\mathbb N</math>이다. 따라서 <math>i\mapsto y_i</math>는 가산 무한 집합족 <math>(X_i)_{i\in\mathbb N}</math>의 선택 함수이다.
</div></div><div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\mathsf{AC}\implies\mathsf{DC}</math>):'''
<div class="mw-collapsible-content">
집합 <math>X</math> 위의 이항 관계 <math>R\subseteq X^2</math>가 주어졌다고 하고, 또한
:<math>\forall x\in X\exists y\in X\colon (x,y)\in R</math>
가 성립한다고 하자. 그렇다면, 선택 공리에 의하여 [[집합족]]
:<math>\{\{y\in X\colon (x,y)\in R\}\}_{x\in X}</math>
의 선택 함수
:<math>f\colon X\to\{\{y\in X\colon (x,y)\in R\}\}_{x\in X}</math>
:<math>\forall x\in X\colon f(x)\in \left\{y\in X\colon (x,y)\in R\right\}</math>
가 존재한다. 임의의 원소 <math>x_0\in X</math>를 고르고
:<math>x_i=\overbrace{(f\circ f\circ\cdots\circ f)}^i(x_0)</math>
을 정의하면, 이는 의존적 선택 공리에 등장하는 조건을 만족시킨다.
</div></div>

=== 증명 이론적 성질 ===
만약 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZF)이 일관적이라면, 선택 공리는 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 즉, 다음을 보일 수 있다.
:<math>\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})</math>
:<math>\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZF\lnot C})</math>

=== 모형 이론적 성질 ===
[[구성 가능 전체]]에서는 선택 공리가 성립한다.
:<math>\mathsf{ZF}\vdash(V=L\implies\mathsf{AC})</math>
즉, 체르멜로-프렝켈 집합론의 [[모형 (논리학)|모형]] <math>M</math>이 주어졌을 때, <math>M</math> 속의 [[구성 가능 전체]] <math>L^M\subseteq M</math>은 ZFC의 모형을 이룬다.

반면, [[강제법]]을 사용하여 선택 공리가 실패하는 모형들을 구성할 수 있다.

=== 선택 공리를 함의하는 명제 ===
체르멜로-프렝켈 집합론 아래, 다음 명제들은 선택 공리를 함의한다.
* [[구성 가능성 공리]] <math>V=L</math>
* [[일반화 연속체 가설]]

=== 선택 공리와 동치인 명제 ===
[[집합족]] <math>\mathcal S</math>가 다음 두 조건을 만족시키면, '''유한 지표 집합족'''(有限指標集合族, {{llang|en|family of sets of finite character}})이라고 한다.
* 임의의 <math>S\in\mathcal S</math>에 대하여, <math>S</math>의 모든 유한 부분 집합은 <math>\mathcal S</math>의 원소이다.
* 임의의 집합 <math>S</math>에 대하여, 만약 <math>S</math>의 모든 유한 부분 집합이 <math>\mathcal S</math>의 원소라면, <math>S\in\mathcal S</math>이다.

체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하면, 선택 공리는 수많은 [[동치]] 명제들을 가지며, 다음과 같다. 즉,
:<math>\mathsf{ZF}\vdash\mathsf{AC}\iff A</math>
인 명제 <math>A</math>의 예는 다음을 들 수 있다.
* 공집합을 포함하지 않는 [[집합족]] <math>\mathcal S</math>에 대하여, <math>\prod\mathcal S\ne\varnothing</math>이다.
* [[초른 보조정리]]
* [[정렬 정리]]
* [[티호노프 정리]]
* ('''타르스키 정리''', {{llang|en|Tarski theorem}}) 임의의 무한 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\kappa=\kappa^2</math>이다.<ref name="Tarski">{{저널 인용|저자링크=알프레트 타르스키|last=Tajtebaum-Tarski|first=A.|title=Sur quelques théorèmes qui équivalent à l’axiome du choix|journal=Fundamenta Mathematicae|volume=5|날짜=1924|pages=147-154|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv5i1p18bwm|언어=fr|확인날짜=2014-12-26|보존url=https://web.archive.org/web/20141226131413/http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv5i1p18bwm|보존날짜=2014-12-26|url-status=dead}}</ref>
* (기수의 비교 가능성) 임의의 두 기수 <math>\kappa_1</math>, <math>\kappa_2</math>에 대하여, <math>\kappa_1=\kappa_2</math>이거나, <math>\kappa_1<\kappa_2</math>이거나, <math>\kappa_1>\kappa_2</math>이다.
* ('''타이히뮐러-투키 보조정리''', {{llang|en|Teichmüller–Tukey lemma}}) 공집합이 아닌 모든 유한 지표 집합족은 (<math>\subseteq</math>에 따른) [[극대 원소]]를 갖는다.
* 모든 [[벡터 공간]]은 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 갖는다.
* [[자명환]]이 아닌 (단위원을 갖는) [[환 (수학)|환]]은 [[극대 아이디얼]]을 갖는다.
* 망각 함자 <math>\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}</math>의 [[상 (수학)|상]]은 [[공집합]]이 아닌 모든 집합의 모임이다.
* (무한군에 대한) [[라그랑주 정리 (군론)]]
* 모든 [[연결 그래프]]는 [[생성나무]]를 갖는다.

=== 선택 공리로부터 함의되는 명제 ===
만약 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]이 일관적이라면 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]으로 다음 정리들을 증명할 수 없지만, 선택 공리를 추가하면 증명할 수 있다.
* [[괴델의 완전성 정리]]
* 모든 [[체 (수학)|체]]는 [[대수적 폐포]]를 갖는다.
* <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb C</math>는 덧셈군으로서 서로 [[동형]]이다.
* ([[닐센-슈라이어 정리]]) [[자유군]]의 모든 [[부분군]]은 [[자유군]]이다.
* [[한-바나흐 정리]]
* [[베르 범주 정리]]
* [[바나흐-타르스키 역설]]
* [[르베그 가측 집합]]이 아닌 실수 집합이 존재한다.
그러나 선택 공리를 의존적 선택 공리(또는 가산 선택 공리)로 약화시킨다면, 이들 가운데 상당수는 증명 불가능하다. 예를 들어, 의존적 선택 공리는 [[르베그 측도|르베그 가측 집합]]이 아닌 실수 집합의 존재를 증명할 수 없다.

가산 선택 공리만으로 대부분의 [[해석학 (수학)|해석학]]을 전개할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Choice principles in elementary topology and analysis|이름=Horst|성=Herrlich|저널=Comment. Math. Univ. Carolin.|권=38|호=3|날짜=1997|언어=en|쪽=545–552|url=http://www.emis.de/journals/CMUC/pdf/cmuc9703/herrli.pdf|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
공식적인 형식화가 없었음에도 불구하고 19세기 말까지 선택 공리는 암묵적으로 수학자들 사이에서 사용되어 왔다. 예를 들어, 집합 <math>X</math>가 공집합이 아닌 집합만을 포함한다고 했을 때, 수학자들은 종종 “모든 <math>X</math>에 포함된 (집합) <math>s</math>에 대해, <math>F(s)</math>를 <math>s</math>의 원소라고 하자” 라고 기술하곤 했다. 일반적으로 (함수) <math>F</math> 가 선택 공리 없이 존재할 수 있음을 증명하기란 불가능했고, 그로 인해 체르멜로 이전까지는 이를 심각한 문제로 여기지 않았다.

한편, 모든 함수가 선택 공리를 필요로 하지는 않는다. 유한 집합 <math>X</math>의 경우, 선택 공리는 다른 집합론의 공리들로부터 도출될 수 있다. 각각에 적어도 하나의 물건이 담긴 (유한한) 여러 개의 상자들을 상상 해 보자. 이때 우리는 각 상자에서 정확히 하나의 물건을 선택할 수 있다. 예를 들자면 이런 식이다. 첫 번째 상자에서 물건 한 개를 선택하고, 두 번째 상자로 옮겨 여기서도 물건 한 개를 선택한다. 그 후 세 번째 상자에서도 물건을 하나 선택하고, 이런 방식을 유한한 횟수로 반복해서, 마지막 상자에서 물건을 하나 선택하는 것으로 이 과정을 마칠 수 있다. 이 때, 각 상자에서 하나 씩의 물건을 선택함으로써 보여지는 상자-물건의 관계를 선택 함수에 해당한다고 할 수 있다. 그러나 이런 방법은 공집합이 아닌 집합의 모든 가산 집합족에 대해서도 선택 함수가 존재한다는, 가산 선택 공리를 증명하는 데에는 사용될 수 없다. 같은 방법이 공집합이 아닌 집합들의 무한열에 적용될 경우, 각각의 유한한 단계에서는 함수가 정의되나 전체 [[집합족]]에 대한 함수가 정의되는 단계가 존재하지 않게 된다. 결과적으로 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 체계 아래서 선택 공리 없이는 어떤 “극한” 선택 함수도 구성할 수 없게 되는 것이다.

[[게오르크 칸토어]]는 선택 공리와 동치인 [[정렬 정리]]가 증명이 필요 없을 정도로 자명한 "사고 법칙"({{llang|de|Denkgesetz|뎅크게제츠}})이라고 여겼다. 그러나 다른 수학자들은 이 "사고 법칙"에 대하여 회의적이었다. 1904년에 헝가리의 수학자 [[쾨니그 줄러]]({{llang|hu|Kőnig Gyula}})는 정렬 정리를 반증하였다고 발표하였다. 그러나 몇 주 뒤 [[펠릭스 하우스도르프]]가 이 "반증"의 오류를 지적하였다.

1904년에 [[에른스트 체르멜로]]는 [[정렬 정리]]를 보다 더 자명한 원리로부터 유도하기 위하여 선택 공리를 도입하였고, 이를 통해 [[정렬 정리]]를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ernst|성=Zermelo|저자링크=에른스트 체르멜로|제목=Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe)|저널=Mathematische Annalen|권=59|호=4|쪽=514–516|날짜=1904|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002260018|doi=10.1007/BF01445300|issn=0025-5831|jfm=35.0088.03|언어=de}}</ref>

1923년에 [[다비트 힐베르트]]는 일종의 선택 연산을 포함한 논리 체계를 제시하였다.<ref>{{저널 인용|성=Hilbert|이름=David|저자링크=다비트 힐베르트|날짜=1923|제목=Die logischen Grundlagen der Mathematik|저널=Mathematische Annalen|권=88|쪽=151-165|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002269139|issn=0025-5831|jfm=48.1120.01|언어=de|확인날짜=2016-08-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160917103919/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002269139|보존날짜=2016-09-17|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Hilbert|이름=David|저자링크=다비트 힐베르트|날짜=1925|제목=Über das Unendliche|저널=Mathematische Annalen|권=95|쪽=161–190|jfm=51.0044.02|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002270641|언어=de|확인날짜=2016-08-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160917105619/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002270641|보존날짜=2016-09-17|url-status=dead}}</ref> 힐베르트는 이 기호를 <math>\epsilon</math>이라고 표기하였다. 예를 들어, 술어 <math>P(x)</math>에 대하여 <math>\epsilon(P)</math>는 (만약 <math>\exists xP(x)</math>라면) <math>P(\epsilon(P))</math>를 만족시키는 집합이다. 이와 유사하게, [[니콜라 부르바키]]는 1954년에 집합론 교재에서 선택 연산 <math>\tau</math>를 사용하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Éléments de mathematique. Théorie des ensembles. Chapitre 1. Description de la mathématique formelle|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키|날짜=1954|판=1|출판사=Hermann et compagnie|zbl=0055.27902|언어=fr}}</ref>

1924년에 [[알프레트 타르스키]]는 타르스키 정리(선택 공리가 모든 무한 집합 <math>X</math>에 대하여 <math>|X|=|X^2|</math>인 것과 동치)를 프랑스의 한 유명 저널에 출판하려 하였는데, 이때 원고를 심사한 [[모리스 르네 프레셰]]는 "자명하게 참인 두 명제의 동치는 출판될 가치가 없다"고 답변하였고, 반면 같은 원고를 심사한 [[앙리 르베그]]는 "자명하게 거짓인 두 명제의 동치는 출판될 가치가 없다"고 답변하였다고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=A system of axioms of set theory for the rationalists|이름=Jan|성=Mycielski|저자링크=얀 미치엘스키|url=http://www.ams.org/notices/200602/fea-mycielski.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2006-02|권=53|호=2|쪽=206–213|zbl=1102.03050|언어=en}}</ref>{{rp|209}} 타르스키는 결국 논문을 타 저널에 출판하였다.<ref name="Tarski"/>

1938년에 [[쿠르트 괴델]]은 [[내부 모형]] 이론을 사용하여, 선택 공리가 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 일관적임을 보였다.<ref>{{저널 인용 | doi = 10.1073/pnas.24.12.556 | 저자링크=쿠르트 괴델 | 이름=Kurt | 성=Gödel | 제목 = The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis | 저널 = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | 날짜 = 1938  | pmid = 16577857  | pmc = 1077160  | jstor=87239 | zbl = 0020.29701 | jfm = 64.0035.01 |언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Ruelle|이름=David|저자링크=다비드 뤼엘|제목=The Mathematician's Brain|url=https://archive.org/details/mathematiciansbr0000ruel|날짜=2007|출판사=Princeton University Press|isbn=978-0-691-12982-2}}</ref> 구체적으로, [[구성 가능 전체]] <math>L</math>은 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 [[구조 (논리학)|모형]]이며, 이 모형에서는 선택 공리가 성립한다. [[폴 코언]]은 [[강제법]]을 사용하여 선택 공리의 부정이 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.

의존적 선택 공리는 1942년에 [[파울 베르나이스]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|mr=6333 |last=Bernays|first= Paul | 저자링크=파울 베르나이스 |title=A system of axiomatic set theory. Part III. Infinity and enumerability. Analysis |journal=The Journal of Symbolic Logic |volume=7|호=2|날짜=1942-06|pages= 65–89|jstor=2266303|doi=10.2307/2266303|issn=0022-4812|zbl=0061.09201|언어=en}}</ref>

현재까지도, 많은 수학자들은 선택 공리에 대하여 회의적인 입장을 보인다. 미국의 수학자 제리 로이드 보나({{llang|en|Jerry Lloyd Bona}}, 1945~)는 1977년에 이에 대하여 다음과 같이 농담하였다.
{{인용문2|선택 공리는 당연히 참이고, [[정렬 정리]]는 당연히 거짓이고, [[초른 보조정리]]는 글쎄……?<br>
{{lang|en|The Axiom of Choice is obviously true; the Well Ordering principle is obviously false; and who can tell about Zorn’s lemma?}}|<ref>{{서적 인용|제목=Handbook of analysis and its foundations|이름=Eric|성=Schechter|url=http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/|doi=10.1016/B978-0-12-622760-4.50033-9|출판사=Academic Press|날짜=1997|zbl=0943.26001|언어=en|확인날짜=2015-01-04|보존url=https://web.archive.org/web/20150307061351/http://www.math.vanderbilt.edu/%7Eschectex/ccc/|보존날짜=2015-03-07|url-status=dead}}</ref>{{rp|145, §6.21}}}}
이는 위 세 명제가 [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 아래 서로 동치이지만 직관적으로는 그 참·거짓 여부가 모순되게 보인다는 것에 대한 농담이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|last=Herrlich |first=Horst|title=Axiom of choice |publisher=Springer |날짜=2006 |series=Lecture Notes in Mathematics | 권=1876 |isbn=978-3-540-30989-5| doi=10.1007/11601562 | issn=0075-8434 | zbl=1102.03049 | 언어=en}}
* {{서적 인용|last=Howard|first=Paul|author2-first=Jean E.|author2-last=Rubin|title=Consequences of the axiom of choice|날짜=1998|publisher=American Mathematical Society|series=Mathematical Surveys and Monographs|volume=59|isbn=978-0-8218-0977-8|url=http://bookstore.ams.org/surv-59|언어=en|확인날짜=2016-08-05|보존url=https://web.archive.org/web/20161011045947/http://bookstore.ams.org/surv-59|보존날짜=2016-10-11|url-status=dead}}
* {{서적 인용|last=Rubin|first=Herman|author2-first=Jean E. |author2-last=Rubin|title= Equivalents of the axiom of choice II |날짜=1985|publisher=Elsevier|isbn=9780444877086|doi=10.1016/S0049-237X(08)70285-4|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=116|issn=0049-237X|언어=en}}
* {{서적 인용 | last = Jech | first = Thomas | isbn = 978-0-486-46624-8 | 날짜=1973 | title = The axiom of choice | zbl =0259.02051 | 총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics | 권=75| 출판사=North-Holland | 언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Gregory H.|성=Moore|제목=Zermelo’s axiom of choice: its origins, development and influence|출판사=Springer |날짜=1982| doi =  10.1007/978-1-4613-9478-5 | 총서= Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | 권=8|isbn=978-1-4613-9480-8|issn= 0172-570X|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Per|성=Martin-Löf|장=100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it?|제목=Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?|editor1-first= Sten |editor1-last=Lindström|editor2-first=Erik|editor2-last=Palmgren|editor3-first= Krister|editor3-last=Segerberg|editor4-first=Viggo|editor4-last=Stoltenberg-Hansen | 날짜=2008 | isbn=1-4020-8925-2|doi=10.1007/978-1-4020-8926-8_10|장url=https://people.kth.se/~kurlberg/colloquium/2005/MartinLooef.pdf|언어=en}}
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== 외부 링크 ==
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* {{nlab|id=axiom of choice|title=Axiom of choice}}
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