설리번 대수 문서 원본 보기

[[호모토피 이론]]에서 '''설리번 대수'''(Sullivan代數, {{llang|en|Sullivan algebra}})는 특별한 형태의 유리수 계수 [[가환 미분 등급 대수]]이다. 이를 통하여, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호모토피 군]]에서, [[꼬임 부분군]]을 제외한 나머지 부분(즉, [[유리수]]와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 '''유리수 호모토피 이론'''(有理數homotopy理論, {{llang|en|rational homotopy theory}})이라고 한다.<ref>{{서적 인용|이름=Philip Augustus|성=Griffiths|저자링크=필립 오거스터스 그리피스|이름2=John Willard|성2=Morgan|제목=Rational homotopy theory and differential forms|출판사=Birkhäuser|날짜=1981|mr=0641551|zbl=0474.55001|언어=en}}</ref><ref name="BottTu"/>

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 '''설리번 대수''' <math>(B,\le,\deg,\mathrm d)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="Hess"/>{{rp|Definition 1.10}}
* [[정렬 집합]] <math>(B,\le)</math>. 이로부터 <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V=\operatorname{Span}_KB</math>을 정의할 수 있다.
* [[함수]] <math>\deg\colon B\to\mathbb N</math>. 이로부터 [[등급 벡터 공간]] <math>\textstyle V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}V_i</math>, <math>\textstyle V_i=\operatorname{Span}\{b\in B\colon\deg b=i\}</math>을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 [[외대수]] <math>\textstyle\bigwedge(V)</math>를 정의할 수 있으며, 이는 가환 <math>K</math>-[[등급 대수]]를 이룬다.
* 함수 <math>\textstyle\mathrm d\colon B\to\bigwedge(V)</math>. 이는 선형성 및 [[곱 규칙]]을 사용하여 [[미분 대수|미분 연산]] <math>\textstyle\mathrm d\colon \bigwedge(V)\to \bigwedge(V)</math>로 연장된다.
이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>b\in B</math>에 대하여, <math>\textstyle\mathrm db\in\bigwedge(\operatorname{Span}_K\{c\in B\colon c<b\})</math>이다.
* <math>\textstyle(\bigwedge(V),\wedge,\mathrm d)</math>는 [[가환 미분 등급 대수]]를 이룬다.

설리번 대수 <math>(B,\le,\deg,\mathrm d)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''최소 설리번 대수'''(最少Sullivan代數, {{llang|en|minimal Sullivan algebra}})라고 한다.
:<math>\deg\colon(B,\le)\to(\mathbb N,\le)</math>는 [[증가 함수]]이다. 즉, 임의의 <math>b,c\in B</math>에 대하여 <math>b\le c</math>라면 <math>\deg b\le \deg c</math>이다.<ref name="Hess">{{저널 인용|이름=Kathryn|성=Hess|제목=Rational homotopy theory: a brief introduction|arxiv=math/0604626|날짜=2006|bibcode=2006math......4626H|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 1.10}}

=== 상대 설리번 대수 ===
보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다.

체 <math>K</math> 위의 [[가환 미분 등급 대수]] <math>A</math> 위의 '''상대 설리번 대수'''(相對Sullivan代數, {{llang|en|relative Sullivan algebra}})는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[정렬 집합]] <math>(B,\le)</math>. 이로부터 <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V=\operatorname{Span}_KB</math>을 정의할 수 있다.
* [[함수]] <math>\deg\colon B\to\mathbb N</math>. 이로부터 [[등급 벡터 공간]] <math>\textstyle V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}V_i</math>, <math>\textstyle V_i=\operatorname{Span}\{b\in B\colon\deg b=i\}</math>을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 [[외대수]] <math>\textstyle\bigwedge(V)</math>를 정의할 수 있으며, 이는 가환 <math>K</math>-[[등급 대수]]를 이룬다.
* 함수 <math>\textstyle\mathrm d\colon B\to A\otimes_K\bigwedge(V)</math>. 이를 선형성 및 [[곱 규칙]]에 따라 <math>\textstyle\mathrm d\colon A \otimes_K \bigwedge(V) \to A \otimes_K \bigwedge(V)</math>로 연장시킬 수 있다.
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>a\in A</math> 및 <math>b\in B</math>에 대하여, <math>\textstyle\mathrm db\in A\otimes_K\bigwedge(\operatorname{Span}_K\{c\in B\colon c<b\})</math>이다.
* <math>\textstyle(A\otimes_K\bigwedge(V),\wedge,\mathrm d)</math>는 [[가환 미분 등급 대수]]를 이룬다.

이 정의에서, 만약 <math>\deg\colon (B,\le)\to (\mathbb N,\le)</math>가 [[증가 함수]]라면, 이를 '''최소 상대 설리번 대수'''(最小相對Sullivan代數, {{llang|en|minimal relative Sullivan algebra}})라고 한다.

설리번 대수는 <math>(K,\mathrm d=0)</math> 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 <math>(K,\mathrm d=0)</math> 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.

== 연산 ==
[[가환 미분 등급 대수]] <math>A</math>에 대한 임의의 상대 설리번 대수 <math>(B,\le,\deg,\mathrm d)</math>에 대하여, 임의의 <Math>b\in B</math>에 대하여, <math>B'=\{b'\in B\colon b' < b\}</math>를 정의하면, <math>(B',\le\restriction B'^2,\deg\restriction B', \mathrm d\restriction B')</math> 역시 <math>A</math> 위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서 <math>\restriction</math>은 함수의 제한을 뜻한다.)

또한, 만약 <math>B</math>가 최소 상대 설리번 대수라면 <math>B'</math> 역시 최소 상대 설리번 대수이다.

== 성질 ==
=== 낮은 차수가 자명한 설리번 대수 ===
[[집합]] <math>B</math> 및 함수
:<math>\deg\colon B\to\mathbb N</math>
및 임의의 함수
:<math>\mathrm d\colon B\to V=\bigwedge(\operatorname{Span}_KB)</math>
가 주어졌다고 하자. 이는 [[곱 규칙]]을 사용하여
:<math>\mathrm d\colon V\to V</math>
로 연장시킬 수 있다. <math>(V,\mathrm d,\wedge)</math>가 [[미분 등급 대수]]를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Hess"/>{{rp|Remark 1.11}}
* 만약 <math>\forall b\in B\colon \deg b\ge2</math>라면, <math>B</math> 위에는 항상 <math>(B,\le,\deg,\mathrm d)</math>가 설리번 대수가 되게 하는 [[정렬 순서]] <Math>\le</math>를 부여할 수 있다.
* 만약 <math>\forall b\in B\colon \deg b\ge2</math>이며, 임의의 <Math>b\in B</math>에 대하여 <math>\mathrm db\in\textstyle\bigoplus_{n\ge2}(\operatorname{Span}_KB)^{\wedge n}</math>이라면 (즉, <Math>\mathrm db</math>가 길이 2 이상의 문자열들의 [[선형 결합]]이라면), <math>B</math> 위에는 항상 <math>(B,\le,\deg,\mathrm d)</math>가 최소 설리번 대수가 되게 하는 [[정렬 순서]] <Math>\le</math>를 부여할 수 있다.

또한, 만약 <math>\forall b\in B\colon\deg b\ge2</math>일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 [[전단사]]로 대응한다.

=== 위상 공간의 설리번 대수 ===
임의의 [[단체 복합체]](와 [[호모토피 동치]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]) <math>X</math>에 대하여, [[단체 집합|유리수 계수 다항식 미분 형식]]의 설리번 대수 <math>A_{\text{PL}}(X)</math>를 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 매우 큰 설리번 대수이지만, 이에 대한 최소 설리번 대수는 쉽게 계산하고 다룰 수 있다. '''형식적 공간'''({{llang|en|formal space}})은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 [[단체 복합체]]와 [[호모토피 동치]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류들은 위상 공간의 '''유리수 호모토피 동치'''({{llang|en|rational homotopy equivalence}})와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.

=== 위상 공간의 호모토피 군 ===
[[단체 복합체]]와 [[호모토피 동치]]인 위상 공간 <math>X</math>의 [[단체 집합|유리수 계수 다항식 미분 형식 대수]]가 설리번 대수 <math>(B,\le,\deg,\mathrm d)</math>와 유사동형이라고 하자. 또한, <math>X</math>가 [[멱영 공간]]이라고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\pi_i(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\cong \operatorname{Span}_{\mathbb Q} \deg^{-1}(i)</math>
즉, <math>X</math>의 <math>i</math>차 호모토피 군의 계수는 차수 <Math>i</math>를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.

=== 이분율 ===
코호몰로지
:<math>\bigoplus_i\operatorname H^i(X)</math>
의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수 <math>X</math>는 다음과 같이 두 종류로 분류될 수 있다.
* '''타원형'''({{llang|en|elliptic}}): <math>\textstyle\dim\bigoplus_i\pi_i(X) <\infty</math>
* '''쌍곡형'''({{llang|en|hyperbolic}}): <math>\textstyle\dim\bigoplus_i\pi_i(X) =\infty</math>

타원형 최소 설리번 대수 <math>X</math>에 대하여, 그 생성원의 차수들이
:<math>2a_1,2a_2,\dotsc,2a_p</math>
및
:<math>2b_1-1,2b_2-2,\dotsc,2b_q-1</math>
라고 하자. 즉, <Math>p</math>개의 짝수 차수 생성원과 <Math>q</math>개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Hess"/>{{rp|Theorem 2.27}}
:<math>\sum_i(2b_i-1) - \sum_j(2a_j-1) = \operatorname{fdim}X</math>
:<math>\sum_j a_j \le \frac12 \operatorname{fdim}X</math>
:<math>\sum_i(2b_i-1) \le 2(\operatorname{fdim}X) - 1</math>
:<math>p \le q</math>
여기서
:<math>\operatorname{fdim}X = \max\{n \in\mathbb N\colon \operatorname H^n(X) \ne 0\}</math>
은 <Math>X</math>의 '''형식적 차원'''({{llang|en|formal dimension}})이다.

쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여, 다음이 성립한다.
* [[호모토피 군]]들의 차원은 기하 수열 이상으로 증가한다. 즉, <math>\forall n\ge N\colon\sum_i^n \pi_n(X) \ge C^n</math>이 되는 실수 <math>C>1</math> 및 자연수 <math>N\in\mathbb N</math>이 존재한다.<ref name="Hess"/>{{rp|Theorem 2.33}}
* 임의의 <math>k\ge1</math>에 대하여, <math>\pi_i(X) \ne 0</math>이며 <Math>k<i<k+n</math>인 <Math>i\in\mathbb Z</math>가 존재한다.<ref name="Hess"/>{{rp|Theorem 2.34}}
* 임의의 <math>k\gg1</math>에 대하여, <math>\forall n\ge N\colon \sum_{i=k+1}^{k+n-1}\dim\pi_i(X)\ge \frac{\dim\pi_k(X)}{\dim\operatorname H^\bullet(X)}
</math>인 <math>k<i<k+n</math>가 존재한다.<ref name="Hess"/>{{rp|Theorem 2.34}}

== 예 ==
=== 자명한 설리번 대수 ===
임의의 [[정렬 집합]] <math>(B,\le)</math> 및 임의의  증가 함수
:<math>\deg \colon B\to \mathbb N</math>
에 대하여, 자명한 미분
:<math>\mathrm db =0 </math>
을 부여하자. 그렇다면, <math>(B,\le,\deg,0)</math>은 최소 설리번 대수를 이룬다.

특히, <math>B=\varnothing</math>일 때, <math>(K,\mathrm d=0)</math>은 <math>K</math> 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.

=== 홀수 차원 초구 ===
<math>n</math>차원 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>의 유리수 계수 [[코호몰로지]]는 다음과 같다.
:<math>\dim_{\mathbb Q}\operatorname H^k(\mathbb S^n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q=\begin{cases}1&k=0,n\\0&k\ne0,n\end{cases}</math>

따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 <math>n</math>의 생성원 <math>a</math> 하나만을 가지며, 이 경우 <math>\mathrm da=0</math>이다.<ref name="BottTu">{{서적 인용|이름1=Raoul|성1=Bott|저자링크1=라울 보트|이름2=Loring Wuliang|성2=Tu|저자링크2=로링 투|제목=Differential forms in algebraic topology |날짜=1982|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=82|issn=0072-5285|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-1-4419-2815-3 |doi=10.1007/978-1-4757-3951-0|mr=658304|zbl= 0496.55001|언어=en}}</ref>{{rp|259–260, Example 19.1}} 즉,
:<math>B=\{a\}</math>
:<math>\deg\colon a\mapsto 1</math>
:<math>\mathrm da=0</math>
이다.

=== 짝수 차원 초구 ===
짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 <math>n</math>의 생성원 <math>a</math>를 가지지만, <math>a</math>가 짝수 차수를 가지므로 <math>a^2\ne0</math>이다. 따라서, <math>a^2</math>가 [[코호몰로지류]]를 이루는 것을 막기 위해, <math>2n-1</math>차의 생성원 <math>b</math>를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.<ref name="BottTu"/>{{rp|260, Example 19.2}}
:<math>B=\{a,b\}</math>
:<math>a<b</math>
:<math>\deg \colon a\mapsto n</math>
:<math>\deg \colon b\mapsto 2n-1</math>
:<math>\mathrm da=0</math>
:<math>\mathrm db=a^2</math>
이에 따라, 초구의 [[호모토피 군]]의 [[계수 (아벨 군)|계수]]를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 [[꼬임 부분군]]을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)

=== 복소수 사영 공간 ===
복소수 사영 공간 <math>\mathbb{CP}^n</math>의 유리수 계수 코호몰로지는
:<math>\dim_{\mathbb Q}\operatorname H^k(\mathbb{CP}^n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q=\begin{cases}1&k=0,2,\dots,2n\\0&k\ne0,2,\dots,2n\end{cases}</math>
이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.<ref name="BottTu"/>{{rp|260, Example 19.3}}
:<math>B=\{a,b\}</math>
:<math>a<b</math>
:<math>\deg a=2</math>
:<math>\deg b=2n+1</math>
:<math>\mathrm da=0</math>
:<math>\mathrm db=a^{n+1}</math>
무한 차원 복소수 사영 공간 <math>\mathbb{CP}^\infty</math>의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원 <math>b</math>가 없어져 더 간단하다.
:<math>\deg a=2</math>
:<math>\mathrm da=0</math>

=== 비형식적 최소 설리번 대수 ===
형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다.
:<math>B=\{a,b,x,y\}</math>
:<math>a<b<x<y</math>
:<math>\deg a=2,\quad\deg b=\deg x=3,\quad\deg y=4</math>
:<math>\mathrm da=\mathrm db=0,\qquad\mathrm dx=a^2,\qquad\mathrm dy=ab</math>
이 설리번 대수의 코호몰로지는 <math>[a]</math>, <math>[b]</math>, <math>[xb-ay]</math>로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 <math>f</math>는 차수의 제약에 따라
:<math>f(a)\propto[a]</math>
:<math>f(y)=0</math>
:<math>f(b)\propto[b]</math>
:<math>f(x)\propto[b]</math>
가 되는데, 따라서
:<math>f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0</math>
이 된다. 따라서, <math>f</math>는 유사동형이 될 수 없다.

=== 설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조 ===
다음과 같은 구성을 생각하자.
:<math>B=\{x,y,z\}</math>
:<math>\deg x=\deg y=\deg z=1</math>
:<math>V=\bigwedge(\operatorname{Span}_KB)</math>
:<math>\mathrm dx=yz</math>
:<math>\mathrm dy=zx</math>
:<math>\mathrm dz=xy</math>
이는 [[가환 미분 등급 대수]]를 이루며, <math>V</math>는 <math>B</math>로 생성되는 [[외대수]]이지만, <math>B</math> 위에는 <math>(B,\le,\deg,\mathrm d)</math>가 설리번 대수가 되게 하는 [[전순서]] <math>\le</math>를 줄 수 없으며, <math>\operatorname{Span}_KB</math>의 다른 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.<ref name="Hess"/>{{rp|Example 1.12}}

== 역사 ==
[[데니스 설리번]]이 1970년대에 제창하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Dennis|성=Sullivan|저자링크=데니스 설리번|제목=Infinitesimal calculations in topology|저널=Publications mathématiques de l’Institut des hautes études scientifiques|권=47|날짜=1977|쪽=269–331|issn= 0073-8301|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1977__47__269_0|zbl= 0374.57002 |mr=646078|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Rational homotopy theory}}
* {{eom|title=Sullivan minimal model }}
* {{nlab|id=rational homotopy theory|title=Rational homotopy theory}}
* {{nlab|id=rational topological space|title=Rational topological space}}
* {{nlab|id=rationalization|title=Rationalization}}
* {{nlab|id=rational homotopy equivalence|title=Rational homotopy equivalence}}
* {{nlab|id=Sullivan model}}
* {{nlab|id=real homotopy theory|title=Real homotopy theory}}
* {{nlab|id=model structure on dg-algebras|title=Model structure on dg-algebras}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:대수]]