소수 (기수법) 문서 원본 보기

{{다른 뜻|3=1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수(素數, prime number)|1=소수 (수론)}}
[[수학]]의 [[기수법]]에서 '''소수'''(小數, {{llang|en|decimal}})는 [[실수]]를 [[소수점]]과 그 양옆에 놓인 [[숫자]]를 통해 나타내는 방법이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 [[정수]] 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.

== 정의 ==
음이 아닌 실수 <math>r</math>의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>r=r_0.r_1r_2r_3\cdots</math>
여기서 각 <math>i=0,1,2,\dots</math>에 대하여, <math>r_i</math>는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤 <math>n</math>번째 자릿수 <math>r_n</math>부터
:<math>0=r_n=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots</math>
가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
:<math>r=r_0.r_1r_2r_3\cdots r_{n-1}</math>
엄밀히 말해, 소수는 [[극한]]의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 [[급수 (수학)|급수]] 공식을 만족시켜야 한다.
:<math>r=\sum_{n=0}^\infty10^{-n}r_n=\lim_{n\to\infty}r_0.r_1r_2\cdots r_n</math>
또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.
* <math>9=r_n=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots</math>인 <math>n</math>이 존재하지 않는다.
즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, [[0.999…]] = 1이며, 1.234999... = 1.235이며, 37.271999...=37.272이다.간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.

[[유리수]]의 소수 표기는 유한하거나, [[무한]]하지만 [[순환]]한다. 그 예는 다음과 같다.
:<math>\frac{1}{2}=0.5</math>
:<math>\frac{1}{3}=0.333333\cdots</math>
[[무리수]]의 소수 표기는 무한하며 [[비순환]]이다.. 그 예는 다음과 같다.
:<math>\sqrt 2=1.41421356\cdots</math>
:<math>\pi=3.14159265358979323846\cdots</math>

== 종류 ==
소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.

=== 유한 소수 ===
소수점 아랫자리가 유한한 수를 '''유한 소수'''(有限小數, {{llang|en|finite decimal}})라고 한다. 모든 유한 소수는 [[유리수]]다.

[[십진법]]과 [[이십진법]]에서는 만약 [[기약 분수]]의 분모가 <math>2^m5^n</math> (<math>m,n</math>은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 <math>2^m5^n</math> (<math>m,n</math>은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

마찬가지로, [[육진법]]과 [[십이진법]]과 [[십팔진법]]에서는 만약 [[기약 분수]]의 분모가 <math>2^m3^n</math> (<math>m,n</math>은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 <math>2^m3^n</math> (<math>m,n</math>은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

유한 소수의 예는 다음과 같다. [[가분수]]도 게재한다.

; 십진법
:<math>1/2=0.5</math>
:<math>3/4=0.75</math>
:<math>1/5=0.2</math>
:<math>8/5=1.6</math>
:<math>3/8=0.375</math>
:<math>1/16=0.0625</math>
:<math>27/16=1.6875</math>
:<math>7/20=0.35</math>
:<math>8/25=0.32</math>
:<math>1/50=0.02</math>
:<math>11/64=0.171875</math>
:<math>1/80=0.0125</math>
:<math>8/125=0.064</math>
:<math>13/160=0.08125</math>

; 육진법
:<math>1/2=0.3</math>
:<math>1/3=0.2</math>
:<math>3/4=0.43</math>
:<math>3/12=0.213</math>
:<math>5/13=0.32</math>
:<math>41/13=2.44</math>
:<math>11/20=0.33</math>
:<math>1/24=0.0213</math>
:<math>43/24=1.4043</math>
:<math>1/30=0.02</math>
:<math>12/43=0.144</math>
:<math>1/120=0.0043</math>
:<math>15/144=0.101043</math>
:<math>1/213=0.0024</math>
:<math>21/240=0.04513</math>

보다 기본적으로, <math>b</math>가 2이상의 자연수일 때, <math>b</math>진법으로 소수를 나타내었을 때, 어떤 기약 분수가 유한 소수가 되기 위한 필요충분조건은 해당 분수를 기약 분수로 바꾸고 난 후 분모른 소인수분해할 때, 분모의 모든 소인수가 <math>b</math>의 소인수로 이루어져 있어야 되는 것이다. 즉, 기약분수의 분모에서 그 외의 다른 소인수가 하나 이상 들어가 있으며 <math>b</math>진법 소수 표현이 순환소수가 된다는 얘기다.

=== 순환 소수 ===
{{본문|순환 소수}}
소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 '''순환 소수'''(循環小數, {{llang|en|repeating decimal}})라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 [[유리수]]이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.

; 십진법
:<math>1/3=0.\dot3=0.333\cdots</math>
:<math>1/6=0.1\dot6=0.1666\cdots</math>
:<math>1/7=0.\dot14285\dot7=0.142857142857142857\cdots</math>
:<math>5/9=0.\dot5=0.555\cdots</math>
:<math>25/9=2.\dot7=2.777\cdots</math>
:<math>3/11=0.\dot2\dot7=0.272727\cdots</math>
:<math>8/27=0.\dot29\dot6=0.296296\cdots</math>
:<math>1/48=0.0208\dot3=0.0208333\cdots</math>
:<math>1/81=0.\dot01234567\dot9=0.012345679012345679\cdots</math>

; 육진법
:<math>1/5=0.\dot1=0.111\cdots</math>
:<math>12/5=1.\dot3=1.333\cdots</math>
:<math>1/11=0.\dot0\dot5=0.050505\cdots</math>
:<math>3/14=0.1\dot4=0.1444\cdots</math>
:<math>1/15=0.\dot031345242\dot1=0.03134524210313452421\cdots</math>
:<math>12/41=0.\dot1530\dot4=0.1530415304\cdots</math>
:<math>1/212=0.0024\dot1=0.0024111\cdots</math>

=== 비순환 소수 ===
{{본문|순환소수}}
순환 소수가 아닌 소수를 '''비순환 소수'''(非循環小數, {{llang|en|non-repeating decimal}})라고 한다. 어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 [[무리수]]이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 [[십진법]] ([[소인수]]가 [[2]]와 [[5]]) 이든 [[육진법]] (소인수가 2 와 [[3]]) 이든 기타 [[위치 기수법]]을 사용하여도 무한에 따른다.

; 십진 표기
:<math>\sqrt2=1.41421356\cdots</math>
:<math>\pi=3.14159265\cdots</math>
:<math>e=2.718281\cdots</math>
; 육진 표기
:<math>\sqrt2=1.225245314\cdots</math>
:<math>\pi=3.0503300514\cdots</math>
:<math>e=2.41505204\cdots</math>

=== 무한소수 ===
{{본문|무리수}}
{{참고|원주율}}
무리수
(무한소수)는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다

실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 [[자연수]]의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.

실수의 소수 표기는 [[실수의 구성]]에 쓰일 수 있다.
== 같이 보기 ==
* [[십진법]]
* [[급수 (수학)]]
* [[IEEE 754]]
* [[시몬 스테빈]]

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}
{{토막글|수학}}

[[분류:기수법]]
[[분류:초등 수학]]