스칼라배 문서 원본 보기

[[수학]]에서 '''스칼라배'''(-倍, {{lang|en|scalar multiple}}) 또는 '''스칼라 곱셈'''({{lang|en|scalar multiplication}})은 [[스칼라 (수학)|스칼라]]와 [[벡터]]의 [[순서쌍]]에 벡터를 대응시키는 한 연산이다. [[유클리드 공간]]의 경우, 벡터의 길이를 스칼라의 [[절댓값]]을 배수로 하여 늘이거나 줄이고, 방향은 스칼라가 양수라면 그대로 두고 음수면 반대로 바꾼다.

== 정의 ==
'''스칼라배'''는 [[벡터 공간]]을 정의하는 데이터 가운데 하나다. 스칼라배는 구체적인 벡터 공간의 구체적인 스칼라배 연산을 뜻하기도 한다. 예를 들어, [[유클리드 공간]]
:<math>\mathbb R^n=\{(x_1,\dots,x_n)\colon x_1,\dots,x_n\in\mathbb R\}</math>
에서, 임의의 스칼라 <math>a\in\mathbb R</math> 및 벡터 <math>\mathbf x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n</math>에 대하여, 그 스칼라배는 다음과 같다.
:<math>a\cdot\mathbf x=(ax_1,\dots,ax_n)</math>
스칼라배는 연산 기호를 생략하여 <math>a\mathbf x</math>와 같이 쓸 수 있다.

== 성질 ==
유클리드 공간의 스칼라배는 다른 대부분 연산들과 잘 호환된다. 예를 들어, <math>\mathbb R^n</math>에서 다음 항등식들이 성립한다 (<math>\cdot</math>는 [[스칼라곱]]).
:<math>0\mathbf x=a\mathbf 0=\mathbf 0</math>
:<math>1\mathbf x=\mathbf x</math>
:<math>(ab)\mathbf x=a(b\mathbf x)</math>
:<math>(a+b)\mathbf x=a\mathbf x+b\mathbf x</math>
:<math>a(\mathbf x+\mathbf y)=a\mathbf x+a\mathbf y</math>
:<math>(-a)\mathbf x=a(-\mathbf x)=-a\mathbf x</math>
:<math>a(\mathbf x\cdot\mathbf y)=(a\mathbf x)\cdot\mathbf y=\mathbf x\cdot(a\mathbf y)</math>
만약 <math>n=3,7</math>일 때, 다음 항등식들이 추가로 성립한다 (<math>\times</math>는 [[벡터곱]]).
:<math>a(\mathbf x\times\mathbf y)=(a\mathbf x)\times\mathbf y=\mathbf x\times(a\mathbf y)</math>

== 예 ==
<math>\mathbb R^2</math>에서의 예는 다음과 같다.
:<math>3\cdot(4,5)=(3\cdot 4,3\cdot 5)=(12,15)</math>

<math>\mathbb R^3</math>에서의 예는 다음과 같다.
:<math>10\cdot(11,12,13)=(10\cdot11,10\cdot12,10\cdot13)=(110,120,130)</math>

== 같이 보기 ==
* [[스칼라곱]]
* [[행렬 곱셈]]
* [[곱]]

{{선형대수학}}
{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}
{{토막글|대수학}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:벡터]]
[[분류:곱셈]]