시그마 모형 문서 원본 보기

{{양자장론}}
[[양자장론]]에서 '''시그마 모형'''(σ模型, {{lang|en|sigma model}})은 두 [[매끄러운 다양체]] 사이의 [[매끄러운 함수]]를 [[장 (물리학)|장]]으로 삼는 양자장론의 한 종류다.<ref>{{저널 인용|성=Ketov|이름=Sergei V.|제목=Nonlinear sigma model|저널=Scholarpedia|연도=2009|권=4|호=1|쪽=8508|doi=10.4249/scholarpedia.8508|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=A brief review of supersymmetric non-linear sigma models and generalized complex geometry|이름=Ulf|성=Lindström|arxiv=hep-th/0603240|연도=2006|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Generalized complex geometry and supersymmetric non-linear sigma models|이름=Ulf|성=Lindström|arxiv=hep-th/0409250|연도=2004|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Quantum non-linear sigma-models: from quantum field theory to supersymmetry, conformal field theory, black holes and strings|이름=Sergei V.|성=Ketov|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-67461-0|연도=2000|언어=en}}</ref> [[끈 이론]]에서 쓰인다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[유사 리만 다양체]] <math>(M, g_{\mu\nu})</math> ([[시공간]])
* [[리만 다양체]] <math>(T, \eta_{ab})</math> ('''과녁 공간''' {{llang|en|target space}})
그렇다면, 임의의 [[매끄러운 함수]] <math>\phi \colon M\to T</math>에 대한 '''시그마 모형 작용'''({{llang|en|sigma model action}})은 다음과 같다.
:<math>S[\phi] = \int_M \sqrt{|\det g|}\,g_{\mu\nu}\eta^{ab}(\partial_\mu\phi)^a(\partial_\nu\phi)^b</math>
(이것이 유한하기 위해서는 물론 <math>\phi</math>가 적절한 경계 조건을 만족시켜야 한다.)

이를 작용으로 하는 고전 장론 또는 그 양자화를 '''시그마 모형'''이라고 한다.

여기서 <math>T</math>가 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>이나 [[원 (기하학)|원]] <math>\mathbb S^1</math>과 같은 단순한 공간일 경우에는 이를 '''선형 시그마 모형'''({{llang|en|linear sigma model}})이라고 하고, 그렇지 않을 경우에는 '''비선형 시그마 모형'''({{llang|en|nonlinear sigma model}})이라고 한다.

=== 대칭 공간 위의 시그마 모형 ===
과녁 공간이 리만 [[대칭 공간]] <math>G/H</math>인 경우를 생각하자.<ref>{{서적 인용|장=Properties of gauged sigma models | 이름1=R. | 성1=Percacci | 이름2=E. | 성2=Sezgin | arxiv=hep-th/9810183 | bibcode=1999rppc.conf..255P | 날짜=1999 | 제목=Relativity, Particle Physics and Cosmology. Proceedings of the Richard Arnowitt Fest |editor-first= Roland E. |editor-last=Allen|출판사= World Scientific|쪽=255 | doi=10.1142/4045|언어=en}}</ref>{{rp|§3}} 이 경우, <math>G</math>의 [[리 대수]]는
:<math>\mathfrak g = \mathfrak h + \mathfrak m</math>
:<math>[\mathfrak h,\mathfrak m] \subseteq \mathfrak m</math>
:<math>[\mathfrak m,\mathfrak m] \subseteq \mathfrak h</math>
와 같이 분해되며, <math>\mathfrak m</math> 위에는 <math>\operatorname{Ad}(H)</math>-불변 내적
:<math>\eta(x,y) = \eta(\operatorname{Ad}(h)x,\operatorname{Ad}(h)y)\qquad(x,y\in\mathfrak m,\;h\in H)</math>
이 주어진다. 이 내적은 <math>G/H</math> 위의 [[리만 계량]]을 정의한다.

이러한 [[대칭 공간]] 위의 시그마 모형은 <math>H</math>에 대한 게이지 대칭을 도입하여 더 깔끔하게 서술될 수 있다. 구체적으로, 대역적 대칭 <math>G</math> 및 게이지 대칭 <math>\mathcal C^\infty(M,H)</math>에 대하여 변환하는 스칼라장
:<math>\Phi \colon M \to G</math>
:<math>\Phi \mapsto g\Phi(x)h(x)^{-1}\qquad(g\in G,\;h\in\mathcal C^\infty(M,H))</math>
를 생각하자.

이제, 스칼라장의 미분
:<math>\Phi(x)^{-1}\partial_\mu\Phi \in \Omega^1(M;\mathfrak g)</math>
을 생각하자. [[대칭 공간]]의 경우 표준적인 분해
:<math>\mathfrak g = \mathfrak m \oplus \mathfrak h</math>
가 주어지므로, 이를 다음과 같은 두 조각으로 분해할 수 있다.
:<math>\Phi(x)^{-1}\partial_\mu\Phi(x) = \nabla_\mu\phi(x) + B_\mu(x)</math>
:<math>\nabla_\mu\phi \in \Omega^1(M;\mathfrak m)</math>
:<math>B_\mu\in\Omega^1(M;\mathfrak h)</math>
(첫째 항의 기호 <math>\nabla_\mu\phi</math>는 단순히 표기에 불과하다.)

그렇다면, 이는 다음과 같이 변환한다.
:<math>\Phi^{-1}\partial_\mu\Phi 
\mapsto h\Phi \partial_\mu(\Phi h^{-1})
= h(\Phi^{-1}\partial_\mu\Phi)h^{-1}
+ h\partial_\mu (h^{-1})</math>
:<math>\nabla_\mu\phi \mapsto h(\nabla_\mu\phi)h^{-1}</math>
:<math>B_\mu(\Phi) \mapsto h(B_\mu)h^{-1} + h\partial_\mu (h^{-1}) = 
h(B_\mu)h^{-1} - (\partial h)h^{-1}
</math>
따라서, 스칼라장의 운동항
:<math>\operatorname{tr}\left(\eta_{ab}\nabla_\mu\phi^a\nabla^\mu\phi^b\right)</math>
를 적을 수 있다. (여기서 <math>\eta</math>는 <math>\mathfrak m</math> 위의 내적이다.)

이 작용에는 페르미온 항을 다음과 같이 추가할 수 있다. 우선, 스피너장 <math>\psi</math>가 <math>H</math>의 [[유니터리 표현]]을 따른다고 하자.
:<math>\psi(x) \mapsto h(x)\psi(x)</math>
:<math>\bar\psi(x) \mapsto \psi(x) h^{-1}(x)</math>
그렇다면, 다음과 같은 공변 미분을 정의한다.
:<math>D_\mu\psi = \partial_\mu\psi + B_\mu\psi</math>
이는 대칭에 대하여
:<math>D_\mu\phi \mapsto hD_\mu\psi</math>
와 같이 변환한다. 따라서, 게이지 변환에 대하여 불변인 페르미온 운동항
:<math>\bar\psi\gamma^\mu D_\mu\psi</math>
을 적을 수 있다.

<math>B_\mu</math>의 성분들은 <math>\psi</math>에 대하여 일종의 [[주접속]]([[게이지장]])으로 작용한다. 이는 궁극적으로 <math>\Phi</math>의 성분의 일부에서 유래하며, 이들은 운동항을 갖지 않아 [[보조장]]의 역할을 한다.

이러한 구성은 [[일반 상대성 이론]]에서 페르미온을 도입하기 위해 [[필바인]]을 잡는 것과 동치이다. 중력의 경우, 장은 [[리만 계량]] <math>g</math>이며, <math>d(d+1)/2</math>개의 성분을 갖는다. 이 리만 계량을 [[필바인]]으로 표기하자.
:<math>g_{\mu\nu}=e^a_\mu e^b_\nu\eta_{ab}</math>
필바인 <math>e^a_\mu \in\operatorname{GL}(d;\mathbb R)</math>은 임의의 <math>n\times n</math> [[가역 행렬]]이다. 그러나, 이는
:<math>\eta^a_\mu \mapsto M_a{}^b\eta_\mu{}^a \qquad(M\in\operatorname O(p,q))</math>
에 의하여 불변이다. 즉, 리만 계량은 [[동차 공간]]
:<math>\operatorname{GL}(d;\mathbb R)/\operatorname O(p,q)\qquad(p+q=d)</math>
의 원소 <math>[e]</math>에 의하여 주어지며, 이 몫공간은 올바른 수의 <math>d(d+1)/2</math>개의 성분을 가짐을 알 수 있다.

=== 초대칭 시그마 모형 ===
(비선형) 시그마 모형에 [[페르미온]]을 추가하여, '''[[초대칭]] 시그마 모형'''({{llang|en|supersymmetric sigma model}})을 만들 수 있다.<ref name="mirrorbook">{{서적 인용|제목=Mirror Symmetry|이름=Kentaro|성=Hori|공저자=Sheldon Katz, Albrecht Klemm, Rahul Pandharipande, Richard Thomas, [[캄란 바파|Cumrun Vafa]], Ravi Vakil, Eric Zaslow|출판사=[[미국 수학회|American Mathematical Society]]/[[클레이 수학연구소|Clay Mathematical Institute]]|기타=Clay Mathematical Monographs 1|연도=2003|isbn=0-8218-2955-6|url=http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01c.pdf|zbl=1044.14018|mr=2003030}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Sergei M.|성=Kuzenko|제목={{lang|en|Lectures on nonlinear sigma-models in projective superspace}}|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|권=43|호=44|연도=2010|쪽=3001|doi=10.1088/1751-8113/43/44/443001|arxiv=1004.0880}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Supersymmetric sigma model geometry|이름=Ulf|성=Lindström|연도=2012|arxiv=1207.1241}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Supersymmetric sigma models|이름=Jonathan A.|성=Bagger|id=SLAC-PUB-3461|연도=1984|월=9|url=https://www.slac.stanford.edu/cgi-wrap/getdoc/slac-pub-3461.pdf}}</ref> 이 경우, 가능한 과녁 공간의 모양은 초대칭의 개수에 따라 제한된다.
* 2개의 초전하 ([[2차원 𝒩=1 초등각 장론|2차원 <math>\mathcal N=(1,1)</math>]])인 경우, 과녁 공간은 (일반적인) [[리만 다양체]]이다.
* 4개의 초전하([[2차원 𝒩=2 초등각 장론|2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math>]], 4차원 <math>\mathcal N=1</math>)인 경우, 과녁 공간은 [[켈러 다양체]]이다.
* 8개의 초전하([[2차원 𝒩=4 초등각 장론|2차원 <math>\mathcal N=(4,4)</math>]], 4차원 <math>\mathcal N=1</math>)인 경우, 과녁 공간은 [[초켈러 다양체]]이다.

초대칭 시그마 모형의 양자화에 따라, 시그마 모형의 초대칭 바닥 상태들은 [[켈러 다양체]]인 과녁 공간의 [[조화형식]]과 일대일 대응한다.<ref name="mirrorbook"/>{{rp|305}}

가장 간단한 예로, 과녁 공간이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>인 초대칭 시그마 양자역학을 생각하자.<ref name="mirrorbook"/>{{rp|206–220}} 즉, "시공간"이 1차원(시간)인 경우다. 이 경우, [[힐베르트 공간]]은 <math>M</math> 위의 ([[복소 미분 형식|복소]]) [[미분 형식]]들의 공간과 동형이다.
:<math>\mathcal H\cong\Omega(M)\otimes\mathbb C</math>
이 경우, [[미분 형식]]의 차수는 상태의 페르미온 수 연산자가 된다. 국소좌표계를 <math>\{x^i\}</math>로 잡으면, 다음과 같은 정준 교환 관계(canonical commutation relation)을 잡을 수 있다.
:<math>[x^i,-i\nabla_j]=i\delta^i_j</math>
:<math>\{dx^i\wedge,i\,\iota_{\partial_j}\}=ig^{ij}</math>
이들을 각각 보손 및 페르미온 위치 및 운동량 연산자로 해석한다.

이 경우, 초대칭 연산자는 [[외미분]] <math>d\colon\Omega^n(M)\otimes\mathbb{C}\to\Omega^{n+1}(M)\otimes\mathbb{C}</math>이고, [[해밀토니언 연산자]]는 [[라플라스-벨트라미 연산자]]
:<math>H=\{d,d^\dagger\}=\Delta</math>
가 된다. 즉, [[바닥 상태]]는 [[조화형식]]에 대응하고, [[드람 코호몰로지]]는 [[위튼 지표#초대칭 코호몰로지|초대칭 코호몰로지]]에, [[오일러 지표]]는 [[위튼 지표]]에 대응한다.

과녁 공간이 [[켈러 다양체]]인 경우, 4개의 초대칭은 각각 <math>\partial</math>, <math>\bar\partial</math>, <math>\partial^\dagger</math>, <math>\bar\partial^\dagger</math>이 되고, 초대칭 코호몰로지는 [[돌보 코호몰로지]]가 된다. 과녁 공간이 [[초켈러 다양체]]인 경우, 복소 구조가 여러 개 있으므로 서로 다른 두 복소구조를 사용해 그 초대칭이 총 8개가 된다.

=== 게이지 선형 시그마 모형 ===
'''게이지 선형 시그마 모형'''({{llang|en|gauged linear sigma model}}, 약자 GLSM)은 선형 시그마 모형에 [[게이지장]]을 추가한 것이다.<ref name="mirrorbook"/> 이 경우 특정한 극한을 취하면, 이는 게이지 선형 시그마 모형의 진공 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형으로 수렴하게 된다. 이와 같은 과정으로 [[원환 다양체]]를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형들을 작도할 수 있다. 이는 [[에드워드 위튼]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Phases of ''N''=2 Theories In Two Dimensions|이름=Edward|성=Witten|doi=10.1016/0550-3213(93)90033-L|arxiv=hep-th/9301042|bibcode=1993NuPhB.403..159W|저널=Nuclear Physics B|권=403|호=1|쪽=159-222|날짜=1993|저자링크=에드워드 위튼|언어=en}}</ref>

== 성질 ==
고전적으로, 시그마 모형의 [[오일러-라그랑주 방정식]]은
:<math>g^{\mu\nu}\nabla_\mu (\partial_\nu \phi)^a = 0</math>
이다. 여기서 <math>\nabla</math>는 <math>g</math>에 대한 [[레비치비타 접속]]이다.

=== 재규격화 ===
비선형 시그마 모형은 <math>M</math>이 3차원 이상일 경우에는 [[재규격화]]할 수 없다.

시그마 모형의 장 <math>\Sigma\colon M\to T</math>는 <math>M</math>을 <math>T</math> 속에 [[매장 (수학)|매장]]({{lang|en|embedding}})하는 것으로 해석할 수 있다. 즉 <math>T</math> 속에 <math>\dim M</math> 차원의 [[브레인 (물리학)|브레인]]({{lang|en|brane}})의 움직임을 나타낸다. 끈 이론에서는 끈은 2차원 브레인이므로 <math>M</math>은 끈 세계면을 나타내는 2차원 다양체다. <math>T</math>는 [[시공간]]으로, 끈 이론의 종류에 따라 26차원이거나 10차원이다. 끈 이론에서 다루는 2차원 시그마 모형은 재규격화할 수 있다. 이는 [[대니얼 프리댄]]이 1980년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Friedan|이름=Daniel|저자링크=대니얼 프리댄|제목=Nonlinear models in 2+ε dimensions|저널=Physical Review Letters|권=45|호=13|쪽=1057–1060|doi=10.1103/PhysRevLett.45.1057}}</ref> 비선형 시그마 모형의 베타 함수는 (1개 고리 차수만 고려하면) 과녁 공간의 [[리치 흐름]]과 같다.
:<math>\frac{dg_{\mu\nu}}{d\ln(\lambda)}=R_{\mu\nu}+\cdots</math>
(여기서 <math>g_{\mu\nu}</math>는 과녁 공간의 계량, <math>R_{\mu\nu}</math>는 [[리치 곡률 텐서]]다.) 이 사실은 [[끈 이론]]에서 핵심적인 역할을 한다. 끈 이론에서, 등각 대칭은 게이지 대칭이므로, [[끈 (물리학)|끈]]의 [[세계면]]에 존재하는 이론은 항상 [[등각 장론]]이어야 한다. 즉, 베타 함수가 0이어야 한다. 이에 따라서, 그 과녁 공간 (끈 이론에서의 [[시공간]])의 리치 곡률이 0이어야 한다. 이는 진공에서의 [[아인슈타인 방정식]]이다. 즉, 끈 이론이 [[일반 상대성 이론]]을 재현함을 알 수 있다.

비상대론적 [[양자역학]]은 함수 <math>\psi(t)\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대한 [[경로 적분]]으로 정의된다. 따라서 비상대론적 양자역학은<math>M=\mathbb R</math>, <math>T=\mathbb R</math>인 (선형) 시그마 모형이다.

== 역사 ==
[[머리 겔만]]과 모리스 레비({{lang|fr|Maurice Lévy}})가 [[베타 붕괴]]를 설명하기 위해 1960년에 이 종류의 모형을 최초로 고안하였다.<ref>{{저널 인용|저자=[[머리 겔만|Murray Gell-Mann]], Maurice Lévy | title=The axial vector current in beta decay |  doi=10.1007/BF02859738 | year=1960 | journal=Il Nuovo Cimento | volume=16 | pages=705–726}}</ref> 여기서 시그마(σ)는 겔만-레비 모형에서 스칼라 [[중간자]]장의 하나였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=sigma-model|title=Sigma-model}}
* {{nlab|id=A-model}}
* {{nlab|id=B-model}}
* {{nlab|id=target space|title=Target space}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]