약수 함수 문서 원본 보기

[[정수론]]에서 '''약수 함수'''(約數函數, {{llang|en|divisor function}})는 주어진 수의 [[약수]]들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 [[수론적 함수]]다.

== 정의 ==
양의 정수 <math>n</math>과 [[복소수]] <math>a</math>에 대하여, '''약수 함수''' <math>\sigma_a(n)</math>는 다음과 같다.
:<math>\sigma_a(n)=\sum_{d\mid n}d^a</math>
여기서 <math>\textstyle \displaystyle \sum_{d\mid n}</math>은 <math>n</math>의 양의 [[약수]]들에 대한 합이다. 이 경우 1과 <math>n</math> 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

<math>\sigma_0(n)</math>은 <math>d(n)</math>로도 나타내며, <math>n</math>의 약수의 개수에 해당한다.
:<math>\sigma_0(n)=\#\{d\in\mathbb Z^+\colon d\mid m\}</math>

<math>\sigma_1(n)</math>은 '''시그마 함수''' <math>\sigma(n)</math>라고 하며 <math>n</math>의 모든 약수의 합을 나타낸다.
:<math>\sigma(n)=\sigma_{1}(n)=\sum_{d\mid n}d</math>

<math>\sigma(n)-n</math>은 '''[[진약수의 합]]''' <math>s(n)</math>이다.

== 표 ==
낮은 지수의 약수 함수의 열은 다음과 같다.
;σ<sub>0</sub>
: 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, … {{OEIS|A000005}}
;σ<sub>1</sub>
: 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, … {{OEIS|A000203}}
;σ<sub>2</sub>
: 1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, … {{OEIS|A001157}}
;σ<sub>3</sub>
: 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, … {{OEIS|A001158}}
;σ<sub>4</sub>
: 1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, … {{OEIS|A001159}}
;σ<sub>5</sub>
: 1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, … {{OEIS|A001160}}
;σ<sub>6</sub>
: 1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, … {{OEIS|A013954}}
;σ<sub>7</sub>
: 1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, … {{OEIS|A013955}}

== 성질 ==
양의 정수 <math>p</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다.
* <math>d(p)=2</math>
* <math>\sigma(p)=p+1</math>
왜냐하면 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 [[곱셈적 함수|곱셈적]]이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 <math>n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}</math>
로 [[소인수 분해]]된다면,
:<math>d(n) = \prod_{i=1}^{r} (a_{i}+1)</math>,
:<math>\sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{a_{i}+1}-1}{p_{i}-1}</math>
이 된다. 일반적으로 <math>a\ne0</math>인 경우,
:<math>\sigma_{a}(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{a(a_{i}+1)}-1}{p_{i}^a-1}</math>
이 성립한다.

=== 최대·최소 크기 ===
다음이 성립한다.<ref name="HW">{{서적 인용 |성1=Hardy |이름1=G. H. |성2=Wright |이름2=E. M. |제목=An introduction to the theory of numbers |언어=en |판=4 |출판사=At the Clarendon Press |위치=[[옥스포드]] |날짜=1960 |zbl=0086.25803}}</ref>{{rp|262, Theorem 317}}<ref name="HW"/>{{rp|266, Theorem 323}}
:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln d(n)\ln\ln n}{\ln n}=\ln2</math>
:<math>\limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\sigma(n)}{n \ln \ln n} = e^\gamma</math>
여기서 <math>\gamma</math>는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다. 이 상극한들에 대응하는 하극한들은 자명하게 0이므로, 이 상극한들은 극한이 아니다. 즉, 약수 함수의 크기는 매우 불규칙적이다.

=== 평균 크기 ===
약수 함수의 부분합은 보다 좋은 점근적 근사를 갖는다. 예를 들어, 다음과 같은 점근 공식이 있다.
:<math>\sum_{k=1}^nd(k)=n\ln n+(2\gamma-1)n+O(\sqrt n)</math>
이에 따라, 양의 정수 <math>n</math>은 평균적으로 약 <math>\ln n</math>개의 약수를 갖는다. 이는 디리클레 쌍곡선 방법({{llang|en|Dirichlet hyperbola method}})을 사용하여 보일 수 있다. '''디리클레 약수 문제'''(Dirichlet約數問題, {{llang|en|Dirichlet divisor problem}})는 이 점근 공식의 오차 <math>O(\sqrt n)</math>를 개선하는 문제다.

다음과 같은 점근 공식이 성립한다.
:<math>\sum_{k=1}^n\sigma(k)=\frac1{12}\pi^2n^2+O(n\ln n)</math>
이에 따라, 양의 정수 <math>n</math>의 약수의 합은 평균적으로 약 <math>\pi^2n/6</math>이다.

=== 로뱅 부등식 ===
다음 네 명제는 서로 [[동치]]이다.
* [[리만 가설]]
* 임의의 정수 <math>n\ge5141</math>에 대하여, '''로뱅 부등식'''(Robin不等式, {{llang|en|Robin’s inequality}}) <math display="block">\sigma(n)<e^\gamma n\ln\ln n</math>은 참이다.
* 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, 로뱅 부등식은 참이다.
* 임의의 <math>0<\beta<1/2</math> 및 <math>C>0</math>에 대하여, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math display="block">\sigma(n)\le e^\gamma n\ln\ln n+\frac{Cn\ln\ln n}{(\ln n)^\beta}</math>이다.

임의의 정수 <math>n\ge3</math>에 대하여, 로뱅 부등식보다 약한 부등식
:<math>\sigma(n)<e^\gamma n\ln\ln n+0.6482\frac n{\ln\ln n}</math>
이 성립한다.

만약 [[리만 가설]]이 거짓이라면, 로뱅 부등식의 반례가 되는 [[거대 과잉수]]가 존재한다.

== 참고 문헌 ==
<references/>
* {{저널 인용|성=Lagarias|이름=Jeffrey C.|제목=An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis|언어=en|저널=American Mathematical Monthly|권=109|호=6|쪽=534–543|날짜=2002|issn=0002-9890|doi=10.2307/2695443|mr=1908008|zbl=1098.11005|arxiv=math/0008177}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DivisorFunction|title=Divisor function}}

== 같이 보기 ==
* [[수론적 함수]]
* [[오일러 피 함수]]
* [[유니타리 약수]]

{{위키데이터 속성 추적}}
{{새 사용자 작업에서 제외 (링크 추가)}}

[[분류:약수 함수| ]]
[[분류:수론]]
[[분류:해석적 수론]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]