완전체 문서 원본 보기

{{다른 뜻|디지털 몬스터|수학 용어|일본 완구·애니메이션 《[[디지털 몬스터]]》의 설정}}
[[추상대수학]]에서 '''완전체'''(完全體, {{llang|en|perfect field}})는 그 [[갈루아 이론]]이 특별히 단순한 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 체를 '''완전체'''라고 하며, 완전체가 아닌 체를 '''불완전체'''({{llang|en|imperfect field}})라고 한다.
* <math>K</math>에 대한 기약 다항식은 [[분해 가능 다항식]]하다.
* <math>K</math>의 모든 [[유한 확대]]는 [[분해 가능 확대]]이다.
* <math>K</math>의 모든 [[대수적 확대]]는 [[분해 가능 확대]]이다.
* <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 0이거나, 아니면 표수가 <math>p>0</math>인 경우 모든 <math>a\in K</math>에 대하여 <math>b^p=a</math>인 <math>b</math>가 존재한다.
* <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 0이거나, 아니면 표수가 <math>p>0</math>인 경우 [[프로베니우스 사상]] <math>a\mapsto a^p</math>이 <math>K</math>의 [[자기 동형 사상]]을 이룬다.
{{증명}}
첫째·둘째·셋째 조건은 [[분해 가능 확대]]의 정의에 따라 자명하게 [[동치]]이다. 표수가 <math>p>0</math>인 경우 [[프로베니우스 사상]]은 항상 <math>K</math>의 [[단사 함수|단사]] [[자기 준동형]]이므로, 넷째 조건과 다섯째 조건이 서로 [[동치]]이다.

첫째 조건 ⇒ 넷째 조건. <math>K</math>에 대한 기약 다항식이 [[분해 가능 다항식]]이며, <math>K</math>의 표수가 <math>p>0</math>이며, <math>b\in\bar K</math>이며, <math>b^p\in K</math>일 때, <math>b\in K</math>임을 보이면 충분하다. <math>f\in K[x]</math>가 <math>b</math>의 [[최소 다항식]]이라고 하자. <math>b</math>는 다항식
:<math>(x-b)^p=x^p-b^p\in K[x]</math>
의 근이므로, <math>f(x)</math>는 이 다항식을 나눈다.
:<math>f(x)=(x-b)^n</math>
:<math>1\le n\le p</math>
이라고 하자. <math>f(x)</math>는 기약 다항식이므로, 가정에 따라 [[분해 가능 다항식]]이다. 즉, <math>n=1</math>이다. <math>f\in K[x]</math>이므로, <math>b\in K</math>이다.

넷째 조건 ⇒ 첫째 조건. 만약 <math>K</math>의 표수가 0이라면, 임의의 기약 다항식 <math>f\in K[x]</math>에 대하여, <math>f'\ne0</math>이므로 <math>f</math>는 분해 가능 다항식이다. 이제, <math>K</math>의 표수가 0이며, [[프로베니우스 사상]] <math>a\mapsto a^p</math>이 [[전사 함수]]이며,
:<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\in K[x]</math>
가 임의의 기약 다항식이며, 분해 가능 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면,
:<math>0=f'(x)=a_1+2a_2x+\cdots</math>
이다. <math>i=0,1,2,\dots</math>에 대하여, <math>ia_i=0\in K</math>이므로, <math>p\nmid i</math>일 때 <math>a_i=0</math>이다. 이제, 임의의 <math>j=0,1,2,\dots</math>에 대하여, <math>a_{pj}=b_j^p</math>인 <math>b_j\in K</math>를 잡자. 그렇다면,
:<math>\begin{align}
f(x) & =a_0+a_px^p+a_{2p}x^{2p}+\cdots \\
& =b_0^p+b_1^px^p+b_2^px^{2p}+\cdots \\
& =(b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots)^p
\end{align}
</math>
이다. 이는 <math>f(x)</math>가 기약인 데 모순이다. 따라서, <math>K</math>에 대한 모든 기약 다항식은 [[분해 가능 다항식]]이다.
{{증명 끝}}
보다 일반적으로, 표수가 0이거나, 아니면 양의 소수 표수를 가지며 [[프로베니우스 사상]]이 [[자기 동형 사상]]을 이루는 [[가환환]]을 '''완전환'''(完全環, {{llang|en|perfect ring}})이라고 한다. (이는 [[하이먼 배스]]가 도입한 "완전환" 개념과는 다른 개념이다.)

=== 완전 폐포 ===
양의 표수 <math>p</math>의 체 <math>K</math>에 대하여, <math>K</math>를 포함하는 <math>\bar K</math> 속의 가장 작은 체를 '''완전 폐포'''(完全閉包, {{llang|en|perfect closure}}) <math>K^{p^{-\infty}}</math>라고 한다. 이는 <math>k</math>에 모든 <math>n=1,2,3,\dots</math>에 대한 <math>p^n</math>제곱근을 첨가하여 얻는다.
:<math>K^{p^{-\infty}}=K\left(\bigcup_{n=1}^\infty\{a^{p^{-n}}\colon a\in K\}\right)\subseteq\bar K</math>

보다 일반적으로, [[소수 (수론)|소수]] 표수 <math>p</math>의 [[가환환]] <math>R</math>의 '''완전 폐포''' <math>\iota\colon R\to R^{p^{-\infty}}</math>는 <math>R</math>를 포함하는 가장 작은 완전환이다. 즉, 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시킨다.
:임의의 표수 <math>p</math>의 완전환 <math>S</math> 및 [[환 준동형]] <math>\iota'\colon R\to S</math>에 대하여, <math>\iota'=f\circ\iota</math>가 되는 [[환 준동형]] <math>f\colon R^{p^{-\infty}}\to S</math>가 유일하게 존재한다.
::<math>\begin{matrix}
R^{p^{-\infty}}&\xrightarrow{\exists!}&S\\
\uparrow&\nearrow\\
R
\end{matrix}</math>
이는 항상 존재하며, 체의 경우와 마찬가지로 모든 <math>p^n</math>제곱근들을 첨가하여 얻는다.

== 예 ==
[[대수기하학]]을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다.
* [[체의 표수|표수]]가 0인 [[체 (수학)|체]]는 완전체이다. 따라서, [[실수체]]·[[복소수체]]·[[p진수체]] 등이 모두 완전체이다.
* 모든 [[유한체]] <math>\mathbb F_{p^n}</math> 또한 완전체이다.
* 모든 [[대수적으로 닫힌 체]]는 (표수가 0이 아니더라도) 완전체이다.
완전체가 아닌 체의 예로는 표수가 <math>p</math>인 체 <math>K</math>에 대한 [[유리 함수체]] <math>K(x)</math>가 있다. <math>x\in K(x)</math>의 경우 <math>\sqrt[p]x</math>가 존재하지 않기 때문이다.

== 같이 보기 ==
* [[반완전환]]

== 외부 링크 ==
* {{springer|title=Perfect field}}
* {{매스월드|id=PerfectField|title=Perfect field}}
* {{nlab|id=perfect field|title=Perfect field}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:체론]]