유도 범주 문서 원본 보기

[[호몰로지 대수학]]에서 '''유도 범주'''(誘導範疇, {{llang|en|derived category}})는 [[사슬 복합체]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서, [[호몰로지]]들이 같은 [[사슬 복합체]]들을 서로 [[동형]]으로 간주하도록 변형한 [[범주 (수학)|범주]]이다.<ref>{{서적 인용 | last=Gelfand | first=Sergei I. | 이름2=Yuri Ivanovich | 성2=Manin | 저자링크2=유리 마닌 | title=Methods of Homological Algebra | publisher=Springer | isbn=978-3-540-43583-9 | mr=1950475 | 날짜=2003 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | last=Kashiwara | first=Masaki | 이름2=Pierre |성2=Schapira | title=Categories and Sheaves | publisher=Springer-Verlag | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | issn=0072-7830 | isbn=978-3-540-27949-5 | mr=2182076 | zbl=1118.18001 | 날짜=2006| doi=10.1007/3-540-27950-4 | 언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 사슬 호모토피 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 두 (공)사슬 복합체 <math>C</math>, <math>D</math> 사이의 두 (공)사슬 사상 <math>f,g\colon C\to D</math> 사이의 '''(공)사슬 [[호모토피]]'''({{llang|en|(co)chain homotopy}})는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나,  이 정의들은 서로 [[동치]]이다.

같은 [[정의역]]과 [[공역]]을 갖는 두 (공)사슬 사상 사이에 (공)사슬 호모토피가 존재한다면, 이를 서로 '''[[호모토픽]]'''한 (공)사슬 사상이라고 한다. 호모토픽 관계는 [[동치 관계]]이다. 모든 원소를 0으로 대응시키는 상수 (공)사슬 사상 <math>0\in\hom_{\operatorname{Ch}(\mathcal A)}(C,D)</math>과 호모토픽한 (공)사슬 사상은 '''[[널호모토픽]]''' (공)사슬 사상이라고 한다.

호모토픽 관계는 사슬 사상 집합의 [[아벨 군]] 구조와 호환되며, 특히 널호모토픽한 사슬 사상들의 부분 집합은 [[부분군]]을 이룬다. 두 사슬 사상 <math>f,g\colon C\to D</math>이 서로 호모토픽하다는 것은 두 사슬 사상의 차 <math>f-g</math>가 널호모토픽하다는 것과 [[동치]]이다. 사슬 사상 집합의 호모토픽 관계에 대한 [[동치류]]들은 모든 사슬 사상들로 구성된 [[아벨 군]]의, [[널호모토픽]] 사슬 사상으로 구성된 [[부분군]]에 대한 [[몫군]]이다.

사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 '''사슬 복합체 호모토피 범주'''({{llang|en|homotopy category of chain complexes}}) <math>K(\mathcal A)</math>라고 한다. 이 범주에서 약한 동치를 [[국소화 (범주론)|국소화]]하면 [[유도 범주]] <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>를 얻는다.

==== 사슬 호모토피의 구체적 정의 ====
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 두 사슬 복합체 <math>C</math>, <math>D</math> 사이의 두 사슬 사상 <math>f,g\colon C\to D</math> 사이의 '''사슬 호모토피''' <Math>h \colon f \Rightarrow g</math>는 다음과 같은 같은 데이터로 주어진다.
* 각 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\mathcal A</math> 속의 사상 <math>h_i\colon C_i\to D_{i+1}</math>. (※이는 사슬 사상 <math>C[1]\to D</math>를 일반적으로 이루지 않는다.)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>f_i-g_i=\partial^D_i\circ h_i+h_{i-1}\circ\partial^C_i</math>

이를 공사슬 복합체의 언어로 번역하면 다음과 같다. [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 두 공사슬 복합체 <math>C^\bullet</math>, <math>D^\bullet</math> 사이의 두 공사슬 사상 <math>f,g\colon C^\bullet\to D^\bullet</math> 사이의 '''공사슬 [[호모토피]]'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 <math>i\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\mathcal A</math> 속의 사상 <math>h^i\colon C^i\to D^{i-1}</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>f^i-g^i=\mathrm d_D^{i-1}\circ h^i+h^{i+1}\circ\mathrm d_C^i</math>

==== 사슬 호모토피의 추상적 정의 (왼쪽 호모토피) ====
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 사슬 복합체 <math>C</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 '''기둥 사슬 복합체'''({{llang|en|cylinder chain complex}})를 정의하자.
:<math>\operatorname{Cyl}(C)_\bullet \in \operatorname{Ch}(\mathcal A)</math>
:<math>\operatorname{Cyl}(C)_n = C_n \oplus C_n \oplus C_{n-1}</math>
:<math>\partial^{\operatorname{Cyl}(C)}_n \colon C_n \oplus C_n \oplus C_{n-1} \to C_{n-1} \oplus C_{n-1} \oplus C_{n-2}</math>
:<math>\partial^{\operatorname{Cyl}(C)}_n = \begin{pmatrix}
\partial_n^C & 0 & 1\\
0 & \partial_{n-1}^C & -1\\
0 & 0 & -\partial_{n-2}^C
\end{pmatrix}</math>
(여기서 2×2 행렬은 2×1 열벡터 위에 작용하며, 열벡터의 첫 성분은 <math>C_n</math>, 둘째 성분은 <math>C_{n-1}</math>이다. 마찬가지로, 행렬을 곱하여 얻는 열벡터의 첫 성분은 <math>C_{n-1}</math>, 둘째 성분은 <math>C_{n-2}</math>이다.)

여기에는 자연스러운 포함 사상
:<math>\iota, \iota' \colon C \to \operatorname{Cyl}(C)</math>
:<math>\iota = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math>
:<math>\iota' = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math>
이 주어진다.

임의의 두 사슬 복합체 <math>C</math>, <math>D</math> 사이의 두 사슬 사상 <math>f,g\colon C\to D</math> 사이의 '''사슬 호모토피'''는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상 <math>h \colon \operatorname{Cyl}(C) \to D</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
C &\overset{\iota}\to & \operatorname{Cyl}(C) & \overset{\iota'}\leftarrow & C \\
\| & & {\color{White}\scriptstyle h}\downarrow{\scriptstyle h} && \| \\
C & \underset f\to & D & \underset g\leftarrow & C \\
\end{matrix}</math>

(이 정의는 사슬 복합체의 [[모형 범주]]에서의 왼쪽 [[호모토피]]의 정의를 풀어 쓴 것이다.)

==== 사슬 호모토피의 추상적 정의 (오른쪽 호모토피) ====
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 사슬 복합체 <math>D</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 '''경로 사슬 복합체'''(經路사슬複合體, {{llang|en|path chain complex}})를 정의하자.
:<math>\operatorname{Path}_n(D) = D_n \oplus D_n \oplus D_{n+1}</math>
:<math>\partial_n^{\operatorname{Path}(D)} = \begin{pmatrix}
\partial^D_n & 0 & (-)^n \\
0 & \partial^D_n & (-)^{n+1} \\
0 & 0 & \partial^D_{n+1}
\end{pmatrix}</math>
여기에는 자연스러운 사상
:<math>\pi,\pi'\colon \operatorname{Path}(D)\to D</math>
:<math>\pi = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>\pi' = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
이 존재한다.

임의의 두 사슬 복합체 <math>C</math>, <math>D</math> 사이의 두 사슬 사상 <math>f,g\colon C\to D</math> 사이의 '''사슬 호모토피'''는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상 <math>h \colon C \to \operatorname{Path}(D) </math>이다.
:<math>\begin{matrix}
D &\overset f\leftarrow & C & \overset g\to & D \\
\| & & {\color{White}\scriptstyle h}\downarrow{\scriptstyle h} && \| \\
D & \underset\pi\leftarrow & \operatorname{Path}(D) & \underset{\pi'}\to & D \\
\end{matrix}</math>

(이 정의는 사슬 복합체의 [[모형 범주]]에서의 오른쪽 [[호모토피]]의 정의를 풀어 쓴 것이다.)

==== 구간 사슬 복합체를 통한 사슬 호모토피의 정의 ====
[[가군]] 범주에서, 위 정의는 다음과 같이 더 깔끔하게 표현될 수 있다. <math>\mathcal A = {}_A\operatorname{Mod}_A = {}_{A\otimes_KA}\operatorname{Mod}</math>가 어떤 [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math> 위의 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]들의 [[아벨 범주]]라고 하자. 이제, 다음과 같은 '''구간 사슬 복합체'''({{llang|en|interval chain complex}}) <math>I_\bullet </math>를 정의할 수 있다.
:<math>I_n = \begin{cases}
0 & n \not\in\{0,1\} \\
A & n = 1 \\
A\oplus A & n = 0
\end{cases}</math>
:<math>\partial_1 \colon A \to A\oplus A</math>
:<math>\partial_1 = \binom 1{-1}</math>
또한, 자명한 사슬 복합체
:<math>1_n = \begin{cases}
0 & n \ne 0 \\
A & n = 0
\end{cases}</math>
을 정의하자. (이는 텐서곱의 항등원이다.) 그렇다면, 두 개의 자명한 사슬 사상
:<math>\binom10, \binom01 \colon 1_\bullet \to I_\bullet</math>
이 존재한다. (기호 <math>\textstyle\binom10</math>와 <math>\textstyle\binom01</math>는 등급 0의 성분의 2×1행렬 표현이다.) 이제,
:<math>\operatorname{Cyl}_\bullet(C) = I\otimes_\bullet C</math>
:<math>\operatorname{Path}_\bullet(D) = \hom_\bullet(I,D)</math>
임을 쉽게 확인할 수 있다.

그렇다면, 사슬 사상 <math>f,g\colon C\to C</math> 사이의 '''사슬 호모토피'''는 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상
:<math>h \colon I\otimes C \to D</math>
이다.
:<math>\begin{matrix}
1\otimes C &\overset{\binom10}\to & I\otimes C & \overset{\binom01}\leftarrow & 1\otimes C\\
\| & & {\color{White}\scriptstyle h}\downarrow{\scriptstyle h} && \| \\
C & \underset f\to & D & \underset g\leftarrow & C \\
\end{matrix}</math>

=== 유도 범주의 일반적 정의 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>가 있다고 하자. 그렇다면, 그 '''유도 범주''' <math>\operatorname D(\mathcal C)</math>는 다음과 같은 범주이다.
* <math>\operatorname D(\mathcal C)</math>의 대상들은 <math>\mathcal C</math>의 [[사슬 복합체]]들이다. 즉, 대상들은 사슬 복합체의 범주 <math>\operatorname{Comp}(\mathcal C)</math>와 같다.
* <math>\operatorname D(\mathcal C)</math>의, 사슬 복합체 <math>C_\bullet</math>, <math>D_\bullet</math> 사이의 사상은 <math>C_\bullet\xleftarrow{q_\bullet}E_\bullet\xrightarrow{f_\bullet}D_\bullet</math>와 같은 꼴의 두 사슬 사상들 <math>q_\bullet\colon E_\bullet\to C_\bullet</math>, <math>f_\bullet\colon E_\bullet\to D_\bullet</math>의 [[순서쌍]] <math>(q_\bullet,f_\bullet)=f_\bullet q_\bullet^{-1}</math>의 [[동치류]]이다. 여기서
** <math>q_\bullet\colon E_\bullet\to C_\bullet</math>은 '''[[유사동형]]'''({{llang|en|quasi-isomorphism}})이다. 즉, <math>q_\bullet</math>로 유도되는, 호몰로지 사이의 사상 <math>q_\bullet^*\colon H_\bullet(E)\to H_\bullet(C)</math>이 [[동형사상]]이다.
** <math>f_\bullet\colon E_\bullet\to D_\bullet</math>는 임의의 사슬 사상이다.
** 서로 다른 두 순서쌍 <math>f_\bullet q_\bullet^{-1}</math>, <math>f'_\bullet q_\bullet'^{-1}</math>가 서로 [[호모토픽]]하다면 서로 동치라고 한다. 즉, 만약 <math>C_\bullet\xleftarrow{q_\bullet}E_\bullet\xrightarrow{f_\bullet}D_\bullet</math>와 <math>C_\bullet\xleftarrow{q'_\bullet}E'_\bullet\xrightarrow{f'_\bullet}D_\bullet</math>가 다음을 만족시킨다면, 같은 동치류에 속한다.
*** <math>E_\bullet=E'_\bullet</math>
*** <math>f_\bullet</math>와 <math>f'_\bullet</math>는 서로 호모토픽하다.
*** <math>q_\bullet</math>와 <math>q'_\bullet</math>는 서로 호모토픽하다.

이 정의는 다음과 같은, [[집합론]]적인 문제를 야기한다.
* 만약 <math>\mathcal A</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]라면 (즉, 두 대상 사이의 모든 사상들이 [[집합]]을 이룬다면), 그 유도 범주는 [[국소적으로 작은 범주]]가 되지 못할 수 있다.
* 만약 <math>\mathcal A</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]가 아닐 수 있다면 (즉, 두 대상 사이의 모든 사상들이 [[모임 (집합론)|모임]]을 이룬다면), 그 유도 범주의 경우 두 대상 사이의 사상들이 심지어 [[모임 (집합론)|모임]]을 이루지 못할 수 있다.

=== 유도 범주의 모형 범주 이론을 통한 정의 ===
일부 [[아벨 범주]]의 경우, [[모형 범주]]의 이론을 통해 집합론적인 문제를 피할 수 있다. 구체적으로, 만약 아벨 범주 <math>\mathcal A</math> 위의 [[사슬 복합체]] 범주 <math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math> 위에, 다음 조건을 만족시키는 [[모형 범주]] 구조가 존재한다면, 그 [[호모토피 범주]]로서 유도 범주를 구성할 수 있다.
* 약한 동치는 [[유사동형]]이다.
* [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 두 대상 사이의 [[사상 (수학)|사상]]이 [[호모토픽]]할 [[필요 충분 조건]]은 이 둘 사이에 사슬 호모토피가 존재하는 것이다.

==== 사영 모형 구조를 통한 정의 ====
[[사영 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의, 음이 아닌 차수의 [[사슬 복합체]] 범주 <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>에는 다음과 같은 [[모형 범주]] 구조가 존재한다.
{| class=wikitable
! 약한 동치
| 사슬 복합체의 유사동형
|-
! 올뭉치
| 양의 차수에서 각 성분이 [[전사 사상]]인 사슬 사상
|-
! 쌍대올뭉치
| 각 성분이 [[단사 사상]]이며, 각 성분의 [[여핵]]이 [[사영 대상]]인 사슬 사상
|-
! [[올대상]]
| 모든 사슬 복합체
|-
! 올대상 분해
| (원래 사슬 복합체와 같음)
|-
! [[쌍대올대상]]
| 모든 성분이 [[사영 대상]]인 사슬 복합체
|-
! 쌍대올대상 분해
| [[사영 분해]]
|}

아벨 범주 <math>\mathcal A</math>의 음이 아닌 차수 '''유도 범주''' <math>\operatorname D_{\ge0}(\mathcal A)</math>는 <math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>의 위 [[모형 범주]] 구조에 대한 [[호모토피 범주]]이다. 즉, 다음과 같다.
* <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>의 대상은 모든 성분이 [[사영 대상]]인 [[사슬 복합체]]이다.
* 두 [[사슬 복합체]] <math>C_\bullet</math>, <math>D_\bullet</math> 사이의 <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>-사상은 그 사이의 [[사슬 사상]]의 (사슬 호모토피에 대한) [[호모토피류]]이다.

이 경우, 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]를 정의할 수 있다.
:<math>F\colon \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)\to\operatorname D_{\ge0}(\mathcal A)</math>
이는 구체적으로 다음과 같다.
* <math>F</math>는 [[사슬 복합체]] <math>C_\bullet</math>를 이와 [[유사동형]]이며, [[사영 대상]]만으로 구성된 [[사슬 복합체]] <math>\hat C_\bullet</math>로 대응시킨다. 이 유사동형을 <math>s_C \colon \hat C_\bullet\to C_\bullet</math>라고 하자.
* <math>F</math>는 두 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 <math>f\colon C_\bullet\to D_\bullet</math>를, <math>f\circ s_C = s_D \circ \hat f </math>인 <math>\hat f\colon \hat C_\bullet\to \hat D_\bullet</math>로 대응시킨다.

==== 단사 모형 구조를 통한 정의 ====
마찬가지로, [[단사 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 <math>\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)</math>에는 다음과 같은 [[모형 범주]] 구조가 존재한다.
{| class=wikitable
! 약한 동치
| 공사슬 복합체의 유사동형
|-
! 올뭉치
| 각 성분이 [[전사 사상]]이며, 각 성분의  [[핵 (범주론)|핵]]이 [[단사 대상]]인 공사슬 사상
|-
! 쌍대올뭉치
| 양의 차수에서 각 성분이 [[단사 사상]]인 공사슬 사상
|-
! [[올대상]]
| 모든 성분이 [[단사 대상]]인 공사슬 복합체
|-
! 올대상 분해
| [[단사 분해]]
|-
! [[쌍대올대상]]
| 모든 공사슬 복합체
|-
! 쌍대올대상 분해
| (원래 사슬 복합체와 같음)
|}

아벨 범주 <math>\mathcal A</math>의 '''유도 범주''' <math>\operatorname D^{\ge0}(\mathcal A)</math>는 <math>\operatorname{Ch}^\bullet(\mathcal A)</math>의 위 [[모형 범주]] 구조에 대한 [[호모토피 범주]]이다. 즉, 다음과 같다.
* <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>의 대상은 모든 성분이 [[단사 대상]]인 [[공사슬 복합체]]이다.
* 두 [[공사슬 복합체]] <math>C^\bullet</math>, <math>D^\bullet</math> 사이의 <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>-사상은 그 사이의 [[사슬 사상]]의 (공사슬 호모토피에 대한) [[호모토피류]]이다.

이 경우, 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]를 정의할 수 있다.
:<math>F\colon \operatorname{Ch}^\bullet(\mathcal A)\to\operatorname D^{\ge0}(\mathcal A)</math>
이는 구체적으로 다음과 같다.
* <math>F</math>는 [[공사슬 복합체]] <math>C^\bullet</math>를 이와 [[유사동형]]이며, [[단사 대상]]만으로 구성된 [[공사슬 복합체]] <math>\hat C^\bullet</math>로 대응시킨다. 이 [[유사동형]]을 <math>r_C \colon C^\bullet\to \hat C^\bullet</math>라고 하자.
* <math>F</math>는 두 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 <math>f\colon C^\bullet\to D^\bullet</math>를, <math>r_D\circ f = \hat f \circ r_C</math>인 <math>\hat f\colon \hat C^\bullet\to \hat D^\bullet</math>로 대응시킨다.

==== 비(非)유계 차수 유도 범주 ====
위의 두 구성은 유도 범주 <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>의 특별한 부분 범주 <math>\operatorname D_{\le0}(\mathcal A)</math>, <math>\operatorname D_{\ge0}(\mathcal A)</math>들을 정의한다. 만약 모든 정수 등급을 가질 수 있는 유도 범주 <Math>\operatorname D(\mathcal A)</math>를 정의하려면, 다음과 같은 경우들이 알려져 있다.
*  만약 [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>가 [[그로텐디크 아벨 범주]]라면, 모든 [[사슬 복합체]]의 범주 <math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math> 위에, 그 유도 범주를 [[호모토피 범주]]로 갖는 [[모형 범주]] 구조가 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=Sheafifiable homotopy model categories|이름=Tibor|성=Beke|arxiv=math/0102087|doi=10.1017/S0305004100004722|저널=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|권=129|호=3|쪽=447–475|날짜=2000|bibcode=2000MPCPS.129..447B|언어=en}}</ref>{{rp|Proposition 3.13}} 이는 '''단사 모형 구조'''({{llang|en|injective model structure}})라고 한다.<ref name="Hovey01">{{저널 인용|제목=Model category structures on chain complexes of sheaves | 이름=Mark|성=Hovey  | arxiv=math/9909024 | bibcode=1999math......9024H| 날짜=2001-06 | zbl= 0969.18010 | mr=1814077 | jstor=221954 | 저널=Transactions of the American Mathematical Society | 권=353|호=6|쪽=2441–2457|doi=10.1090/S0002-9947-01-02721-0 |언어=en}}</ref>{{rp|2441}} 그러나 이 모형 구조는 대체로 [[텐서곱]]과 잘 호환되지 못한다. 예를 들어, 가환환 위의 [[가군]] 범주의 사슬 복합체 범주에 단사 모형 구조를 부여하면, 이는 모노이드 모형 범주를 이루지 못한다.
::{| class=wikitable
! 개념 !! 정의
|-
! 약한 동치
| [[유사동형]]
|-
! 쌍대올뭉치
| [[단사 사상]]
|}
* [[환 (수학)|환]] <math>K</math> 위의 [[왼쪽 가군]]의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math> 위에는 다음과 같은 '''표준 모형 구조'''({{llang|en|standard model structure}})라는 모형 범주 구조가 존재한다.<ref name="Hovey">{{서적 인용|이름=Mark | 성=Hovey| 제목=Model categories | doi=10.1090/surv/063 | 총서=Mathematical Surveys and Monographs | 권=63|isbn= 978-0-8218-4361-1| mr=1650134|날짜=1999|언어=en}}</ref>{{rp|41, Definition 2.3.3}}
::{| class="wikitable"
! 개념 !! 사상 <math>f\colon C_\bullet\to D_\bullet</math>에 대한 정의
|-
! 약한 동치
| [[유사동형]]: <math>f_*\colon\operatorname H_\bullet(C)\to\operatorname H_\bullet(D)</math>는 [[사슬 복합체]]의 동형
|-
! 올뭉치
| 모든 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>f_n</math>이 [[전사 함수]]<ref name="Hovey"/>{{rp|41, Proposition 2.3.4}}
|-
! 자명한 쌍대올뭉치
| <math>\ker_\bullet f</math>가 [[사영 대상]]인 [[사슬 복합체]]이며, 모든 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>f_n</math>이 [[단사 함수]]<ref name="Hovey"/>{{rp|44, Proposition 2.3.10}}
|}
:또한, 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면 이는 텐서곱에 대하여 모노이드 모형 범주를 이룬다.<ref name="Hovey"/>{{rp|111, Proposition 4.2.13}}
* 특별한 [[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 [[가군층]] [[아벨 범주]]  <math>\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}</math>의 사슬 복합체 범주 위에는 (텐서곱에 대한) 모노이드 모형 범주 구조가 존재한다.<ref name="Hovey"/>{{rp|1452–1453, Corollary 3.7}}
* <math>(X,\mathcal O_X)</math>가 [[콤팩트 공간]]인 [[분리 스킴]]일 때, 그 위의 [[준연접층]]의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{QCoh}(X)</math> 위의 [[사슬 복합체]] 범주 <math>\operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{QCoh}(X))</math> 위에는 (텐서곱에 대한) 모노이드 모형 범주 구조가 존재한다.<ref>{{저널 인용|url=https://phobos.ramapo.edu/~jgillesp/updated%20qcsheaf.pdf|제목=Kaplansky classes and derived categories|날짜=2007-12|doi=10.1007/s00209-007-0148-x|zbl=Mathematische Zeitschrift|권=257|호=4|쪽=811–843|이름=James | 성=Gillespie|zbl=1134.55016|언어=en}}</ref>

== 연산 ==
두 [[아벨 범주]] <math>\mathcal A,\mathcal B</math> 사이의 함자 <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>의 오른쪽 [[유도 함자]] <math>\operatorname R^iF</math>는 어떤 대상 <math>X\in\mathcal A</math>를 그 단사 분해
:<math>0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots</math>
의 [[상 (수학)|상]]
:<math>0\to F(X)\to F(I^0)\to F(I^1)\to F(I^2)\to\cdots</math>
의 [[코호몰로지]]
:<math>\operatorname R^iF(X)=\frac{\ker(F(I^i)\to F(I^{i+1}))}{\operatorname{im}(F(I^{i-1})\to F(I^i))}</math>
로 대응시킨다. 이는 <math>\mathcal A</math>에서 <math>\operatorname{Comp}(\mathcal B)</math>로 가는 “함자”의 [[코호몰로지]]로 생각할 수 있는데, 사실 이러한 함자는 (단사 분해가 유일하지 않으므로) 존재하지 않는다. 이에 반해, [[유도 함자]] 사이에는 다음 성질을 만족시키는 '''전체 유도 함자'''(全體誘導函子, {{llang|en|total derived functor}}) <math>\operatorname RF\colon\operatorname D(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal B)</math>가 존재한다.
:<math>\operatorname R^iF(X)=\operatorname H^i(\operatorname RF(X))</math>
즉, <math>i</math>번째 유도 함자는 전체 유도 함자의 <math>i</math>번째 코호몰로지가 된다.

== 성질 ==
[[아벨 범주]]의 유도 범주는 일반적으로 [[아벨 범주]]가 아니지만, [[삼각 분할 범주]]이며 따라서 [[가법 범주]]이다.

모든 [[유사동형]]은 [[호모토피]]이므로, [[사슬 복합체]]의 범주 <math>\operatorname{Comp}(\mathcal C)</math>에서 유도 범주 <math>\operatorname{D}(\mathcal C)</math>로 가는 표준적(canonical) [[함자 (수학)|함자]] <math>\operatorname{Comp}(\mathcal C)\to\operatorname{D}(\mathcal C)</math>가 존재한다.

=== 삼각 분할 범주 구조 ===
유도 범주 <math>\operatorname{D}(\mathcal A)</math>는 자연스럽게 [[삼각 분할 범주]]를 이룬다.

사슬 사상 <math>f\colon C\to D</math>의 '''사상뿔'''({{llang|en|mapping cone}}) <math>\operatorname{cone}f\in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>을 다음과 같이 정의하자.
:<math>(\operatorname{cone}f)_\bullet=(C[1]\oplus D)_\bullet=C_{\bullet-1}\oplus D_\bullet</math>
:<math>\partial^{\operatorname{cone}f}=\begin{pmatrix}
\partial^C&0\\
f[1]&\partial^D
\end{pmatrix}</math>
여기서, 사상뿔의 경계 사상은 열벡터 <math>\textstyle\binom cd\;(c\in C[1]_\bullet=C_{\bullet-1},\;d\in D_\bullet)</math> 위에 작용하는 2×2 [[행렬]]이다.

그렇다면, 현수 <math>C\to C[1]</math>를 자기 동치로, 사상뿔을 특별 삼각형으로 삼으면 <math>\operatorname{D}_\bullet(\mathcal A)</math>는 [[삼각 분할 범주]]를 이룬다.

== 역사 ==
유도 범주의 개념은 1960년대에 [[알렉산더 그로텐디크]]와 그 제자 [[장루이 베르디에]]가 도입하였다. 베르디에는 박사 학위 논문에서 유도 범주의 이론을 집대성하였다.<ref>{{저널 인용  | last=Verdier | first=Jean-Louis | 저자링크=장루이 베르디에 | title=Des catégories dérivées des catégories abéliennes | publisher=Société Mathématique de France | 언어 = fr | 저널=Astérisque | issn=0303-1179 | 권=239 | mr=1453167 | 날짜=1996 }}</ref> (같은 논문에서 베르디에는 [[삼각 분할 범주]]의 개념을 함께 도입하였다.) 이 박사 학위 논문은 오랫동안 출판이 지연되다가, 1996년에 출판되었다.

== 같이 보기 ==
* [[연접층 코호몰로지]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Derived category}}
* {{매스월드|id=ChainHomotopy|title=Chain homotopy}}
* {{nlab|id=derived category|title=Derived category}}
* {{nlab|id=chain homotopy|title=Chain homotopy}}
* {{nlab|id=homotopy category of chain complexes|title=Homotopy category of chain complexes}}
* {{nlab|id=model structure on chain complexes|title=Model structure on chain complexes}}
* {{nlab|id=homotopically injective object|title=Homotopically injective object}}
* {{nlab|id=derived category of coherent sheaves|title=Derived category of coherent sheaves}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/372/derived-categories-and-homotopy-categories|제목=Derived categories and homotopy categories|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:범주론]]