유리 사상 문서 원본 보기

{{다른 뜻|유리 함수|[[대수다양체]] 사이의 사상|두 다항 함수의 비}}
[[대수기하학]]에서 '''유리 사상'''(有理寫像, {{llang|en|rational map}})은 “거의 어디서나” (즉, [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합|열린]] 부분 스킴)에서 정의되는 [[스킴 사상]]이다. 이를 통해, '''쌍유리 동치'''(雙有理同値, {{llang|en|birationally equivalent}}), 즉 두 스킴의 “거의 어디서나” 동형의 개념을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
=== 유리 사상 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>Y</math>
* <math>X</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합|열린]] 부분 스킴 <math>U,U'\subseteq X</math>
* [[연속 함수]] <math>f\colon U\to Y</math>, <Math>f'\colon U'\to Y</math>
만약 다음 조건을 만족시키는 <math>V</math>가 존재한다면, <math>f</math>와 <math>f'</math>이 서로 '''유리 동치'''라고 하자.
* <math>V</math>는 <math>X</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합|열린]] 부분 스킴이다.
* <math>V\subseteq U\cap U'</math>이다.
* ([[스킴 사상]]으로서) <math>f\restriction V=f'\restriction V</math>이다.
<math>X</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합|열린]] 부분 스킴을 [[정의역]]으로 하고,  <math>Y</math>를 [[공역]]으로 하는 <math>\mathcal S</math>-[[스킴 사상]]들의 집합 <math>\mathcal S_{X,Y}</math>를 생각하자. 그렇다면, 위 관계는 <math>\mathcal S_{X,Y}</math> 위의 [[동치 관계]]를 이룬다. 이에 대한 [[몫집합]] <math>\mathcal S_{X,Y}/\sim</math>의 원소를 <math>X\to Y</math> '''유리 사상'''이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|23}}

스킴 <math>X</math> 위의 '''항등 유리 사상'''은 <math>\operatorname{id}_X\colon X\to X</math>의 [[동치류]]이다.

=== 우세 유리 사상 ===
일반적으로, 유리 사상은 합성할 수 없다. 이 문제를 해결하려면, '''우세 유리 사상'''의 개념을 도입해야 한다.

두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 그 [[치역]]이 [[공역]] <math>Y</math>의 [[조밀 집합]]이라면, <math>f</math>를 '''우세 함수'''({{llang|en|dominant map}})라고 한다.

두 스킴 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 유리 사상 <math>[f]</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 유리 사상을 '''우세 유리 사상'''(優勢有理寫像, {{llang|en|dominant rational map}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|23}}
* 동치류 <math>[f]</math>의 원소 가운데 적어도 하나 <math>f\colon U\to Y</math>에 대하여, <math>f</math>는 우세 함수이다.
* 동치류 <math>[f]</math>의 모든 원소는 우세 함수이다.
두 [[기약 스킴]] 사이의 우세 유리 사상은 합성이 가능하며, 항등 유리 사상은 우세 유리 사상이다. 따라서, [[기약 스킴]]과 우세 유리 사상들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여,  <math>K</math>-대수다양체와 우세 유리 사상들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이룬다.

=== 쌍유리 사상 ===
[[기약 스킴]]과 우세 유리 사상의 범주의 [[동형 사상]]을 '''쌍유리 사상'''(雙有理寫像, {{llang|en|birational map}})이라고 한다. 마찬가지로, [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, <math>K</math>-대수다양체와 우세 유리 사상의 범주의 [[동형 사상]]을 <math>K</math>-'''쌍유리 사상'''이라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|24}}

=== 쌍유리 동치 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, 두 <math>K</math>-대수다양체 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이에 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며,<ref name="Hartshorne"/>{{rp|26, Corollary 4.5}} 이를 만족시키는 두 대수다양체를 서로 '''쌍유리 동치'''(雙有理同値, {{llang|en|birationally equivalent}})라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|24}}
* <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이에 쌍유리 사상이 존재한다.
* 서로 [[동형]]인 ([[자리스키 위상|자리스키]]) [[열린 집합]] <math>\tilde X\subset X</math>, <math>\tilde Y\subset Y</math>가 존재한다.
* <math>X</math> 위의 [[유리 함수층|유리 함수체]] <math>\mathcal K_X(X)</math>와 <math>Y</math> 위의 [[유리 함수층|유리 함수체]] <math>\mathcal K_Y(Y)</math>는 <math>K</math>-대수로서 서로 동형이다.

== 예 ==
[[부풀리기]]는 쌍유리 사상이지만, 대수다양체의 동형이 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[부풀리기]]
* [[유리 함수층]]
* [[극소 모형 프로그램]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Birational morphism}}
* {{eom|title=Birational geometry}}
* {{eom|title=Birational transformation}}
* {{eom|title=Birational mapping}}
* {{매스월드|id=BirationalTransformation|title=Birational transformation}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:대수기하학]]