유리 함수층 문서 원본 보기

[[대수기하학]]에서 '''유리 함수층'''(有理函數層, {{llang|en|sheaf of rational functions}})는 어떤 [[대수다양체]] 위에 존재하는 [[유리 함수]]들로 구성된 [[층 (수학)|층]]이다.

== 정의 ==
=== 정역 스킴의 경우 ===
[[정역 스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 '''유리 함수층''' <math>\mathcal K_X</math>는 다음과 같은 [[체 (수학)|체]] 값을 갖는 [[층 (수학)|층]]이다. 임의의 [[공집합]]이 아닌 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>\Gamma(U;\mathcal K_X)=\operatorname{Frac}(\Gamma(U;\mathcal O_X))</math>
즉, 각 [[열린집합]]에 대응하는 정칙 함수들의 [[정역]]에 [[분수체]]를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 [[자명환]]이다.
:<math>\Gamma(\varnothing;\mathcal K_X)=0</math>

=== 일반적 스킴의 경우 ===
임의의 [[국소환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>의 '''유리 함수층''' <math>\mathcal K_X</math>는 다음과 같이 정의한다.<ref name="Kleiman">{{저널 인용|성=Kleiman|이름=Steven|제목=Misconceptions about ''K''<sub>''X''</sub>|저널=L’Enseignement Mathématique|권=25|날짜=1979|쪽=203–206|doi=10.5169/seals-50379|언어=en}}</ref><ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer-Verlag| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|140–141, §II.6}}

각 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math> 및 <math>x\in U</math>에 대하여, [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>로 가는 표준적인 제약 사상
:<math>\operatorname{res}_{U,x}\colon\Gamma(U,\mathcal O_X)\to\mathcal O_{X,x}</math>
이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.
:<math>S_U=\left\{f\in\Gamma(U;\mathcal O_X)\colon \operatorname{res}_{U,x}(f)\in\operatorname{Reg}(\mathcal O_{X,x})\right\}
=\bigcap_{x\in U}\operatorname{res}_{U,x}^{-1}\left(\operatorname{Reg}(\mathcal O_{X,x})\right)\subset\Gamma(U;\mathcal O_X)</math>
여기서 <math>\operatorname{Reg}(-)</math>는 [[가환환]]에서 [[영인자]]가 아닌 원소들의 곱셈 [[모노이드]]이다. 이는 곱셈 [[모노이드]]들의 [[교집합]]이므로 역시 곱셈 [[모노이드]]를 이룬다.

그렇다면 <math>X</math> 위의 [[준층]] <math>\tilde{\mathcal K}_X</math>를 다음과 같은 [[국소화 (환론)|국소화]]로 정의하자.
:<math>\Gamma(U;\tilde{\mathcal K}_X)=S_U^{-1}\Gamma(U;\mathcal O_X)</math>
여기서 <math>S_U^{-1}</math>은 [[국소화 (환론)|국소화]]이다. 이 경우, 제약 사상은 [[국소화 (환론)|국소화]]로 유도되는 자연스러운 사상들이다. <math>X</math> 위의 '''유리 함수층''' <math>\mathcal K_X</math>는 [[준층]] <math>\tilde{\mathcal K}_X</math>의 [[층화]]이며, 이는 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]]을 이룬다.

임의의 [[스킴 (수학)|스킴]] 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 [[체 (수학)|체]]를 이루지 않을 수 있다.

== 성질 ==
=== 줄기 ===
<math>X</math>가 [[국소 뇌터 스킴]]이거나, 또는 [[축소 스킴]]이며 그 [[기약 공간|기약 성분]]의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 <math>x</math>에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 [[줄기 (수학)|줄기]]는 구조층의 줄기의 [[전분수환]]과 같다.<ref name="Kleiman"/>{{rp|205}}<ref name="Liu"/>{{rp|Lemma 7.1.12b}}
:<math>\mathcal K_{X,x}=\operatorname{Frac}(\mathcal O_{X,x})</math>

=== 아핀 스킴의 유리 함수층 ===
[[가환환]] <math>R</math>에 대하여, [[전분수환]] <math>\operatorname{Frac}(R)</math>에서 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 [[환 준동형]]
:<math>\operatorname{Frac}(R)\to\Gamma(\operatorname{Spec}R;\mathcal K_{\operatorname{Spec}R})</math>
이 존재하며, 이는 항상 [[단사 함수]]이다.<ref name="Liu">{{서적 인용
 |이름       = Qing
 |성          = Liu
 |날짜       = 2006-06-29
 |제목       = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |기타       = Reinie Erne 역
 |총서       = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume       = 6
 |출판사    = Oxford University Press
 |isbn         = 978-0-19-920249-2
 |zbl          = 1103.14001
 |mr           = 1917232
 |판          = 2
 |url          = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2016-05-01
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜 = 2016-03-05
 |url-status = dead
}}</ref>{{rp|Remark 7.1.14}}

만약 <math>R</math>가 [[뇌터 환]]이거나, 또는 유한 개의 [[극소 소 아이디얼]]들을 갖는 [[축소환]]이라면, 이는 환의 [[동형 사상]]을 이룬다.<ref name="Liu"/>{{rp|Lemma 7.1.12b}} 그러나 일반적으로 이는 [[동형 사상]]이 아니다.

=== 코호몰로지 ===
[[국소환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위에는 다음과 같은 [[아벨 군]] [[층 (수학)|층]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to\mathcal O_X^\times\to\mathcal K_X^\times\to\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times\to1</math>
여기서 <math>(-)^\times</math>는 [[가역원층]]을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 [[층 코호몰로지]] [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to\Gamma(X;\mathcal O_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to
\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)
\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^2(X;\mathcal O_X^\times)\to\cdots</math>
여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
* <math>\Gamma(X;\mathcal O_X^\times)</math>: 가역 정칙 함수군
* <math>\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)</math>: 가역 유리 함수군
* <math>\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)</math>: [[카르티에 인자]] 군
* <math>\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)/\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)</math>: [[카르티에 인자]] 유군
* <math>\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)</math>: [[피카르 군]]

== 예 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 0차원 [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^0_K\operatorname{Spec}K=\{(0)\}</math>은 [[한원소 공간]]이며, 이 경우
:<math>\Gamma(\operatorname{Spec}K,\mathcal K_{\operatorname{Spec}K})=K</math>
:<math>\Gamma(\varnothing,\mathcal K_{\operatorname{Spec}K})=0</math>
이다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 아핀 직선 <math>\mathbb A^1_K=\operatorname{Spec}K[x]</math>의 경우,
:<math>\Gamma(\mathbb A^1_K,\mathcal K_{\mathbb A^1_K})=K(x)</math>
이다. 즉, <math>K</math>의 계수의 [[유리 함수]]들의 체이다.

== 역사 ==
[[알렉산더 그로텐디크]]가 1967년에 도입하였으나,<ref name="ÉGA4">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |저자링크 = 알렉산더 그로텐디크
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1967
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 32
 |mr           = 0238860
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_
 |doi          = 10.1007/bf02732123
 |언어       = fr
 |access-date  = 2016-05-03
 |archive-date = 2016-03-03
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160303224653/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_
 |url-status   = dead
}}</ref>{{rp|226–227, Propositions 20.1.1–3}} 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼({{llang|en|Steven Kleiman}})이 1979년에 지적하고 교정하였다.<ref name="Kleiman"/>

== 같이 보기 ==
* [[카르티에 인자]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Rational function}}
* {{nlab|id=sheaf of rational functions|title=Sheaf of rational functions}}
* {{웹 인용|url=http://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=1049|제목=Rational maps|웹사이트=Stacks Project Blog|이름=Johan|성=de Jong|날짜=2010-12-03|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/28553/extra-principal-cartier-divisors-on-non-noetherian-rings-answered-no|제목=Extra principal Cartier divisors on non-Noetherian rings?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:스킴 이론]]
[[분류:층론]]