자유곱 문서 원본 보기

[[추상대수학]]에서 '''자유곱'''(自由곱, {{llang|en|free product}})은 주어진 두 [[대수 구조]]를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. [[대수 구조 다양체]]에서의 [[쌍대곱]]이다. '''융합된 자유곱'''(融合된自由곱, {{llang|en|amalgamated free product}})은 주어진 두 [[대수 구조]]를 포함하되, 주어진 "공통 부분"을 이어 붙이는 가장 일반적인 대수 구조이다. 자유곱의 개념을 일반화하며, [[대수 구조 다양체]]에서의 [[밂 (범주론)|밂]]을 이룬다.

== 정의 ==
=== 자유곱 ===
'''자유곱'''은 [[대수 구조 다양체]]에서의 [[쌍대곱]]이다. 구체적으로, 연산 <math>\{f_i\}_{i\in I}</math>를 갖는 [[대수 구조 다양체]] <math>\mathcal V</math> 속의
두 [[대수 구조]] <math>A,B\in\mathcal V</math>의 '''자유곱''' <math>A*B</math>은 다음과 같다. 우선, [[집합]] <math>A\sqcup B</math>로 생성되는 자유 대수 <math>F(A\sqcup B)\in\mathcal V</math>를 생각하자. 이제, <math>A</math>에서 성립하는 모든 대수적 관계
:<math>p(a_1,a_2,\dots,a_n)=p'(a'_1,p'_2,\dots,p'_{n'})</math>
와 <math>B</math>에서 성립하는 모든 대수적 관계
:<math>q(b_1,b_2,\dots,b_k)=q'(b'_1,b'_2,\dots,b'_{k'})</math>
들의 집합을
:<math>\mathcal I\subseteq F(A\sqcup B)^2</math>
라고 하고, <math>\mathcal I</math>를 포함하는 최소의 [[합동 관계]]를
:<math>{\sim}\subseteq F(A\sqcup B)^2</math>
이라고 하자. 그렇다면
:<math>A*B=F(A\sqcup B)/{\sim}\in\mathcal V</math>
이다.

=== 융합된 자유곱 ===
'''융합된 자유곱'''은 [[대수 구조 다양체]]에서의 [[밂 (범주론)|밂]]이다. 구체적으로, 연산 <math>\{f_i\}_{i\in I}</math>를 갖는 [[대수 구조 다양체]] <math>\mathcal V</math> 속의 두 [[준동형]]
:<math>f\colon C\to A</math>
:<math>g\colon C\to B</math>
의 '''융합된 자유곱''' <math>A*_CB</math>는 다음과 같다. 자유곱 <math>A*B</math> 위에서,
:<math>[f(c)]_\sim\sim'[g(c)]_\sim\qquad\forall c\in C</math>
를 만족하는 최소의 [[동치 관계]]를
:<math>\sim'\subseteq(A*B)^2</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>\sim'</math>은 [[합동 관계]]이며,
:<math>A*_CB=(A*B)/{\sim'}\in\mathcal V</math>
이다.

== 예 ==
=== 군의 자유곱 ===
[[군 (수학)|군]]의 [[대수 구조 다양체]]에서, 2차 [[순환군]]
:<math>\operatorname{Cyc}(2)=\langle S|S^2=1\rangle</math>
및 3차 [[순환군]]
:<math>\operatorname{Cyc}(3)=\langle U|U^3=1\rangle</math>
을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 [[모듈러 군]]이다.
:<math>\operatorname{Cyc}(2)*\operatorname{Cyc}(3)=\langle S,U|S^2=U^3=1\rangle</math>
이 경우, 보통 <math>S^{-1}U=T</math>로 정의한다.

무한 [[정이면체군]]
:<math>\operatorname{Dih}(\infty)=\langle r,s\mid s^2=(rs)^2=1\rangle</math>
은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.
:<math>\operatorname{Dih}(\infty)=\operatorname{Cyc}(2)*\operatorname{Cyc}(2)</math>

=== 환의 자유곱 ===
환의 [[대수 구조 다양체]]에서, 환 <math>\mathbb Z[x]</math>와 <math>\mathbb Z[y]</math>의 자유곱은 [[비가환 다항식환]]
:<math>\mathbb Z[x]*\mathbb Z[y]=\mathbb Z\langle x,y\rangle</math>
이다. 이는 [[텐서 대수]] <math>T(\mathbb Z^2)</math>와 동형이다.

=== 가환환의 자유곱 ===
가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.

가환환의 [[대수 구조 다양체]]에서, 가환환 <math>\mathbb Z[x]</math>와 <math>\mathbb Z[y]</math>의 자유곱은 [[다항식환]]
:<math>\mathbb Z[x]*\mathbb Z[y]=\mathbb Z[x,y]</math>
이다.

=== 자유곱이 자명한 대수 ===
[[아벨 군]] 또는 [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 (왼쪽) [[가군]]의 경우, 유한 자유곱은 [[직접곱]]과 일치한다. 이는 이들 범주가 [[아벨 범주]]이기 때문이다.

[[집합]]의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 [[분리합집합]] <math>\sqcup</math>이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가 <math>s=s</math> 꼴로 자명하기 때문이다.

== 같이 보기 ==
* [[쌍대곱]]
* [[보편 성질]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Free product}}
* {{eom|title=Free product of groups}}
* {{nlab|id=free product of groups|title=Free product of groups}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:군론]]
[[분류:대수적 위상수학]]