정부호 행렬 문서 원본 보기

'''정부호 행렬'''(定符號行列, {{llang|en|definite matrix}}) 또는 '''정치 행렬'''(定置行列)은 [[에르미트 행렬]]의 일종으로, 특정한 성질을 가지는 행렬에 대해 양수/음수와 같이 [[부호 (수학)|부호]]를 정의하는 것으로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
[[에르미트 행렬]]의 [[고윳값]]은 항상 [[실수]]다.  [[에르미트 행렬]] <math>M</math>은 그 [[고윳값]]의 부호에 따라서 다음과 같이 분류한다.<ref>
{{웹 인용|성=Lee|이름=Keon M.|제목=이차 형식과 정부호 행렬|url=http://elearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/Chungbuk/LeeGeonmyeong1/14.pdf|형식=pdf}}</ref>
* 모든 고윳값이 음수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x\ge0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''양의 준정부호 행렬'''(陽-準定符號行列, {{llang|en|positive semi-definite matrix}})이다.
* 모든 고윳값이 양수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x > 0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''양의 정부호 행렬'''(陽-定符號行列, {{llang|en|positive definite matrix}})이다.
* 모든 고윳값이 양수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x\le0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''음의 준정부호 행렬'''(陰-準定符號行列, {{llang|en|negative semi-definite matrix}})이다.
* 모든 고윳값이 음수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x < 0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''음의 정부호 행렬'''(陰-定符號行列, {{llang|en|negative definite matrix}})이다.
* 양의 준정부호 또는 음의 준정부호가 아닌 경우 (즉, 양수 및 음수 고윳값을 둘 다 가진 경우) <math>M</math>은 '''부정부호 행렬'''(不定符號行列, {{llang|en|indefinite matrix}})이다.
실수체에서 정의하는 경우, [[에르미트 행렬]] <math>M</math> 대신 [[대칭행렬]] <math>M</math>, [[켤레전치]] <math>x^*</math>대신 [[전치행렬|전치]] <math>x^T</math>를 사용한다.

=== 비(非)에르미트 행렬의 경우 ===
일부 문헌에서는 에르미트 행렬이 아닐 수 있는 행렬 <math>M</math>에 대해서도 정부호 행렬을 정의하며, 이 경우 <math>x^*Mx</math> 대신 그 [[실수부]] <math>\operatorname{Re}(x^*Mx)</math>를 사용한다. 이 경우 <math>M</math>의 정부호성은 그 에르미트 성분 <math>(M+M^*)/2</math>의 좁은 의미의 정부호성과 동치이다.

== 예제 ==
행렬 <math> M_0 =  \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} </math>은 양의 정부호 행렬이다. 모든 복소수 벡터 <math>x = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1\end{bmatrix}</math>에 대해, <math> \begin{bmatrix} \bar{x_0} & \bar{x_1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1\end{bmatrix}= \bar{x_0}x_0 + \bar{x_1}{x_1}</math>이 되고, <math>x_0</math>이나 <math>x_1</math>이 둘 다 0이 아니라면 이 값은 0보다 크다. 실수 범위에서만 생각할 경우 <math>\bar{x_0}x_0 + \bar{x_1}{x_1} = x_0^2 + x_1^2</math>가 되고, 역시 모든 실수에 대해 동일한 성질이 성립한다.

반면, <math> M_1 =  \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} </math>은 [[부정부호 행렬|부정부호 행렬]]이다. <math>x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}</math>에 대해서 <math>x^* M x = -2</math>가 되기 때문이다.

== 성질 ==
<math>n \times n</math> 복소수 양의 정부호 행렬 <math>M</math>에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다.
* [[고윳값]]이 모두 양수이다.
* 임의의 두 벡터 <math>x, y</math>에 대해 <math><x, y> = x^* M y</math>로 [[내적공간|내적]]을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 [[벡터 공간]] <math>\mathbb{C}^n</math>에서 정의할 수 있는 내적은 모두  양의 정부호 행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다.
* <math>M</math>은 [[그람 행렬]]이다. 즉, 어떠한 [[선형 독립]]인 벡터 <math>x_1, \cdots, x_n</math>가 존재하여, <math>M_{ij} = x_i^*x_j</math>가 성립한다.
* <math>M = L L^*</math>이 성립하는 [[하삼각행렬]] <math>L</math>이 유일하게 존재한다. 이러한 분해를 [[촐레스키 분해]]라고 부른다.

* [[대칭행렬]]의 성질로부터 정부호 행렬의 [[역행렬]]도 동일한 정부호 행렬이다.

== 같이 보기 ==
* [[멱등 행렬]]
* [[부호 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PositiveSemidefiniteMatrix|title=Positive semidefinite matrix}}
* {{매스월드|id=PositiveDefiniteMatrix|title=Positive definite matrix}}
* {{매스월드|id=NegativeSemidefiniteMatrix|title=Negative semidefinite matrix}}
* {{매스월드|id=NegativeDefiniteMatrix|title=Negative definite matrix}}
* {{매스월드|id=IndefiniteMatrix|title=Indefinite matrix}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:행렬]]