정역 문서 원본 보기

{{다른 뜻|정역 (동음이의)}}
{{대수 구조|expanded=환}}
[[가환대수학]]에서 '''정역'''(整域, {{llang|en|integral domain}})은 0이 아닌 [[영인자]]가 존재하지 않는, [[자명환]]이 아닌 [[가환환]]이다. 정역은 [[정수|정수환]]의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 [[분수체]]를 만들 수 있다.

== 정의 ==
임의의 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>(r\cdot)\colon R\to R,\;s\mapsto rs</math>가 [[단사 함수]]일 경우 <math>r</math>를 '''정칙원'''(正則元素, {{llang|en|regular element}})이라고 한다.

(곱셈 항등원을 갖는) [[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 가환환을 '''정역'''이라고 한다.
* <math>R</math>는 다음 두 조건을 만족시킨다.
** ([[영인자]]의 부재) 모든 <math>a,b\in R\setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>ab\ne0</math>이다.
** (비자명성) <math>R</math>는 [[자명환]]이 아니다. 즉, <math>1\ne0</math>이다.
* <math>R\setminus\{0\}</math>이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 [[모노이드]]를 이룬다.
* <math>R</math>의 영 아이디얼이 [[소 아이디얼]]이다.
* <math>R</math>는 [[체 (수학)|체]]의 [[부분환]]과 [[동형]]이다.
* <math>R</math>는 [[자명환]]이 아니며, <math>R</math>의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다.

[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 스킴을 '''정역 스킴'''(整域scheme, {{llang|en|integral scheme}}, {{llang|fr|schéma intègre}})이라고 한다.
* <math>X</math>는 공집합이 아니며, [[공집합]]이 아닌 모든 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린집합]] <math>U</math>에 대하여 <math>\Gamma(U;\mathcal O_X)</math>는 정역이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|82}}
* <math>X</math>는 [[축소 스킴]]이며 [[기약 스킴]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|82, Proposition II.3.1}}
* <math>X</math>는 공집합이 아니며, 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>가 정역이며, <math>X</math>는 [[연결 공간]]이다.<ref name="Liu">{{서적 인용
 |이름       = Qing
 |성          = Liu
 |날짜       = 2006-06-29
 |제목       = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |기타       = Reinie Erne 역
 |총서       = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume       = 6
 |출판사    = Oxford University Press
 |isbn         = 978-0-19-920249-2
 |zbl          = 1103.14001
 |mr           = 1917232
 |판          = 2
 |url          = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2015-03-03
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜 = 2016-03-05
 |url-status = dead
}}</ref>{{rp|66, Exercise 2.4.4}}

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[가환환]] ⊋ 정역 ⊋ [[정수적으로 닫힌 정역]] ⊋ [[크룰 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∪ [[데데킨트 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∩ [[데데킨트 정역]] = [[주 아이디얼 정역]]  ⊋ [[유클리드 정역]]  ⊋ [[체 (수학)|체]]

정역의 [[환의 표수]]는 0이거나 아니면 [[소수 (수론)|소수]]이다. 양의 표수 <math>p>0</math>의 정역의 경우, [[프로베니우스 사상]] <math>x\mapsto x^p</math>은 [[단사 함수]]이다.

정역의 경우, 항상 [[분수체]]를 취할 수 있다.

[[가환환]] <math>R</math> 및 아이디얼 <math>\mathfrak a\subset R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathfrak a</math>가 [[소 아이디얼]]이다.
* <math>R/\mathfrak a</math>가 정역이다.

정역의 [[귀납적 극한]]은 역시 정역이다.

가환환 <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|82, Example II.3.0.1}}<ref name="Liu"/>{{rp|65}}
* <math>R</math>는 정역이다.
* [[아핀 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R</math>는 정역 스킴이다.

[[웨더번 정리]]에 따르면, 모든 [[유한환|유한]] 정역은 [[유한체]]이다.

== 예 ==
[[정수|정수환]] <math>\mathbb Z</math>은 정역을 이룬다. 모든 [[체 (수학)|체]]는 정역을 이룬다. 모든 [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math>은 ([[데데킨트 정역|데데킨트]]) 정역이다.

정수환의 [[몫환]] <math>\mathbb Z/(n^2)</math>의 경우, <math>n\ne0</math>이지만 <math>n\cdot n=0</math>이므로 정역이 아니다.

모든 [[대수다양체]]는 정역 스킴이다.

== 같이 보기 ==
* [[영역 (환론)]]
* [[소환 (환론)]]
* [[분수체]]
* [[영인자]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Integral domain}}
* {{매스월드|id=IntegralDomain|title=Integral domain}}
* {{매스월드|id=IrreducibleElement|title=Irreducible element}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Integral_Domain|제목=Definition: Integral Domain|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
** {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Integral_Domain|제목=Equivalence of Definitions of Integral Domain|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Irreducible_%28Ring_Theory%29|제목=Definition: Irreducible|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-08-28|보존url=https://web.archive.org/web/20130316004953/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Irreducible_(Ring_Theory)#|보존날짜=2013-03-16|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Trivial_Factorization|제목=Definition: Trivial Factorization|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{nlab|id=integral domain|title=Integral domain}}
* {{nlab|id=integral scheme|title=Integral scheme}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Irreducible_element|제목=Irreducible element|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Irreducible_element_not_implies_prime|제목=Irreducible element not implies prime|웹사이트=Commalg|언어=en}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:스킴 이론]]