체비쇼프 다항식 문서 원본 보기

[[수학]]에서 '''체비쇼프 다항식'''(Чебышёв多項式, {{llang|en|Chebyshev polynomial}})은 [[삼각 함수]]의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.<ref>{{서적 인용|성=Rivlin|이름= Theodore J. |제목=The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory|총서=Tracts in Pure and Applied Mathematics|출판사= Wiley-Interscience|날짜=1990|판=2|isbn= 978-047162896-5|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=J. C.|성=Mason|이름2=D. C.|성2=Handscomb|제목=Chebyshev polynomials|출판사=Chapman and Hall/CRC|isbn=978-0-8493-0355-5|doi=10.1201/9781420036114|날짜=2002-09-17|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
([[실수]] <math>n</math>차 [[일계수 다항식]]의 집합을 <math>\mathrm{Mon}(n;\mathbb R)</math>로 적자.)

[[실수]] <math>n</math>차 [[다항식]] <math>\operatorname T_n\in\mathbb R[x]</math>에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>\operatorname T_n</math>을 <math>n</math>차 '''체비쇼프 다항식'''이라고 한다.
* (재귀적 정의) <math>\operatorname T_n(x)=2x\operatorname T_{n-1}(x)-\operatorname T_{n-2}(x)</math>이며, <math>\operatorname T_0(x)=1</math>이며, <math>\operatorname T_1(x)=x</math>이다.
* ([[삼각 함수]] 정의) 항등식 <math>\operatorname T_n(\cos\theta)=\cos n\theta</math>가 성립한다.
* <math>\operatorname T_n</math>은 <math>(-1,1)</math>에서 서로 다른 <math>n</math>개 [[다항식의 근|실근]]을 가지며, <math>[-1,1]</math>에서 [[절댓값]]이 서로 같은 <math>n+1</math>개 [[극값]]을 갖는다.
* (최소 [[상한 노름]])<math>\frac1{2^{n-1}}\max_{x\in[-1,1]}|\operatorname T_n(x)|=\min_{f\in\mathrm{Mon}(n;\mathbb R)}\max_{x\in[-1,1]}|f(x)|</math>
[[드무아브르의 공식]]의 실수부를 비교하면 <math>\cos nx</math>가 <math>\cos x</math>의 <math>n</math>차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 <math>\cos nx</math>, 우변의 실수부는, <math>\cos x</math>와 <math>\sin^2x</math>의 다항식이다.

== 성질 ==
=== 직교성 ===
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 <math>[-1,1]</math>에서 직교한다.
:<math>\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}</math>
즉, 다음이 성립한다.
:<math>\int_{-1}^1\operatorname T_n(x)\operatorname T_m(x)\,\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=0\qquad(n \neq m)</math>

=== 대칭 ===
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.
:<math>\operatorname T_n(-x)=(-1)^n\operatorname T_n(x)</math>

=== 근 ===
<math>n</math>차 체비쇼프 다항식 <math>\operatorname T_n</math>은 [[닫힌구간]] <math>[-1,1]</math> 속에서 <math>n</math>개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.
:<math>x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\qquad(k\in\{1,2,\dotsc,n\})</math>

=== 분지점 ===
체비쇼프 다항식을 복소수 함수
:<math>\operatorname T_n\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1</math>
로 여길 때, <math>n>0</math>의 경우 다음이 성립한다.
* [[분지점]]에서의 값들은 모두 <math>\pm1</math> 또는 <math>\widehat\infty</math>이다.
* 값이 <math>\pm1</math>인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
* <math>\widehat\infty</math>의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 [[나무 (그래프 이론)|나무]]이다.)
예를 들어,
:<math>\operatorname T_2(x)=2x^2-1=2(x-1)(x+1)+1</math>
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 <math>x\in\{0,\widehat\infty\}</math>를 가지며, 그 값은 <math>\operatorname T_2(0)=-1</math> 및 <math>\operatorname T_2(\widehat\infty)=\widehat\infty</math>이다. 마찬가지로,
:<math>\operatorname T_3(x)=4x^3-3x=(x-1)(2x+1)^2+1=(x+1)(2x-1)^2-1</math>
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 <math>x\in\{-1/2,1/2\}</math> 및 분지 지표 3의 분지점 <math>x=\widehat\infty</math>를 가지며, 그 값은 각각 <math>\operatorname T_3(\pm1/2)=\mp1</math> 및 <math>\operatorname T_3(\widehat\infty)=\widehat\infty</math>이다.

이에 따라, <math>\operatorname T_n\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1</math>는 [[벨리 사상]]을 이루며, 이에 대응하는 [[데생당팡]]은 <math>n+1</math>개의 꼭짓점을 갖는 선형 [[그래프]]이다.
:[[파일:Chebyshev-dessins.svg|346px]]

== 예 ==
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. {{OEIS|A28297}}
:<math>\begin{aligned}
\operatorname T_0(x)&=1\\
\operatorname T_1(x)&=x\\
\operatorname T_2(x)&=2x^2-1\\
\operatorname T_3(x)&=4x^3-3x\\
\operatorname T_4(x)&=8x^4-8x^2+1\\
\operatorname T_5(x)&=16x^5-20x^3+5x\\
\operatorname T_6(x)&=32x^6-48x^4+18x^2-1\\
\operatorname T_7(x)&=64x^7-112x^5+56x^3-7x\\
\operatorname T_8(x)&=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\\
\operatorname T_9(x)&=256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x\\
\operatorname T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1\\
\operatorname T_{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^9+2816x^7-1232x^5+220x^3-11x
\end{aligned}
</math>

== 역사 ==
[[파프누티 체비쇼프]]가 1854년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=P. L.|성=Chebyshev|저자링크=파프누티 체비쇼프|날짜=1854|제목=Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes|저널=Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg|권=7|쪽=539–586|언어=fr}}</ref>

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T<sub>''n''</sub>는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 ({{llang|fr|Tchebycheff}}) 또는 독일어 표기 ({{llang|de|Tschebyschow}})에서 딴 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[르장드르 다항식]]
* [[라게르 다항식]]
* [[에르미트 다항식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Chebyshev polynomials}}
* {{매스월드|id=ChebyshevPolynomialsoftheFirstKind|title=Chebyshev polynomials of the first kind}}
* {{매스월드|id=ChebyshevPolynomialsoftheSecondKind|title=Chebyshev polynomials of the second kind}}
* {{매스월드|id=ChebyshevApproximationFormula|title=Chebyshev approximation formula}}
* {{수학노트|title=체비셰프 다항식}}
* {{웹 인용|url=http://www.scottsarra.org/chebyApprox/chebyshevApprox.html|제목=Chebyshev Interpolation: an interactive tour|이름=Scott A.|성=Sarra|날짜=2005-03-01|언어=en|확인날짜=2017-04-19|보존url=https://web.archive.org/web/20170318214311/http://www.scottsarra.org/chebyApprox/chebyshevApprox.html|보존날짜=2017-03-18|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/25534/is-there-an-intuitive-explanation-for-an-extremal-property-of-chebyshev-polynomia|제목=Is there an intuitive explanation for an extremal property of Chebyshev polynomials?|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2017-04-19|보존url=https://web.archive.org/web/20170420045926/https://mathoverflow.net/questions/25534/is-there-an-intuitive-explanation-for-an-extremal-property-of-chebyshev-polynomia|보존날짜=2017-04-20|url-status=dead}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:직교 다항식]]
[[분류:특수 초기하함수]]
[[분류:근사 이론]]