칼라비-야우 다양체 문서 원본 보기

{{끈 이론}}

'''칼라비-야우 다양체'''(Calabi-丘 多樣體, {{llang|en|Calabi–Yau manifold}})는 [[홀로노미]]가 SU(''n'')의 부분군인 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[켈러 다양체]]다.<ref>{{저널 인용|제목=Calabi-Yau manifold|이름=Shing-Tung|성=Yau|저자링크=야우싱퉁|연도=2009|저널=Scholarpedia|권=4|호=8|쪽=6524|doi=10.4249/scholarpedia.6524|mr=2537089|issn=1941-6016|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001|기타=Universitext|성=Gross|이름=Mark|공저자=Daniel Huybrechts, Dominic Joyce|isbn=978-3-540-44059-8|doi=10.1007/978-3-642-19004-9|mr=1963559|zbl=1001.00028|위치=[[베를린|Berlin]]|출판사=Springer|연도=2003|기타=Universitext|issn=0172-5939|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists|날짜=1992-03|위치=[[싱가포르|Singapore]]|출판사=World Scientific|이름=Tristan|성=Hübsch|isbn=978-981-02-0662-8|doi=10.1142/1410|mr=1177829|zbl=0771.53002|url=http://physics1.howard.edu/~thubsch/ErrBeast.html|언어=en|확인날짜=2013-02-08|보존url=https://web.archive.org/web/20131102132850/http://physics1.howard.edu/~thubsch/ErrBeast.html|보존날짜=2013-11-02|url-status=dead}}</ref> [[미분 기하학]]과 [[대수 기하학]]에서 다룬다. [[끈 이론]]에서 [[시공]]의 [[축소화]]에 쓰인다.

== 정의 ==
[[켈러 다양체]]는 [[리만 다양체|리만 구조]], [[복소다양체|복소 구조]], [[심플렉틱 다양체|심플렉틱 구조]]를 모두 갖춘 다양체로, 일반적으로 복소 ''n''차원의 켈러 다양체는 U(''n'')의 부분군인 [[홀로노미]]를 지닌다. 그 가운데 칼라비-야우 다양체는 콤팩트하고 SU(''n'')의 부분군인 (대역적) 홀로노미를 지닌 것이다. SU(''n'') 홀로노미를 지녀야 한다는 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다.
* 어디서도 0이 아닌 <math>n</math>차 [[정칙 함수|정칙]] [[복소 미분 형식]] <math>\Omega</math>가 다양체 위에 존재한다. (이를 '''정칙 부피 형식'''({{llang|en|holomorphic volume form}})이라고 한다.)
* 복소 구조의 구조군({{lang|en|structure group}})이 SU(n)의 부분군이다. (일반적 켈러 다양체의 구조군은 U(''n'')이다.)
* 자명한 [[표준 선다발]]을 지닌다.

일부 저자는 칼라비-야우 다양체를 좀 더 일반적으로, 대역적 홀로노미 대신 SU(''n'')의 부분군인 국소적 홀로노미를 지닌 콤팩트 켈러 다양체로 정의한다. 이 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다.

* 다양체의 [[리치 곡률]]이 0이다.
* 다양체의 [[복소 구조]]의 첫 번째 [[실수]] [[천 류]] <math>c_1(M;\mathbb R)\in H^{1,1}(M;\mathbb R)</math>이 0이다.
* [[표준 선다발]]을 충분히 거듭제곱하면 자명해진다.
* 자명한 [[표준 선다발]]을 지닌 유한 [[피복 공간]]이 존재한다.
이 정의 가운데, 리치 곡률이 0인 성질과 다른 성질들이 동등하다는 사실은 증명하기가 쉽지 않다. 이는 [[에우제니오 칼라비]]가 가설을 제시한 뒤 [[야우싱퉁]]이 증명하였고, '''칼라비 가설''' 또는 '''야우 정리'''라 불린다.

두 번째 정의는 첫 번째 정의보다 일반적이다. 예를 들어 [[초타원 곡면]]({{llang|en|hyperelliptic surface}})는 첫 번째 정의는 만족하지 않지만 두 번째 정의는 만족한다. (첫 번째 정의를 만족시키려면 그 이중 [[피복 공간]]인 [[K3 곡면]]을 취하면 된다.) 다만 [[단일 연결]]된 다양체의 경우 두 정의는 동등하다.

이 밖에도 실수 천 류 대신 [[정수]] 천 류 <math>c_1(M,\mathbb Z)</math>을 쓰거나, 콤팩트함을 요구하지 않거나, 홀로노미가 SU(''n'')의 부분군이 아니라 SU(''n'') 자체임을 요구하는 등 약간 다른 정의를 쓰는 저자도 있다.

두 정의 모두, [[고다이라 차원]]({{llang|en|Kodaira dimension}})이 0이고, 첫 번째 실수 및 정수 [[천 류]]가 0이다.

== 특수 라그랑주 부분 다양체 ==
{{본문|특수 라그랑주 부분 다양체}}
칼라비-야우 다양체의 정칙 [[부피]] 형식 <math>\Omega</math>는 [[측정기하학|측정 형식]]을 이룬다. 이에 대한 측정 부분 다양체를 '''[[특수 라그랑주 부분 다양체]]'''라고 한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0111111|제목=Lectures on special Lagrangian geometry|이름=Dominic|성=Joyce|bibcode=2001math.....11111J|날짜=2001|언어=en}}</ref> 즉, 칼라비-야우 다양체 <math>M</math> 속의 특수 라그랑주 다양체 <math>N\subset M</math>는
:<math>\operatorname{Re}\Omega|_N=\omega|_N</math>
:<math>\operatorname{Im}\Omega|_N=0</math>
인 부분다양체이다. 여기서 <math>\omega</math>는 [[리만 계량]]에 따른 부피 형식이다.

정칙 부피 형식 <math>\Omega</math>는 복소 위상으로
:<math>\Omega\to\exp(i\theta)\Omega</math>
와 같이 재정의할 수 있고, 따라서 이에 따라 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념이 달라진다. 일부 문헌에서는 적어도 한 복소 위상의 정칙 부피 형식에 대하여 측정 부분 다양체를 이루는 부분 다양체를 특수 라그랑주 부분 다양체라고 한다.

특수 라그랑주 다양체는 [[거울 대칭 가설]]의 여러 서술들 가운데 하나인 [[:en:SYZ_conjecture|Strominger-Yau-Zaslow가설]]을 서술하는데 등장한다.

== 모듈러스 ==
<math>n</math>차원 칼라비-야우 다양체 <math>(M,J,\omega)</math>는 켈러 구조 <math>\omega</math>와 복소 구조 <math>J</math>를 지녔으므로, 켈러 모듈러스와 복소 모듈러스를 가진다.

켈러 모듈러스 공간의 접공간은 무한소의 (1,1)차 형식 <math>\epsilon\delta\omega_{i\bar\jmath}dz^i\wedge d\bar z^{\bar\jmath}</math>의 꼴이다. 리치 텐서가 0이라는 조건에 의하여, 이는 <math>O(\epsilon^2)</math> 항을 제외하고는 조화형식을 이룬다. 따라서 켈러 모듈러스 공간의 차원은 그 (1,1)차 조화형식 공간의 차원과 같다. 호지 이론에 따라서, 이는 [[돌보 코호몰로지]]의 차원인 호지 수 <math>h^{1,1}(M)=\dim H^{(1,1)}(M)</math>으로 주어진다. 또한, 켈러 형식들의 집합은 [[볼록집합|볼록]] 뿔을 이루는데, 이는 켈러 형식들의 집합이 볼록 [[선형결합]]에 대하여 닫혀 있기 때문이다. (볼록 선형결합으로 국한하는 이유는 <math>\omega^n</math>이 부피 형식을 이뤄야 하기 때문이다.) 이를 '''켈러 뿔'''({{lang|en|Kähler cone}})이라고 한다.

3차원 칼라비-야우 다양체의 경우, 복소 모듈러스 공간의 차원은 호지 수 <math>h^{2,1}(M)=\dim H^{(2,1)}(M)</math>에 의하여 주어진다.

== 예 ==
복소 1차원 칼라비-야우 다양체는 (두 정의 다) [[원환면]]밖에 없다. 복소 2차원 칼라비-야우 다양체 가운데 [[단일 연결]]된 것은 (역시 두 정의 다) [[K3 곡면]]밖에 없다. 복소 3차원 칼라비-야우 다양체는 아직 잘 알려지지 않았으며, 심지어 유한개인지 아니면 무한개인지도 모른다. 일반적으로, ''n''차원 복소 [[사영 공간]] ℂℙ<sub>''n''</sub>의 [[동차좌표]]에서 (''n''+1)차 [[동차다항식]]의 해는 (''n''−1)차원 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

== 끈 이론에서의 응용 ==
[[끈 이론]]에서, 칼라비-야우 다양체는 [[시공]]의 [[축소화]]를 나타낸다. 끈 이론에서는 10차원의 시공이 필요한데, 이를 실제 세계와 관련짓기 위해서는 이를 <math>\mathbb R^4\times X</math> 꼴의 곱으로 축소화시켜야 한다. (여기서 <math>X</math>는 콤팩트 다양체다.) 손지기 [[페르미온]]을 나타내려면 2개 이상의 초대칭이 있을 수 없고, 현상론적으로 하나의 초대칭이 있는 모형이 유력하므로, 초대칭을 4차원에서 하나만 남기고 파괴하는 축소화를 찾아야 하는데, 칼라비-야우 다양체는 이러한 성질을 만족한다. 축소화하는 칼라비-야우 다양체에 따라 4차원 우주에 다른 [[입자]] 및 물리 법칙이 나타난다. 이 사실은 필립 칸델라스({{lang|en|Philip Candelas}}), 게리 호로위츠({{lang|en|Gary Horowitz}}), [[앤드루 스트로민저]], [[에드워드 위튼]]이 1985년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목={{lang|en|Vacuum configurations for superstrings}}|이름=Philip |성=Candelas|공저자=Gary Horowitz, [[앤드루 스트로민저|Andrew Strominger]], [[에드워드 위튼|Edward Witten]]|저널={{lang|en|Nuclear Physics B}}|권=258|쪽=46–74|연도=1985|doi=10.1016/0550-3213(85)90602-9|bibcode=1985NuPhB.258...46C|issn=0550-3213}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[오차 삼중체]]
* [[G2 다양체]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Lectures on Calabi–Yau and special Lagrangian geometry|이름=Dominic|성=Joyce|arxiv=math/0108088|bibcode=2001math......8088J|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Lectures on complex geometry, Calabi-Yau manifolds and toric geometry|이름=Vincent|성=Bouchard|arxiv=hep-th/0702063|bibcode=2007hep.th....2063B|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Calabi-Yau geometries: algorithms, databases, and physics|이름=Yang-Hui|성=He|arxiv=1308.0186|bibcode=2013arXiv1308.0186H|언어=en|날짜=2013|저널=International Journal of Modern Physics A|issn=0217-751X}}

== 외부 링크 ==
* {{저널 인용|url=https://horizon.kias.re.kr/359/|제목=칼라비-야우 다양체 (Calabi–Yau Manifolds)|저널=과학의 지평|날짜=2008-04-01|권=37|저자=이남훈|쪽=22–25}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:수리물리학]]