케일리-딕슨 구성 문서 원본 보기

[[추상대수학]]에서 '''케일리-딕슨 구성'''(Cayley-Dickson構成, {{llang|en|Cayley–Dickson construction}})은 어떤 환 위의 [[대수 (환론)|대수]]에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다.<ref name="McCrimmon">{{서적 인용|이름=Kevin|성= McCrimmon | 날짜=2004|제목=A Taste of Jordan Algebras|총서=Universitext|출판사=Springer-Verlag|isbn=0-387-95447-3|mr=2014924|언어=en}}</ref>{{rp|160–164, §Ⅱ.2.5}} 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자.

그 위의 '''*-대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>K</math>-[[가군]] <math>A</math>
* <math>K</math>-[[가군 준동형]] <math>\star \colon A\otimes_KA \to A</math>. (이는 [[결합 법칙]]이나 [[교환 법칙]]을 따르지 않을 수 있다.)
* <math>K</math>-가군 준동형 <math>(-)^* \colon A\to A</math>. 이는 다음 두 조건을 만족시킨다.
** <math>(xy)^*=y^*x^*\qquad\forall x,y\in A</math>
** <math>x^{**} = x\qquad\forall x \in A</math>

또한, <math>K</math>의 [[가역원]] <math>\mu \in\operatorname{Unit}(K)</math>이 주어졌다고 하자.

그렇다면, <math>K</math>-[[가군]]의 [[직합]] <math>A\oplus A</math> 위에 다음과 같은 <math>K</math>-대수 구조 및 대합을 줄 수 있다.
:<math>(x,y)(x',y')=(xx'-\mu y'^*y,y'x+yx'^*)</math>
:<math>(x,y)^*=(x^*,-y)</math>
즉, 새 원소 <math>i=(0,1)</math>를 추가하며, <math>(a,b)=a+bi</math>로 쓰면, 모든 <math>a,b,c\in A</math>에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다.
:<math>ai = ia^*</math>
:<math>a(bi) = (ba)i</math>
:<math>(ai)b = (ab^*)i</math>
:<math>(ai)(bi) = \mu b^* a</math>
:<math>i^*=-i</math>
그렇다면 이는 *-대수 <math>\operatorname{CD}(A)</math>를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 *-대수 준동형 <math>A\to\operatorname{CD}(A)</math>가 주어진다.

케일리-딕슨 구성에서 추가되는 원소를 <math>i \mapsto \alpha i</math>와 같이 재정의할 경우, <math>\mu \mapsto \mu/\alpha^2</math>가 된다. 즉, 케일리-딕슨 구성은 [[제곱 유군]]의 원소 <math>[\mu] \in \operatorname{Unit}(K) / \operatorname{Unit}(K)^2</math>에 의하여 분류된다. 특히, [[이차 폐체]]의 경우, 케일리-딕슨 구성의 각 단계는 유일하다.

== 성질 ==
[[유사환]] <math>R</math> 위의 대합 대수 <math>A</math> 및 그 케일리-딕슨 대수 <math>\operatorname{CD}(A)</math>에 대하여, <math>A</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\operatorname{CD}(A)</math>는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
{| class=wikitable
! <math>A</math>의 성질 || <math>\operatorname{CD}(A)</math>의 성질
|-
| 단위원 <math>1_A\in A</math>을 갖는다
| 단위원 <math>1_A+0i</math>를 갖는다
|-
| *-조건이 성립 || *-조건이 성립
|-
| [[교환 법칙]]이 성립하며, <math>^*</math>는 항등 함수 || 교환 법칙이 성립
|-
| 교환 법칙·[[결합 법칙]]이 성립 || 결합 법칙이 성립
|-
| 결합 법칙이 성립하며,  *-조건이 성립 || [[교대 대수]]
|}
여기서 <math>*</math>-조건은 다음과 같다.
* 모든 <math>a,b,c</math>에 대하여, <math>0=[a+a^*,b]=[aa^*,b]=(a+a^*,b,c)=(aa^*,b,c)=(b,a+a^*,c)=(b,aa^*,c)=(b,c,a+a^*)=(b,c,aa^*)</math>
여기서
:<math>[a,b]=ab-ba</math>
:<math>(a,b,c)=(ab)c-a(bc)</math>
는 각각 [[교환자 (환론)|교환자]] 및 [[결합자]]이다.

[[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 모든 [[합성 대수]]는 <math>K</math>로부터 0번 ~ 3번 (<math>\mu</math>를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 [[체 (수학)|체]]의 경우, 모든 [[합성 대수는 <math>K</math> 자체 또는 2차원 [[합성 대수]]에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

== 예 ==
실수 <math>\mathbb R</math>를 스스로 위의 대수로 여겨, 케일리-딕슨 구성을 가하면, 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 대수 || 이름 || 성질
|-
| <math>\mathbb R</math> || 실수 || 교환 법칙 · 결합 법칙 · 대합이 항등 함수 · 단위원 존재
|-
| <math>\mathbb C=\operatorname{CD}(\mathbb R)</math> || 복소수 || 교환 법칙 · 결합 법칙 · 단위원 존재
|-
| <math>\mathbb H=\operatorname{CD}(\mathbb C)</math> || [[사원수]] || 결합 법칙 · *-조건 ·  단위원 존재
|-
| <math>\mathbb O=\operatorname{CD}(\mathbb H)</math> || [[팔원수]] || [[교대 대수]] · *-조건 · 단위원 존재
|-
| <math>\mathbb S=\operatorname{CD}(\mathbb O)</math> || [[십육원수]] || *-조건 · 단위원 존재
|}
이 대수들의 경우
:<math>\|a\|^2=a^*a\in[0,\infty)\subset\mathbb R\subset\operatorname{CD}^n(\mathbb R)\qquad\forall a\in\operatorname{CD}^n(\mathbb R)</math>
이므로, 곱셈과 호환되는 노름 <math>\|\cdot\|\colon\operatorname{CD}^n(\mathbb R)\to[0,\infty)</math>을 줄 수 있다.

== 역사 ==
[[아서 케일리]]와 [[레너드 유진 딕슨]]<ref>{{저널 인용| last=Dickson | first=Leonard Eugene | 저자링크=레너드 유진 딕슨 | title=On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem | jstor=1967865 | series=Second Series | year=1919 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=20 | issue=3 | pages=155–171 | doi=10.2307/1967865 | 언어=en}}</ref> 이 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=John|성=Baez|제목=The octonions|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=39|호=2|쪽=145–205|날짜=2002|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/|arxiv=math/0105155|bibcode=2001math......5155B|mr=1886087|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X}} 오류 정정 {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-05-01052-9|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=42|호=2|날짜=2005|쪽=213–213|제목=Errata for "The octonions"|이름=John|성=Baez}}
* {{서적 인용 | first=Richard D. | last=Schafer | 날짜=1966 | zbl=0145.25601 | title=An introduction to non-associative algebras | publisher=Academic Press | isbn=0-486-68813-5 | 총서=Pure and Applied Mathematics | 권=22 | url=http://store.elsevier.com/product.jsp?isbn=9780080873343 | 언어=en | 확인날짜=2015-03-23 | 보존url=https://web.archive.org/web/20150402163600/http://store.elsevier.com/product.jsp?isbn=9780080873343 | 보존날짜=2015-04-02 | url-status=dead }}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Cayley-Dickson+construction|제목=Cayley-Dickson construction|웹사이트=nLab|언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:비결합대수]]
[[분류:합성 대수]]