쿠쟁 문제 문서 원본 보기

[[복소기하학]]에서 '''쿠쟁 문제'''(Cousin問題, {{llang|en|Cousin problems}})는 [[복소다양체]] 위의, [[정칙 함수]]의 [[층 (수학)|층]]과 [[유리형 함수]]의 [[층 (수학)|층]] 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다.

== 정의 ==
[[복소다양체]] <math>M</math> 및 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}</math> 및 [[유리형 함수]] <math>f_i\colon U_i\to\hat{\mathbb C}</math>가 주어졌다고 하자.

=== 제1 쿠쟁 문제 ===
모든 <math>i,j</math>에 대하여, 만약 <math>U_i\cap U_j\ne\varnothing</math>이라면 <math>f_i|_{U_i\cap U_j}-f_j|_{U_i\cap U_j}</math>가 [[정칙함수]]라고 하자. 그렇다면, '''제1 쿠쟁 문제'''는 다음 조건을 만족시키는 [[유리형 함수]] <math>f\colon M\to\hat{\mathbb C}</math>가 존재하는지에 대한 문제이다.
* 모든 <math>i</math>에 대하여, <math>f|_{U_i}-f_i</math>는 [[정칙 함수]]이다.

이는 [[층 코호몰로지]]로 다음과 같이 서술할 수 있다. <math>\mathcal K</math>가 <math>M</math> 위의 [[유리형 함수]]의 층이며, <math>\mathcal O</math>가 <math>M</math> 위의 [[정칙 함수]]들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 <math>\mathcal K/\mathcal O</math>를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상
:<math>\Gamma_M(\mathcal K)\xrightarrow\phi\Gamma_M(\mathcal K/\mathcal O)</math>
가 존재한다. 여기서 <math>\Gamma_M</math>은 대역적 단면들의 [[아벨 군]]이다.

<math>\{f_i\}_{i\in I}</math>는 <math>\mathcal K/\mathcal O</math>의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수 <math>f</math>가 존재한다면, 이는 <math>\{f_i\}_{i\in I}</math>가 사상 <math>\phi</math>의 [[상 (수학)|상]]에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상 <math>\phi</math>가 [[전사 사상]]인지 여부를 묻는다.

[[층 코호몰로지]]의 [[긴 완전열]]을 사용하면, <math>\Gamma_M(-)</math>은 0차 [[층 코호몰로지]] <math>H^0(M;-)</math>과 같으므로,
:<math>H^0(M;\mathcal K) \xrightarrow\phi H^0(M;\mathcal K/\mathbf{O})\to H^1(M;\mathcal O)\to\cdots</math>
와 같은 [[긴 완전열]]이 존재한다. 따라서, 만약 <math>H^1(M;\mathcal O)</math>가 [[자명군]]이라면 <math>\phi</math>는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, [[카르탕 B정리]]에 따라서, 만약 <math>M</math>이 [[슈타인 다양체]]라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

=== 제2 쿠쟁 문제 ===
모든 <math>i,j</math>에 대하여, 만약 <math>U_i\cap U_j\ne\varnothing</math>이라면 <math>(f_i|_{U_i\cap U_j})/(f_j|_{U_i\cap U_j})</math>가 어디서나 0이 아닌 [[정칙함수]]라고 하자. 그렇다면, '''제1 쿠쟁 문제'''는 다음 조건을 만족시키는 [[유리형 함수]] <math>f\colon M\to\hat{\mathbb C}</math>가 존재하는지에 대한 문제이다.
* 모든 <math>i</math>에 대하여, <math>f|_{U_i}/f_i</math>는 [[정칙함수]]이며, 어디서나 0이 아니다.

<math>\mathcal O^*</math>가 어디서나 0이 아닌 [[정칙 함수]]들의 곱셈군의 층이며, <math>\mathcal K^*</math>가 모든 곳에서 0이 아닌 [[유리형 함수]]들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 <math>\mathcal K^*/\mathcal O^*</math> 및 사상
:<math>\Gamma_M(\mathcal K^*)\xrightarrow\phi\Gamma_M(\mathcal K^*/\mathcal O^*)</math>
를 정의할 수 있다. 이 경우 <math>\{f_i\}_{i\in I}</math>는 <math>\mathcal K^*/\mathcal O^*</math>의 대역적 단면을 정의하며, <math>f</math>는 <math>\mathcal K^*</math>의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 <math>\phi</math>가 [[전사 사상]]인지 여부와 [[동치]]이다.

제1 쿠쟁 문제와 마찬가지로, [[층 코호몰로지]]의 [[긴 완전열]]을 사용하면
:<math>H^0(M;\mathcal K^*)\xrightarrow\phi H^0(M;\mathcal K^*/\mathcal O^*)\to H^1(M;\mathcal O^*)</math>
이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 <math>H^1(M;\mathcal O^*)=0</math>인 경우에만 풀 수 있다. 이 [[층 코호몰로지]] 군은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 다음과 같은 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\underline{2\pi i\mathbb Z}\to\mathcal O\xrightarrow\exp\mathcal O^*\to0</math>
이 존재하므로, 이로부터 다음과 같은 [[지수열]]을 정의할 수 있다.
:<math>H^1(M;\mathcal O)\to H^1(M;\mathcal O^*)\to2\pi i H^2(M;\mathbb Z)\to H^2(M;\mathcal O)\to\cdots</math>
[[슈타인 다양체]]의 경우, [[카르탕 B정리]]에 의하여 <math>H^1(M;\mathcal O)\cong H^2(M;\mathcal O)\cong0</math>이다. 따라서
:<math>0\to H^1(M;\mathcal O^*)\to2\pi i H^2(M;\mathbb Z)\to 0</math>
이므로, <math>H^1(M;\mathcal O^*)\cong2\pi iH^2(M;\mathbb Z)</math>이며, 슈타인 다양체에서의 제2 쿠쟁 문제의 해결의 필요충분조건은 <math>H^2(M;\mathbb Z)\cong0</math>이다.

== 역사 ==
프랑스의 수학자 피에르 쿠쟁({{llang|fr|Pierre Cousin}})이 1895년에 제시하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1007/BF02402869|first=P.|last=Cousin|title=Sur les fonctions de ''n'' variables|journal=Acta Mathematica|volume=19|날짜=1895|pages=1–62|언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cousin problems}}

== 같이 보기 ==
* [[카르탕 정리]]
* [[미타그레플레르 정리]]
* [[바이어슈트라스의 곱 정리]]
* [[지수열]]

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:복소다양체]]
[[분류:다변수 복소함수론]]