킬링 형식 문서 원본 보기

[[리 군]] 이론에서, '''킬링 형식'''(Killing形式, {{llang|en|Killing form}})은 [[리 대수]] 위에 자연스럽게 존재하는 [[대칭 쌍선형 형식]]이다.<ref>{{서적 인용|이름=Daniel|성=Bump|제목=Lie Groups|날짜=2004|총서=Graduate Texts In Mathematics|권=225|출판사=Springer|isbn=978-0-387-21154-1|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Jurgen|성=Fuchs|제목=Affine Lie Algebras and Quantum Groups|날짜=1992|출판사=Cambridge University Press|isbn=0-521-48412-X|언어=en}}</ref> 리 대수의 [[딸림표현]]의 곱의 [[대각합]]이다.

== 정의 ==
=== 추상적 정의 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하고, 또한 <math>\mathfrak g</math>가 유한 차원 <math>K</math>-[[자유 가군]]이라고 하자. 이제, <math>\mathfrak g</math>의 [[딸림표현]]
:<math>\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{GL}(\mathfrak g;k)</math>
:<math>\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y]</math>
를 생각하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 '''킬링 형식'''
:<math>B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K</math>
는 다음과 같은 [[대칭 쌍선형 형식]]이다.
:<math>B(a,b)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)</math>
여기서 [[대각합]]은 [[딸림표현]]에서 취한 것이다.

==== 리 초대수의 경우 ====
보다 일반적으로, [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의  [[리 초대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하고, 또한 <math>\mathfrak g</math>가 유한 차원 <math>K</math>-[[초벡터 공간]]이라고 하자. 이제, <math>\mathfrak g</math>의 [[딸림표현]]
:<math>\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{End}(\mathfrak g;K)</math>
:<math>\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y\}</math>
를 생각하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 '''킬링 형식'''
:<math>B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K</math>
는 다음과 같은 [[쌍선형 형식]]이다.<ref name="FSS"/>{{rp|§23}}
:<math>B(a,b)=\operatorname{str}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)</math>
여기서 [[초대각합]]은 [[딸림표현]]에서 취한 것이다.

=== 성분을 통한 정의 ===
[[체 (수학)|체]] 위의 유한 차원 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>(x_i)_{i\in I}</math>를 잡고, 이에 대한 구조 상수가
:<math>[x_i,x_j] = f_{ij}{}^kx_k</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 '''킬링 형식'''은 다음과 같다.
:<math>B(x_i,x_j) = B_{ij} = \sum_k\sum_l f_{ik}{}^lf_{jl}{}^k</math>

== 성질 ==
킬링 형식은 [[대각합]]의 순환성(<math>\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)</math>)에 의하여 [[대칭 쌍선형 형식]]을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
:<math>B([x,y],z)=B(x,[y,z])</math>

=== 리 초대수의 킬링 형식 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 초대수]] <math>\mathfrak g</math>의 킬링 형식 <math>B</math>는 다음과 같은 성질을 갖는다.<ref name="FSS">{{저널 인용|제목=Dictionary on Lie superalgebras|이름=L.|성=Frappat|이름2=A.|성2=Sciarrino|이름3=P.|성3=Sorba|arxiv=hep-th/9607161|bibcode=1996hep.th....7161F|날짜=1996-07|언어=en}}</ref>{{rp|§23}}
:<math>B(\mathfrak g_0,\mathfrak g_1) = 0</math>
:<math>B(x,y) = (-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in \mathfrak g_0 \cup\mathfrak g_1</math>
:<math>B([x,y\},z) = B(x,[y,z\}) \qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g</matH>

[[단순 리 대수]]의 경우와 달리, [[표수 0]]의 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 [[단순 리 초대수]]는 킬링 형식이 0일 수 있다. [[표수 0]]의 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 [[단순 리 초대수]] 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.<ref name="FSS"/>{{rp|§23}}
* <math>\mathfrak{sl}(n|n)</math>
* <math>\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)</math>
* <math>\mathfrak{osp}(2n+2|2n)</math>
* <math>\mathfrak p(n)</math>
* <math>\mathfrak q(n)</math>
나머지 [[단순 리 초대수]]는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

=== 직합 ===
체 <math>K</math> 위의 두 유한 차원 리 (초)대수 <math>\mathfrak g</math>, <math>\mathfrak g'</math>에 대하여, 그 [[직합]] <math>\mathfrak g\oplus\mathfrak g'</math>의 킬링 형식은 다음과 같다.
:<math>B_{\mathfrak g\oplus\mathfrak g'}(x\oplus x',y\oplus y') = B_{\mathfrak g}(x,y) + B_{\mathfrak h}(x',y')\qquad(x,y\in\mathfrak g,\;x',y'\in\mathfrak g')</math>

=== 실수체 위의 리 대수 ===
만약 <math>\mathfrak g</math>가 [[단순 리 대수]]라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 [[반단순 리 대수]]인 [[필요 충분 조건]]은 그 킬링 형식이 [[비퇴화 쌍선형 형식]]인 것이다. 이를 '''카르탕 조건'''(Cartan條件, {{llang|en|Cartan criterion}})이라고 한다.

실수체 위의 [[콤팩트 리 대수]]의 킬링 형식은 항상 [[음의 정부호]] [[쌍선형 형식]]이다.

== 예 ==
=== 아벨 리 대수 ===
임의의 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[아벨 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 킬링 형식은 항상 0이다.

=== 행렬 리 대수 ===
임의의 체 <math>K</math> 및 자연수 <math>n</math>에 대하여, 일반 선형 리 대수 <math>\operatorname{\mathfrak{gl}}(n;K)</math>의 킬링 형식은 다음과 같다.
:<math>B_{\mathfrak{gl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY) - 2\operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y)</math>
또한, 특수 선형 리 대수 <math>\operatorname{\mathfrak{sl}}(n;K)</math>의 킬링 형식은 다음과 같다.
:<math>B_{\mathfrak{sl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
편의상, <math>\mathfrak{gl}(n;K)</math>의 기저 <math>(e_{ij})_{1\le i,j\le n}</math>가 <math>(i,j)</math>번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,
:<math>[M,e_{ij}]_{ab} = \delta_{jb} M_{ai} - \delta_{ia}M_{jb}</math>
이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,
:<math>[M,[N,e_{ij}]] + [e_{ij},[M,N]] + [N,[e_{ij},M]] = 0</math>
이다. 따라서,
:<math>c_{ij} = ([M,[N,e_{ij}])_{ij}</math>
:<math>B(M,N) = \sum_{ij} c_{ij}</math>
라고 놓으면,
:<math>c_{ij} = 
\left(\sum_{a=1}^nM_{ia}N_{ai}\right)
- M_{ii}N_{jj}
- N_{ii}M_{jj}
+ \left(\sum_{a=1}^nN_{ja}M_{aj}\right)
</math>
가 된다. 따라서,
:<math>B(M,N) = \sum_{i,j=1}^n \left( \left(\sum_{a=1}^nM_{ia}N_{ai}\right)
- M_{ii}N_{jj}
- N_{ii}M_{jj}
+ \left(\sum_{a=1}^nN_{ja}M_{aj}\right)\right)
= 2n \operatorname{tr}(MN) - 2\operatorname{tr}M\operatorname{tr}N
</math>
이다.

특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해
:<math>\mathfrak{sl}(n;K) \oplus K \cong \mathfrak{gl}(n;K)</math>
아래, 아벨 리 대수 <math>K</math>의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)
</div></div>

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 리 대수 || 설명 || 킬링 형식
|-
| '''gl'''(''n'', ℂ) || ''n''×''n'' 복소수 행렬 || 2''n'' tr(''XY'') − 2 tr(''X'')tr(''Y'')
|-
| '''sl'''(''n'', ℝ) ||''n''×''n'' 무대각합 복소수 행렬 || 2''n'' tr(''XY'')
|-
| '''su'''(''n'') || ''n''×''n'' 반에르미트 행렬 || 2''n'' tr(''XY'')
|-
| '''so'''(''n'', ℝ) || ''n''×''n'' 반대칭 실수 행렬 || (''n''−2) tr(''XY'')
|-
| '''so'''(''n'', ℂ) || ''n''×''n'' 반대칭 복소수 행렬 || (''n''−2) tr(''XY'')
|-
| '''sp'''(2''n'', ℝ) || 2''n''×2''n'' 실수 [[해밀턴 행렬]] || (2''n''+2) tr(''XY'')
|-
| '''sp'''(2''n'', ℂ) || 2''n''×2''n'' 복소수 해밀턴 행렬 || (2''n''+2) tr(''XY'')
|}

=== 리 대수의 계량과 이중 콕서터 수 ===
[[단순 리 대수]]의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 <math>\sqrt2</math>가 되게 규격화한다.<ref name="Slusky">{{저널 인용|제목=Group theory for unified model building|이름=R.|성=Slansky|저널=Physics Reports|권=79|호=1|날짜=1981-12|쪽=1–128|doi=10.1016/0370-1573(81)90092-2|bibcode=1981PhR....79....1S|issn= 0370-1573|언어=en}}</ref>{{rp|27}}<ref name="FMS">{{서적 인용|제목=Conformal field theory|성=Di Francesco|이름=Philippe|공저자=Pierre Mathieu, David Sénéchal|doi=10.1007/978-1-4612-2256-9|isbn=978-1-4612-7475-9|날짜=1997}}</ref>{{rp|§13.1.10}} 이 경우 짧은 근의 길이는 B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, [[F₄|F<sub>4</sub>]]인 경우 1 또는 [[G₂|G<sub>2</sub>]]의 경우 <math>\sqrt{2/3}</math>이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.<ref name="Hori"/>
{| class="wikitable"
|-
! 리 대수 || 행렬 표현 || 규격화 계량 형식
|-
| '''su'''(''n'') ||  ''n''×''n'' 반에르미트 행렬 || − tr(''XY'')
|-
| '''so'''(''n'', ℝ) || ''n''×''n'' 반대칭 행렬 || − ½tr(''XY'')
|-
| rowspan=2 | '''usp'''(2''n'')
| 2''n''×2''n'' 반에르미트 해밀턴 행렬 ||  − tr(''XY'')
|-
| ''n''×''n'' [[사원수]] 반에르미트 행렬 ||  − tr(''XY'' + ''YX'')
|-
| '''e'''<sub>6</sub> || 27×27 반에르미트 행렬 || − (9/4) tr(''XY'')
|-
| '''e'''<sub>7</sub> || 56×56  반대칭 행렬 || − (3/2) tr(''XY'')
|-
| '''e'''<sub>8</sub> || 248×248 반대칭 행렬 || − (41/10) tr(''XY'')
|-
| '''f'''<sub>4</sub> || 26×26 반대칭 행렬 || − (4/3) tr(''XY'')
|-
| '''g'''<sub>2</sub> || 7×7 반대칭 행렬 || − (5/8) tr(''XY'')
|}

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 [[초구]]로부터의 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon\mathbb S^3\to G</math>에 대하여 항상
:<math>
\frac1{48\pi}\int_G\langle g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]\rangle\in\mathbb Z
</math>
이다.<ref name="Hori">{{웹 인용|url=http://member.ipmu.jp/kentaro.hori/Courses/EPP/Lgrp.pdf|제목=Some notes on compact Lie groups|이름=Kentaro|성=Hori|확인날짜=2013-12-03|보존url=https://web.archive.org/web/20131204085936/http://member.ipmu.jp/kentaro.hori/Courses/EPP/Lgrp.pdf|보존날짜=2013-12-04|url-status=dead}}</ref>

이렇게 규격화한 계량 형식을 <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>로 놓으면,
:<math>K=-2h^\vee\langle\cdot,\cdot\rangle</math>
이다.<ref>{{서적 인용|제목=Infinite Dimensional Lie Algebras|이름=Victor G.|성=Kac|저자링크=빅토르 카츠|날짜=1990|판=3판|isbn=9780521466936|doi=10.1017/CBO9780511626234}}</ref>{{rp|§6.1}}<ref name="FMS"/>{{rp|§13.1.2}} 여기서 <math>h^\vee</math>는 단순 리 대수의 '''이중 콕서터 수'''({{llang|en|dual Coxeter number}})이다. (이는 [[빅토르 카츠]]가 도입하였고, [[해럴드 스콧 맥도널드 콕서터]]의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! scope = "row" | 리 대수
| '''a'''<sub>''n''</sub> || '''b'''<sub>''n''</sub> || '''c'''<sub>''n''</sub> || '''d'''<sub>''n''</sub> || [[E₆|'''e'''<sub>6</sub>]] || [[E₇|'''e'''<sub>7</sub>]] || [[E₈|'''e'''<sub>8</sub>]] || [[F₄|'''f'''<sub>4</sub>]] || [[G₂|'''g'''<sub>2</sub>]]
|-
! scope = "row" | 다른 이름
| [[특수 유니터리 군|SU(''n''+1)]] || [[특수직교군|SO(2''n''+1)]] || [[심플렉틱 군|USp(2''n'')]] || [[특수직교군|SO(2''n'')]]
| colspan=5 | —
|-
! scope = "row"  | 이중 콕서터 수 
| ''n''+1 || 2''n''&minus;1 || ''n''+1 || 2''n''&minus;2 || 12 || 18 || 30 || 9 || 4
|}

== 역사 ==
[[엘리 카르탕]]이 1894년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용 | last=Cartan | first=Élie|저자링크=엘리 카르탕 | title=Sur la structure des groupes de transformations finis et continus | url=http://books.google.com/books?id=JY8LAAAAYAAJ | publisher=Nony | series=Thesis | year=1894}}</ref> 독일 수학자 [[빌헬름 킬링]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[킬링 벡터장]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Killing form}}
* {{매스월드|id=KillingForm|title=Killing form}}
* {{nlab|id=Killing form}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/25592/what-role-does-the-dual-coxeter-number-play-in-lie-theory-and-should-it-be-ca|제목=What role does the “dual Coxeter number” play in Lie theory (and should it be called the “Kac number”)?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:이차 형식]]