편미분 문서 원본 보기

{{미적분학}}

'''편미분'''(偏微分, {{llang|en|partial derivative}})은 [[다변수 함수]]의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 [[상수]]로 간주하여 미분하는 것이다. 기호는 [[∂]]으로, [[1770년]] [[니콜라 드 콩도르세]]가 편차분 기호로서 사용한 이후로 편미분을 나타내는 기호로 사용되고 있으며 이후 1786년에 [[아드리앵마리 르장드르]]에 의해 소개되었으나 쓰이지 않다가, 1841년에 [[카를 구스타프 야코프 야코비]]가 다시 이 기호를 도입하였다.<ref name="jeff_earliest">{{웹 인용|url=http://jeff560.tripod.com/calculus.html|title=Earliest Uses of Symbols of Calculus|first=Jeff|last=Miller|date=2009-06-14|work=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols|accessdate=2009-02-20}}</ref> 
다른 하나의 변수를 상수로 간주한 뒤 미분해 얻은 도함수를 편도함수라고 부르며 이 편도함수를 구하는 과정을 편미분이라 부른다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.scienceall.com/%ED%8E%B8%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98partial-derivative-2/|제목=편도함수|날짜=2015-09-09|웹사이트=사이언스올|확인날짜=2021-05-07|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506163301/https://www.scienceall.com/%ED%8E%B8%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98partial-derivative-2/|url-status=}}</ref>

:<math>f'_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac\partial{\partial x}f,\ \frac{\partial f}{\partial x}</math>
는 변수 <math>x</math>에 대한, 함수 <math>f(x,y,\ldots)</math>의 편미분을 뜻한다.
:<math>f'_x(x,y,\ldots),\ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,\ldots)</math>
등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.

== 도입 ==
[[파일:Partial func eg.svg|섬네일|''z'' = ''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup>의 그래프. ''y'' = 1로 놓으면, ''xz''-평면과 평행하는 빨간색 곡선을 얻으며, 점 (1, 1)에서 곡선의 접선은 역시 ''xz''-평면과 평행한다.]]
[[파일:X2+X+1.svg|섬네일|위 그래프의 평면 ''y'' = 1에 의한 절단면. 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3이다.]]
하나 이상의 변수를 갖는 함수 <math>f</math>가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어,
:<math>z=f(x,y)=x^2+xy+y^2</math>
이 [[함수의 그래프]]는 [[유클리드 공간]] 속 [[곡면]]을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 [[접선]]이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 [[기울기]]를 구하는 것이다. <math>xz</math>-평면이나 <math>yz</math>-평면과 평행하는 접선(즉, <math>y</math>나 <math>x</math>를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 <math>(x,y)</math>에서 <math>xz</math>-평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. <math>y</math>를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 <math>y</math>를 상수로 보아 [[미분]]을 구하면, 점 <math>(x,y)</math>에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.
:<math>\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y</math>
[[대입 (수학)|대입]]을 통해, 점 <math>(1,1)</math>에서 <math>xz</math>-평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 <math>(1,1)</math>에서
:<math>\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=3</math>.
즉, 점 <math>(1,1)</math>에서 <math>z</math>의 <math>x</math>에 대한 편미분은 3이다.

함수 <math>f</math>는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 <math>y</math> 값은 변수 하나의 함수
:<math>f_{(y)}(x)=x^2+xy+y^2</math>
에 대응한다. 만약 <math>y</math>의 값을 <math>y=a</math>와 같이 선택해 고정시킨다면, <math>f</math>는 함수
:<math>f_{(a)}(x)=x^2+ax+a^2</math>
를 결정한다. <math>a</math>가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 <math>f_a</math>는 변수 <math>x</math> 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을
:<math>f_{(a)}'(x)=2x+a</math>
와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 <math>x</math> 값의 함수이며, 이 논의는 모든 <math>y=a</math> 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 <math>x</math> 값 및 <math>y</math> 값을 변수로 갖는 함수
:<math>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y</math>
을 얻을 수 있다. 이는 함수 <math>f</math>의, 변수 <math>x</math>에 대한 '''편미분'''이다.

== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb R^n</math>에 정의된 실숫값 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math> 및 점 <math>\boldsymbol a\in D</math>에 대하여, 점 <math>\boldsymbol a</math>에서 함수 <math>f</math>의 변수 <math>x_i</math>에 대한 '''편미분'''은 다음과 같은 [[함수의 극한|극한]]이다.
:<math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\ldots,a_n)}h</math>
편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.
* <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=\frac{df_{(i)}}{dx}(a_i)</math>
* <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=L\iff L=\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol e_i}(\boldsymbol a)=-\frac{\partial f}{\partial(-\boldsymbol e_i)}(\boldsymbol a)</math>
여기서
* <math>f_{(i)}(x)=f(a_1,\ldots,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots,a_n)</math>
* <math>\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}</math>는 방향 미분이다.
* <math>\boldsymbol e_i</math>는 <math>i</math>번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다.
어떤 <math>\boldsymbol a\in D</math>에서 <math>f</math>의 <math>x_i</math>에 대한 편미분이 존재한다면, 점 <math>\boldsymbol a</math>에서 <math>f</math>가 <math>x_i</math>에 대해 '''편미분 가능'''하다고 한다. 모든 <math>\boldsymbol x\in D</math>에서 <math>f</math>의 <math>x_i</math>에 대한 편미분이 존재한다면, <math>f</math>가 <math>D</math>에서 <math>x_i</math>에 대해 '''편미분 가능'''하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 <math>D</math>, 공역이 <math>\mathbb R</math>인 함수이며, 이를
:<math>\frac{\partial f}{\partial x_i}</math>
로 표기한다.

=== 기울기 ===
{{본문|기울기 (벡터)}}
(어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 <math>f</math>가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, <math>f</math>의 '''기울기'''는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.

=== 방향도함수 ===
'''방향도함수'''(方向導函數, {{llang|en|directional derivative}})는 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.
* [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb R^n</math>에 정의된 실숫값 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math>
* 유클리드 공간 속 점 <math>\boldsymbol a\in D</math>
* [[유클리드 공간]] 속 [[단위 벡터]]
::<math>\boldsymbol v=(\cos\theta_1,\ldots,\cos\theta_n)\in\mathbb R^n\qquad(|\boldsymbol v|=1)</math>
: 이를 "방향"이라고 부르자.
그렇다면, 점 <math>\boldsymbol a</math>에서 <math>f</math>의 방향 <math>\boldsymbol v</math>에 대한 '''방향도함수'''는 다음과 같은 극한이다.
:<math>\begin{align}\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}
&=\lim_{t\to0+0}\frac{f(a_1+t\cos\theta_1,\ldots,a_n+t\cos\theta_n)-f(a_1,\ldots,a_n)}t\\
&=\lim_{t\to0+0}\frac{f(\boldsymbol a+t\boldsymbol v)-f(\boldsymbol a)}t\\
&=\lim_{E\ni\boldsymbol x\to\boldsymbol a}\frac{f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol a)}{(\boldsymbol x-\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol v}
\end{align}</math>
여기서
:<math>E=\{\boldsymbol a+t\boldsymbol v\colon 0<t<t'\}\subseteq D</math>
이다.

=== 고계 편미분 ===
함수 <math>f</math>의 '''고계 편미분'''(高階偏微分, {{llang|en|higher order partial derivative}})은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다.

예를 들어, 독립 변수 <math>x,y,z</math>의 함수 <math>f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R</math>에 대하여, <math>x</math>에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다.
:<math>\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f</math>
이를 다시 <math>x</math>나 <math>y</math>로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다.
:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx}f \equiv \frac\partial{\partial x}\frac\partial{\partial x}f</math>
:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy} = \partial_{yx}f \equiv \frac\partial{\partial y}\frac\partial{\partial x}f</math>
비슷하게, <math>f</math>를 <math>y</math>나 <math>z</math>로 편미분하고, 다시 <math>x</math>나 <math>y</math>나 <math>z</math>로 편미분할 수 있다.

일반적으로, [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb R^n</math>에 정의된 실숫값 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math>를 변수 <math>x_a</math>로 <math>k_a</math>번, 변수 <math>x_b</math>로 <math>k_b</math>번, ..., 변수 <math>x_c</math>로 <math>k_c</math>번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 <math>k_a+k_b+\cdots+k_c</math>계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.
:<math>\frac{\partial^{k_a+k_b+\cdots+k_c}f}{\partial x_c^{k_c}\cdots\partial x_b^{k_b}\partial x_a^{k_a}}\equiv\frac{\partial^{k_c}}{\partial x_c^{k_c}}\cdots\frac{\partial^{k_b}}{\partial x_b^{k_b}}\frac{\partial^{k_a}}{\partial x_a^{k_a}}f</math>

용어 '''혼합 편미분'''(混合偏微分, {{llang|en|mixed derivative}})은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 <math>f</math>의 <math>x</math>에 대한 편미분의 <math>y</math>에 대한 편미분은 혼합 편미분이다.

많은 경우 편미분 변수 순서는 [[#편미분 교환 법칙|교환 가능]]하며, 이 경우 편미분은 [[다중지표]]를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
:<math>\left(\frac\partial{\partial\boldsymbol x}\right)^\boldsymbol if\equiv\left(\frac\partial{\partial x_1}\right)^{i_1}\left(\frac\partial{\partial x_2}\right)^{i_2}\cdots\left(\frac\partial{\partial x_n}\right)^{i_n}f</math>

물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.

== 성질 ==
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 [[전미분]] 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다.
:<math>df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n=\nabla f\cdot d\boldsymbol x</math>
:<math>\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos\theta_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cos\theta_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\cos\theta_n=\nabla f\cdot\boldsymbol v</math>

(어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 [[연속 함수]]라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 [[연속 미분 가능]]하다고 한다.

=== 편미분 교환 법칙 ===
'''편미분 교환 법칙'''에 따르면, 연결 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb R^n</math>에 정의된 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math> 및 그 두 변수 <math>x</math>, <math>y</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^2</math>함수라면, <math>f</math>의 <math>x</math>와 <math>y</math>에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉,
:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}</math>
{{증명}}
<math>S\left(\Delta x, \Delta y\right) =f\left( x_0+\Delta x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x_0+\Delta x,y_0\right) -f\left( x_0,y_0 +\Delta y\right) +f\left( x_0,y_0\right)</math>라고 하고 <math>g\left( x\right)=f\left( x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x,y_0\right)</math>라고 하자. 그렇다면 <math>S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right)</math>이다. 전제에 의하여 <math>g</math>는 미분가능하므로 [[평균값 정리]]에 의하여 <math>x_0+\Delta x</math>와 <math>x_0</math>사이에는 <math>g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right) =g'\left(\bar x\right)\Delta x</math>를 만족하는 <math>\bar x</math>가 존재한다. <math>S\left(\Delta x,\Delta y\right) =\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0\right)\right]\Delta x</math>이다. [[평균값 정리]]를 다시 한 번 적용하면 <math>f_x</math>는 미분가능하므로 [[평균값 정리]]에 의하여 <math>y_0+\Delta y</math>와 <math>y_0</math>사이에는 <math>\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right) -\frac{\partial f}{\partial x}\left( \bar x,y_0 \right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y</math>를 만족하는 <math>\bar y</math>가 존재한다. 따라서 <math>S\left(\Delta x, \Delta y\right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y\Delta x</math>이고, <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right) =\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}</math>이다. <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}</math>는 [[연속함수|연속]]이므로 <math>\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right)</math>이다. 유사한 방법으로 계산해보면 <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}</math>이므로 <math>f_{xy}=f_{yx}</math>이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.
:<math>V = \frac{ \pi r^2 h }{3}</math>

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.
:<math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2\pi r h }{3}</math>

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.
:<math>\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ \pi r^2 }{3}</math>

== 같이 보기 ==
* [[달랑베르 연산자]]
* [[연쇄 법칙]]
* [[회전 (벡터)]]
* [[발산 (벡터)]]
* [[야코비 행렬]]
* [[라플라스 연산자]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |연도=2003}}
* {{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第三册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2010-08
|isbn=978-7-301-17675-7
}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:미분 연산자]]