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평행선 공준
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{{각주 부족|날짜=2023-12-15}} [[파일:Parallel_postulate_en.svg|섬네일|오른쪽|400픽셀|만약 α + β < 180°라면, 무한히 이어지는 두 직선은 이 두각과 같은 쪽에서 만난다.]] [[기하학]]에서 '''평행선 공준'''(平行線公準, {{llang|en|parallel postulate}})은 [[원론]]에 등장하는 다섯 개의 [[공준]] 중 마지막으로, 내용은 다음과 같다. <blockquote>두 [[직선]]이 다른 한 직선과 만나 이루는 두 [[동측내각]]의 합이 두 [[직각]]보다 작다면, 이 두 직선을 무한히 연장할 때, 그 두 동측내각과 같은 쪽에서 만난다.</blockquote> [[유클리드 기하학]]은 평행선의 공준을 비롯한 다섯 공준으로 구성되는 기하학이다. 평행선 공준은 남은 네 공준과 독립적이다. 즉, 남은 네 공준으로부터 유도할 수 없으며, 평행선 공준에 부정을 취하면 새로운 [[무모순적 이론|무모순적]] 기하학을 얻는다. 이는 좁은 의미의 [[비유클리드 기하학]]이며, 넓은 의미의 [[비유클리드 기하학]]은 평행선 공준을 만족하지 않는 기하학을 뜻한다. [[절대기하학]]은 다섯 공준에서 평행선 공준을 제외한 네 공준만을 취한 것이다. == 동치 명제 == 다음 명제들은 평행선 공준과 [[동치]]이다. 정확히 말해, 절대기하학 아래, 서로가 서로를 함의하며, 절대기하학에 이들 명제 가운데 하나를 추가하여 얻는 기하학은 유클리드 기하학과 동치이다. (소괄호 속은 원래 명제의 이름, 대괄호 속은 동치성 명제의 이름이다.) # ([[플레이페어 공리]]) 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 [[평행선]]은 많아야 하나 존재한다. # ([[삼각형 공준]]) 모든 [[삼각형]]의 내각합은 180°이다. # [[[사케리-르장드르 제2정리]]] 어떤 삼각형의 내각합은 180°이다. # 모든 삼각형의 내각합은 같다. # [[직사각형]]이 존재한다. # (등거리 공준 1) 평행한 두 직선의 거리는 어디에서나 일정하다. # (등거리 공준 2) 어떤 같은 평면 위에서, 어떤 주어진 직선과 거리가 같은 세 [[공선점]]이 존재한다. # ([[프로클로스]] 공준 1) 같은 평면 위에서, 평행선 중 하나와 만나는 직선은 다른 하나와도 만난다. # ([[프로클로스]] 공준 2) 같은 평면 위에서, 같은 직선과 평행하는 두 직선은 서로 평행한다. # [[[사케리-르장드르 제4정리]]] 주어진 각의 내부의 점을 지나며, 각의 두 변과 만나는 직선은 항상 존재한다. # ([[아드리앵마리 르장드르|르장드르]] 공준) 동측내각이 하나는 직각 하나는 [[예각]]이라면, 두 직선은 만난다. # ([[보여이 퍼르커시|보여이]] 공준) 모든 삼각형은 [[외접원]]을 갖는다. 즉, 공선점이 아닌 세 점에 대하여, 그들을 지나는 원이 항상 존재한다. # ([[존 월리스|월리스]] 공준 1) [[도형의 합동|합동]]이 아닌 [[닮음삼각형]]이 존재한다. # ([[존 월리스|월리스]] 공준 2) 모든 [[원 (기하학)|원]]의 둘레와 지름의 비율은 같다. 즉, [[원주율]]을 정의할 수 있다. # ([[존 월리스|월리스]] 공준 3) 삼각형의 [[넓이]]는 [[상계와 하계|상계]]를 갖지 않는다. 즉, 삼각형의 넓이는 주어진 임의의 도형의 넓이보다 클 수 있다. # 윗변과 아랫변이 같은 [[사케리 사변형]]이 존재한다. # 대변의 절반 길이인 중위선을 갖는 삼각형이 존재한다. # ([[피타고라스의 정리]]) 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 직각을 이루는 두 변의 길이의 제곱합과 같다. == 동치 증명 == 위 명제들은 자명하게 유클리드 기하학의 [[정리]]이므로, 이들로부터 평행선 공준을 유도하거나, 동치성 증명이 끝난 명제를 유도하는 것으로 족하다. 명제 1, 2, 3, 4, 10에 대한 증명은 [[플레이페어의 공리]], [[삼각형의 내각합]], [[사케리-르장드르 정리]] 참고. [[파일:Parallel postulate equiv rectangle condition.svg|섬네일|250px|직사각형 조건 ⇒ 삼각형 공준]] [[파일:Parallel postulate equiv equidistance postulate.svg|섬네일|250px|등거리 공준 ⇒ 직사각형 조건]] [[파일:Parallel postulate equiv Proclus' axiom.svg|섬네일|250px|프로클로스 공준 ⇒ 평행선 공준]] [[파일:Parallel postulate equiv Legendre condition.svg|섬네일|250px|르장드르 공준 ⇒ 평행선 공준]] [[파일:Parallel postulate equiv circummsbribed circle condition.svg|섬네일|250px|월리스 공준 2 ⇒ 르장드르 공준]] [[파일:Parallel postulate equiv similar triangle condition.svg|섬네일|250px|월리스 공준 1 ⇒ 사각형 공준]] [[파일:Parallel postulate equiv saccheri quadrilateral condition.svg|섬네일|250px|사케리 사변형 조건 ⇒ 직사각형 조건]] [[파일:Parallel postulate equiv median line condition.svg|섬네일|250px|중위선 조건 ⇒ 사케리 사변형 조건]] [[파일:Parallel postulae equiv Pythagorean theorem.svg|섬네일|250px|피타고라스의 정리 ⇒ 중위선 조건]] === 직사각형 조건 === (직사각형 조건 ⇒ 삼각형 공준) 직사각형(즉 네 내각이 모두 직각인 사각형)에 대각선을 그어 두 작은 삼각형을 만들자. 그렇다면, [[사케리-르장드르 제1정리]]에 따라, 두 삼각형의 내각합은 각자 ≤ 180°이다. 또한, 두 내각합을 합하면 직사각형의 내각합 360°가 된다. 따라서, 두 삼각형의 내각합은 모두 180°이므로, 내각합이 180°인 삼각형이 존재한다. 비슷하게, "내각합이 180(''n'' - 2)°인 ''n''각형이 존재한다"는 명제가 평행선 공준과 동치라는 것을 보일 수 있다. 이를 "''n''각형 공준"이라고 하자. === 등거리 공준 === (등거리 공준 ⇒ 직사각형 조건) 평행선 사이의 거리가 어디에서나 일정하다면, 당연히 주어진 직선과 거리가 같은 세 공선점이 존재하며, 점과 선은 어떤 같은 평면 위에 있다. 세 공선점 ''A'', ''B'', ''C''가 직선 ''l''과 거리가 같다고 하자. 즉, ''l''의 [[수선 (수학)|수선]] ''AA''', ''BB''', ''CC'''가 ''l''과 각자 ''A''', ''B''', ''C'''에서 만난다고 하면, ''AA''' = ''BB''' = ''CC'''이다. 따라서, ''AA'B'B'', ''BB'C'C''는 [[사케리 사변형]]이다. 이들 각자의 윗변과 밑변의 중점 ''M'', ''M''', ''N'', ''N''' 을 연결하자. 그렇다면, 좌우 대칭이므로, 직선 ''MM''' 와 ''NN'''는 각자 직선 ''l''과 ''ABC''의 수선이다. 따라서, 직사각형 ''MM'N'N''이 존재한다. === 프로클로스 공준 === (프로클로스 공준 ⇒ 평행선 공준) 두 명제는 서로 [[명제의 대우|대우]]이므로, 자명하게 동치이다. 어떤 직선 ''l''과 각자 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''의 동측내각이 < 180°이라고 하자. 그렇다면, ∠''BAP''' + ∠''ABQ'' = 180°이게 직선 ''AP'''를 그을 수 있다. 이때 ''AP''' 와 ''BQ''는 서로 평행한다. 또한, ''AP''와 ''AP''' 가 만나므로, ''AP'' 와 ''BQ''도 만난다. 따라서, 평행선 공준이 성립한다. === 르장드르 공준 === (르장드르 공준 ⇒ 평행선 공준) 어떤 직선 ''l''과 각자 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''의 동측내각이 < 180°이라고 하자. 만약 동측내각이 하나는 직각 하나는 예각이라면, 명제에 따라 ''AP''와 ''BQ''는 만난다. 만약 둘 다 예각이라면, 선분 ''AB''에 아무렇게나 점 ''M''을 찍고, ''BQ''의 수선 ''MN''을 긋고, ''MN''이 ''BQ''와 ''N''에서, ''AP''와 ''C''에서 만난다고 하자. 그렇다면, 삼각형의 내각은 그와 이웃하지 않는 외각보다 작으므로, ∠''MCP'' < ∠''MAP'', 즉 ∠''MCP''는 예각이다. 따라서 첫번째 경우로 귀결된다. 만약 하나는 [[둔각]] 하나는 예각이라면, 두번째 경우와 같이 점 ''M'', ''N'', ''C''를 만들되, ''M''을 ''AB''의 중점으로 취하자. 그렇다면, ∠''MCP''는 직각일 수 없다. 안 그러면, [[각각변 합동]]에 따라, 삼각형 ''MCA''와 ''MNB''는 합동이 되므로, 동측내각의 합이 180°이 되어 모순이다. 따라서, 이 역시 첫번째 경우로 귀결된다. 세 경우는 모든 경우를 포함하며, 따라서 두 직선 ''AP'', ''BQ''는 어떤 점 ''O''에서 만난다. 또한 반드시 < 180°인 동측내각과 같은 쪽에서 만난다. 안 그러면, 삼각형 ''OAB''의 내각합이 180°보다 크게 되므로 모순이다. 따라서, 평행선 공준이 성립한다. === 보여이 공준 === (보여이 공준 ⇒ 르장드르 공준) 어떤 직선 ''l''과 각자 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''의 동측내각 ∠''QBA''와 ∠''PAB''가 각자 직각과 예각이라고 하자. 그렇다면, 선분 ''AB''에 점 ''M''을 찍고, ''AP''의 수선 ''MC''를 그어 ''AP''와 ''C''에서 만나게 하고, ''MC''를 연장하여 ''C'C'' = ''MC''이게 하고, ''MB''를 연장하여 ''BB''' = ''MB''이게 할 때, 자명하게 ''M'', ''C''', ''B'''은 삼각형을 이룬다. 따라서, 그 외접원이 존재하며, ''AP''와 ''BQ''가 각자 변 ''MC'''와 ''MB'''의 수직이등분선이므로, 외접원 원심 ''O''가 바로 ''AP''와 ''BQ''의 교점이다. 따라서, 르장드르 공준이 성립한다. === 월리스 공준 1 === (월리스 공준 1 ⇒ 사각형 공준) 삼각형 ''ABC''와 ''A'B'C''' 가 서로 닮음이나, 서로 합동이 아니라고 하자. 그렇다면, ''AB'' > ''A'B'''라고 가정할 수 있다. 변 ''AB''에 ''AB'''' = ''A'B''' 인 점 ''B'''' 을 찍고, ∠''AB''C'''' = ∠''ABC''인 직선 ''B''C'''' 을 긋자. 그렇다면, 직선 ''B''C'''' 은 변 ''AC''와 어떤 점 ''C''''에서 만난다. 또한, [[각변각 합동]]에 따라, 삼각형 ''AB''C'''' 와 ''AB'C'''는 합동이다. 따라서, ∠''AC''B'''' = ∠''AC'B''' = ∠''ACB''이다. 이때, 사각형 ''BB''C''C''의 내각합은 360°가 되므로, 내각합이 360°인 사각형이 존재한다. 비슷하게, "합동이 아닌 닮음다각형이 존재한다"는 명제가 평행선 공준과 동치라는 것을 보일 수 있다. === 월리스 공준 2 === {{빈 문단}} === 월리스 공준 3 === {{빈 문단}} === 사케리 사변형 조건 === (사케리 사변형 조건 ⇒ 직사각형 조건) 두 [[사케리 사변형]] ''ABCD'', 밑변 ''AB''와 윗변 ''DC''가 같다고 하자. 밑변과 윗변의 중점 ''M'', ''N''을 연결하자. 그렇다면, 좌우 대칭에 따라 ''MN''은 ''AB''와 ''DC''의 수선이다. 또한, ''MB'' = ''NC''이므로, ''MNCB''는 밑변이 ''MN''인 사케리 사변형이다. 사케리 사변형의 윗변의 두 이웃각은 서로 같으므로, ∠''NCB'' = ∠''CBM'' = 90°이다. 따라서, 직사각형 ''MNCB''가 존재한다. === 중위선 조건 === (중위선 조건 ⇒ 사케리 사변형 조건) 삼각형 ''ABC''의 중위선 ''MN''이 대변 ''BC''의 절반 길이라고 하자. ''MN''의 수선 ''AA''', ''BB'''를 그어 ''MN''과 ''A''', ''B'''에서 만나게 하자. 그렇다면, [[변각변 합동]]에 따라, 삼각형 ''MAA''', ''MBB'''는 서로 합동이며, 삼각형 ''NAA''', ''NCC'''는 서로 합동이다. 따라서, ''BB''' = ''AA''' = ''CC''' 이므로, ''BB'C'C''는 사케리 사변형이다. 또한, :''MN'' = ''MA'' + ''NA'' = 1/2''BC'' :''B'M'' = ''MA''' :''C'N'' = ''NA''' 이므로, ''B'C''' = ''BC''이다. 따라서, 밑변과 윗변이 같은 사케리 사변형이 존재한다. === 피타고라스의 정리 === (피타고라스의 정리 ⇒ 중위선 조건) 피타고라스의 정리가 성립한다면, 직각 삼각형 ''ABC''의 빗변 ''AB''에 대한 중위선 ''MN''을 긋자. 그렇다면, :''AB''<sup>2</sup> = ''AC''<sup>2</sup> + ''BC''<sup>2</sup> :''MN''<sup>2</sup> = ''AM''<sup>2</sup> + ''BN''<sup>2</sup> :''AM'' = 1/2''AC'' :''BN'' = 1/2''BC'' 이므로, ''MN'' = 1/2''AB''이다. 즉, 중위선이 그 대변의 절반 길이인 삼각형이 존재한다. == 역사 == 평행선 공준은 원론의 공준 중 다른 네 공준보다 직관적이지 못하다. 따라서 몇몇 수학자들은 이 공준이 다른 명제들로부터 증명될 수 있을지도 모른다고 생각했다. 또한 다른 몇몇 수학자들은 이 공준의 부정을 가정하여 모순을 이끌어내려고 하였다. 결국 19세기에 이 공준은 증명될 수 없다고 결론지어졌으며, 이것의 반대 상황을 가정해도 모순이 없다는 것이 밝혀졌다. 이러한 결과를 [[1829년]] [[니콜라이 이바노비치 로바쳅스키]]가 한 러시아 저널에 발표하였다. ([[1840년]]에 독일어로 다시 출판되었다.) 또한 [[1831년]] [[보여이 야노시]]가 로바쳅스키와는 독자적으로 그의 아버지의 논문에 이러한 발견을 실었다. [[카를 프리드리히 가우스]]가 이러한 문제를 연구했다는 설도 있지만, 그는 이러한 내용을 출간하지 않았다. 이 새로운 기하학은 후에 [[니콜라이 이바노비치 로바쳅스키]], [[베른하르트 리만]]과 [[앙리 푸앵카레]]에 의해 [[쌍곡기하학]]과 [[구면기하학]]으로 발전되었다. == 같이 보기 == * [[비유클리드 기하학]] == 참고 문헌 == * {{서적 인용 |저자=王宗儒 |제목=三角形内角和等于180°吗 |언어=zh |출판사=湖南人民出版社 |날짜=1981-07 }} {{전거 통제}} {{위키데이터 속성 추적}} [[분류:초등 기하학]] [[분류:기하학기초론]] [[분류:유클리드 기하학]] [[분류:비유클리드 기하학]] [[분류:공리]]
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