푸앵카레 추측 문서 원본 보기

{{다른 뜻|푸앵카레}}
{{밀레니엄 문제}}

'''푸앵카레 추측'''({{llang|en|Poincaré conjecture}})은 [[4차원]] [[초구]]의 경계인 [[3차원]] [[구 (기하학)|구면]]의 [[위상학|위상학적]] 특징에 관한 [[정리]]이다. 이 정리의 구체적 내용은 '모든 경계가 없는 [[단일 연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] 3차원 [[다양체]]는 3차원 구면과 [[위상동형]]이다'이다.

이 명제는 [[프랑스]]의 저명한 [[수학자]] [[앙리 푸앵카레]]의 [[1904년]] 논문에 처음 등장하는 [[추측]]이다. 이 추측이 제기된 이래로 100여 년이 지난 후, [[2002년]], [[2003년]]에 [[러시아]]의 저명한 수학자 [[그리고리 페렐만]]이 발표한 출간되지 않은 논문들에서 증명되었다. [[밀레니엄 문제]] 중 최초로 해결되었다.

== 푸앵카레 추측 ==
[[위상기하학]]에서 [[2차원]] [[구 (기하학)|구면]]과 [[1차원]] 구면([[원주]])은 [[단일 연결]]이라는 근본적인 특징을 가지고 있는데, [[3차원]] [[표면]]에서도 [[구 (기하학)|구]]에 대해서 그러한 사실이 성립하는지에 대한 것이다. 구체적으로 어떤 하나의 닫힌 3차원 공간에서 모든 [[폐곡선]]이 수축되어서 하나의 점이 될 수 있다면, 이 [[공간]]은 반드시 원구로 변형될 수 있다는 것이다.

== 역사 ==
먼저 원래 문제의 차원인 3차원보다 고차원인 경우에 추측이 증명되기 시작하였다. [[5차원]] 이상인 경우를 [[미국]]의 저명한 [[수학자]] [[스티븐 스메일]]이 증명해서 [[1966년]] [[필즈상]]을 수상하였으며, [[4차원]]에 대한 문제는 [[마이클 프리드먼]]이 증명해서 [[1986년]] 필즈상을 수상하였다. [[3차원]]에 대한 문제는 3-[[다양체]] 분류 문제의 중추인데, [[윌리엄 서스턴]] [[박사]]가 3-다양체의 분류에 대한 연구로 [[1982년]] 필즈상을 수상해서, 이 추측이 3차원에서도 풀릴 수 있음을 간접적으로 [[증명]]하였다. [[리처드 S. 해밀턴]]이 [[리치 흐름]]이라는 [[미분 기하학]]과 [[미분 방정식]]을 도입한 방식을 제안하였고 많은 부분을 해결하였으나 증명이 안되는 부분이 있었고, 최종적으로는 [[리치 흐름]]기법에 기반해 있으면서 이 추측의 해법이 포함된 논문을 [[2002년]] [[러시아]]의 저명한 수학자 [[그리고리 페렐만]]이 [[arXiv]]에 발표하였다.<ref>{{저널 인용|제목=The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications|last=Perelman|first=Grigori|arxiv=math/0211159|날짜=2002}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Perelman|first=Grigori|제목=Ricci flow with surgery on three-manifolds|arxiv=math/0303109|date=2003}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Perelman|first=Grigori|제목=Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds|arxiv=math/0307245|date=2003}}</ref> [[국제 수학 연맹]](IMU)이 3년간의 분석 끝에 페렐만의 풀이를 인정해서 페렐만을 [[2006년]] 필즈상 수상자로 선정하였으나, 페렐만은 수상을 거부하였다. 같은 업적으로 페렐만은 [[2010년]] [[3월 18일]] [[밀레니엄 문제|밀레니엄상]]의 수상자로도 선정되었으나<ref name="press-release-2010-03-18">{{웹 인용 |url=http://www.claymath.org/poincare/millenniumPrizeFull.pdf# |제목=Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman |확인날짜=2010-04-08 |보존url=https://web.archive.org/web/20100331134628/http://www.claymath.org/poincare/millenniumPrizeFull.pdf# |보존날짜=2010-03-31 |url-status=dead }}</ref>, 밀레니엄상 역시 거부하였다.<ref>[http://www.dailymail.co.uk/news/worldnews/article-1259863/Worlds-cleverest-man-turns-1million-prize-solving-mathematics-greatest-puzzles.html Worlds cleverest man turns down $1million prize]</ref>

== 대중적 오해 ==
[[위상수학]]의 오랜 난제였던 [[푸앵카레 추측]]을 설명하는 많은 교양 매체들을 통해 이 추측이 우주의 대역적 모양을 알아내는 것과 연관이 있다는 설이 대중적으로 퍼져있다.

푸앵카레 추측은 "모든 경계가 없는 [[단일 연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] 3차원 [[다양체]]는 3차원 구면과 [[위상동형]]이다."라는 추측이다. 그러나, 다음 이유들로 인해 푸앵카레 추측이 우주의 모양을 알아내는 일과 별로 관련이 없다.

# 학계에서 우주를 본격적으로 4차원 다양체로 보고 대역적 모양에 대한 연구를 시작한 것은 최소한 일반 상대성 이론의 탄생 이후이다. 그러나, 이 추측이 제기된 당시는 일반 상대성 이론이 탄생하기 이전이다. 따라서, 푸앵카레 추측은 우주의 모양 연구와 무관하게 제기된 추측이다.
# 푸앵카레 추측을 우주의 모양 연구에 쓰려면 일단 물리적 우주가 단일 연결이고 경계가 없는 콤팩트 다양체로 수학적 모델링 될 수 있는지 실험과 탐사로 알아내야 한다. 그러나 이를 알아내기란 불가능에 가깝다. 당장에, 인류는 [[관측 가능한 우주]] 바깥에 대한 물리적 정보를 얻을 수 없어 보이므로 물리적 우주 전체에 대한 탐사는 불가능해 보인다. 따라서, 푸앵카레 추측의 명제를 이용해 우주의 대역적 모양에 대한 어떤 결론을 내기 어렵다.

== 같이 보기 ==
* [[앙리 푸앵카레]]
* [[그리고리 페렐만]]
* [[밀레니엄 문제]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}
{{토막글|수학}}

[[분류:기하학적 위상수학]]
[[분류:위상수학 정리]]
[[분류:밀레니엄 문제]]
[[분류:3-다양체]]