프로베니우스 사상 문서 원본 보기

[[가환대수학]]과 [[체론]]에서 '''프로베니우스 사상'''(Frobenius寫像, {{llang|en|Frobenius morphism}})은 양의 [[소수 (수론)|소수]] [[환의 표수|표수]]에서 정의되는 [[가환환]] 또는 [[체 (수학)|체]]의 [[자기 사상]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math>의 [[환의 표수]]가 <math>p>0</math>이며, <math>p</math>가 [[소수 (수론)|소수]]라고 하자. 그렇다면 <math>R</math>의 '''프로베니우스 사상''' <math>\operatorname{Frob}_R\colon R\to R</math>은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Frob}_R\colon r\mapsto r^p</math>
이는 [[환 준동형]]을 이룬다. 이는
:<math>(r+s)^p=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} r^is^{p-i}=r^p+s^p\qquad\forall r,s\in R\qquad\left(\because p\mid \binom pi\qquad\forall 1\le i\le p-1\right)</math>
이기 때문이다. 위 항등식은 '''신입생의 꿈'''(新入生-, {{llang|en|freshman’s dream}}) 또는 '''1학년의 꿈'''이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 [[복소수체]] 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, <math>(1+1)^p=2^p\ne 2=1^p+1^p</math>이다).

=== 스킴의 프로베니우스 사상 ===
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌을 때, [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 위의 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X/\operatorname{Spec}\mathbb F_p</math>가 주어졌다고 하자. <math>X</math>의 임의 [[아핀 스킴|아핀 부분 스킴]] <math>U</math>에 대하여, <math>\Gamma(U,\mathcal O_X)</math>는 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 [[자연 변환]]이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 <math>\mathbb F_p</math>-스킴 사상 <math>\operatorname{Frob}_X\colon X\to X</math>을 <math>X</math>의 '''절대 프로베니우스 사상'''이라고 한다.<ref name="Liu">{{서적 인용
 |이름           = Qing
 |성              = Liu
 |날짜           = 2006-06-29
 |제목           = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |translator-first = Reinie
 |translator-last  = Erne
 |총서           = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume           = 6
 |출판사        = Oxford University Press
 |isbn             = 978-0-19-920249-2
 |zbl              = 1103.14001
 |mr               = 1917232
 |판              = 2
 |url              = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어           = en
 |확인날짜     = 2017-05-07
 |보존url        = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜     = 2016-03-05
 |url-status     = dead
}}</ref>{{rp|94, Definition 3.2.21}} 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 [[자연 변환]]을 이룬다.
:<math>\operatorname{Frob}_{/\mathbb F_p}\colon\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}\Rightarrow \operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}</math>
여기서 <math>\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}</math>는 <math>\mathbb F_p</math>-스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p</math>의 [[항등 함자]]이다.

==== 산술·기하 프로베니우스 사상 ====
<math>\mathbb F_p</math>-스킴 <math>S</math> 위의 스킴 <math>f\colon X\to S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>S</math>의 절대 프로베니우스 사상 <math>\operatorname{Frob}_S\colon S\to S</math>와의 [[올곱]]을 취하면
:<math>X^{(p/S)}=X\times_S\operatorname{Frob}_S</math>
를 정의할 수 있다. 이는 함자
:<math>\operatorname{Sch}/S\to\operatorname{Sch}/S</math>
를 이루며, '''프로베니우스 스칼라 확대'''({{llang|en|extension of scalars by Frobenius}})라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
:<math>\operatorname{Frob}_{\operatorname a,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X</math>
을 '''산술 프로베니우스 사상'''({{llang|en|arithmetic Frobenius morphism}})이라고 한다.
:<math>\begin{matrix}
X^{(p/S)}&\overset{\operatorname{Frob_a}}\to&X\\
\downarrow&&\downarrow\\
S&\underset{\operatorname{Frob}}\to&S
\end{matrix}</math>

만약 <math>S</math>의 절대 프로베니우스 사상 <math>\operatorname{Frob}_S\colon S\to S</math>이 [[자기 동형 사상]]이라면 (예를 들어, <math>S</math>가 [[완전체]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]이라면), 역사상 <math>\operatorname{Frob}_S^{-1}</math>에 대한 올곱
:<math>X^{(p^{-1}/S)}=X\times_S\operatorname{Frob}_S</math>
을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
:<math>\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X</math>
을 '''기하 프로베니우스 사상'''({{llang|en|geometric Frobenius morphism}})이라고 한다.
:<math>\begin{matrix}
X^{(p^{-1}/S)}&\overset{\operatorname{Frob_g}}\to&X\\
\downarrow&&\downarrow\\
S&\underset{\operatorname{Frob}^{-1}}\to&S
\end{matrix}</math>

==== 상대 프로베니우스 사상 ====
<math>\mathbb F_p</math>-스킴 <math>S</math> 위의 스킴 <math>f\colon X\to S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[올곱]]의 [[보편 성질]]에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 [[스킴 사상]] <math>\operatorname{Frob}_{/S}\colon X\to X^{(p/S)}</math>이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
&&X\\
&{\scriptstyle f}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\exists!&\searrow\scriptstyle{\operatorname{Frob}}\\
S&\leftarrow&X^{(p/S)}&\underset{\operatorname{Frob_a}}\to&X\\
&\scriptstyle{\operatorname{Frob}}\searrow&&\swarrow\scriptstyle f\\
&&S
\end{matrix}</math>
이를 '''상대 프로베니우스 사상'''({{llang|en|relative Frobenius morphism}})이라고 한다.<ref name="Liu"/>{{rp|94, Definition 3.2.23}} 이는 [[자연 변환]]
:<math>\operatorname{Frob}_{/S}\colon\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/S}\to\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/S}</math>
을 이룬다.

물론, <math>S=\operatorname{Spec}\mathbb F_p</math>라면 (또는 보다 일반적으로 <math>\operatorname{Frob}_S=\operatorname{id}_S</math>라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

== 성질 ==
[[소수 (수론)|소수]] 표수의 [[가환환]] <math>R</math> 위의 프로베니우스 사상이 [[단사 함수]]일 [[필요충분조건]]은 <math>R</math>가 [[축소환]]인 것이다. 특히, 양의 표수의 [[체 (수학)|체]] 위의 프로베니우스 사상은 [[단사 함수]]이다.

양의 표수의 체 <math>K</math>에 대하여 프로베니우스 사상이 [[전단사 함수]](즉, [[자기 동형]])가 될 [[필요충분조건]]은 <math>K</math>가 [[완전체]]인 것이다.

=== 고정점 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 위의 프로베니우스 사상은 [[항등 함수]]이다 ([[페르마 소정리]]).
:<math>a^p=a\qquad\forall a\in\mathbb F_p</math>
양의 [[체의 표수|표수]] <math>p>0</math>의 [[체 (수학)|체]] <math>K/\mathbb F_p</math> 위의 프로베니우스 사상의 [[고정점]]은 [[다항식]] <math>x^p-x\in K[x]</math>의 근을 이룬다. [[대수학의 기본 정리]]에 따라 <math>p</math>차 다항식의 근의 수는 <math>p</math>개 이하이며, <math>\mathbb F_p\subseteq K</math>는 이미 <math>p</math>개의 근을 이루므로, <math>K</math> 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 <math>\mathbb F_p</math>이다.
보다 일반적으로, 양의 표수 <math>p>0</math>의 [[정역]] <math>D</math>에 대해서, 항상 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}D\supseteq D\supseteq\mathbb F_p</math>를 취할 수 있으므로, 표수 <math>p</math>의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 <math>\mathbb F_p</math>이다.
:<math>\{a\in D\colon a^p=a\}=\mathbb F_p</math>

=== 갈루아 군 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_p</math>의 [[유한 확대]] <math>\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p</math>의 [[갈루아 군]]은 [[순환군]]이다.
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n</math>
프로베니우스 자기 동형
:<math>\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^n}}\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)</math>
은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, [[유한체]] <math>\mathbb F_{p^m}</math>의 [[유한 확대]] <math>\mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_{p^m}</math>의 [[갈루아 군]]은 [[순환군]]
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_{p^m})\cong\mathbb Z/n</math>
이며, 프로베니우스 자기 동형의 <math>m</math>제곱
:<math>\overbrace{
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}
\circ
\cdots
\circ
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}}^m\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_m)</math>
은 그 생성원을 이룬다.

{{증명}}
<math>\mathbb F_{p^{mn}}</math>의 곱셈군 <math>F_{p^{mn}}^\times</math>은 <math>p^{mn}-1</math>차 순환군이므로, 임의의 <math>a\in\mathbb F_{p^{mn}}^\times</math>에 대하여 <math>a^{p^{mn}-1}=1</math>이며, 따라서 임의의 <math>a\in\mathbb F_{p^{mn}}</math>에 대하여 <math>a^{p^{mn}}=a</math>이다. 임의의 <math>0<i<n</math>에 대하여, <math>x^{p^mi}=x</math>의 근의 수는 <math>p^{mi}</math> 이하이므로, <math>a^{p^{mi}}\ne a</math>인 <math>a\in\mathbb F_{p^{mn}}</math>이 존재한다. 즉,
:<math>\phi=\overbrace{
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}
\circ
\cdots
\circ
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}}^m</math>
를 생성원으로 하는 순환군은 <math>n</math>차 순환군이다. <math>\phi</math>가 갈루아 군의 원소이므로, 이 순환군의 <math>n</math>개의 원소 역시 갈루아 군의 원소들이다. 그런데 갈루아 군의 원소의 수는 확대의 차수
:<math>[\mathbb F_{p^{mn}}:\mathbb F_{p^m}]=n</math>
이하여야 한다. 따라서 이 순환군은 갈루아 군 전체와 같다.
{{증명 끝}}

=== 스킴 위의 갈루아 군의 작용 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_{p^n}</math> 위의 스킴 <math>X/\mathbb F_{p^n}</math>가 주어졌다고 하자.
유한체 <math>\mathbb F_{p^n}</math>은 [[완전체]]이므로 <math>\mathbb F_{p^n}</math>의 프로베니우스 사상은 [[자기 동형 사상]]이며, <math>X^{(p/\mathbb F_{p^n})}</math> 및 <math>X^{(p^{-1}/\mathbb F_{p^n})}</math>은 <math>X</math>와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 <math>X</math> 위의 [[자기 사상]]으로 생각할 수 있다.

이제, <math>X</math>의 <math>\mathbb F_{p^n}</math>-점들의 집합 <math>X(\mathbb F_{p^n})</math> 위에는 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n</math>(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>(\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)\mapsto (\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow{\operatorname{Frob}}\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)</math>
또한, <math>X(\mathbb F_{p^n})</math> 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 [[순환군]]이 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>(\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)\mapsto (\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X\xrightarrow{\operatorname{Frob_a}}X)</math>
이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 <math>\operatorname{Frob}_{\operatorname a,X/\mathbb F_{p^n}}\colon (X^{(p/\mathbb F_{p^n})}\cong X)\to X</math>은 <math>\mathbb F_{p^n}</math>-점의 집합 위의 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n</math>의 [[군의 작용|작용]]을 나타낸다.

=== 에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 위의 스킴 <math>X/\mathbb F_p</math>가 주어졌다고 하자. <math>\bar X=X\otimes_{\mathbb F_p}\operatorname{Spec}\bar{\mathbb F}_p</math> 위의 [[작은 에탈 위치]] <math>\bar X_{\operatorname{\acute et}}</math>를 생각하자. 그렇다면, <math>X</math> 위의 상대 프로베니우스 사상
:<math>\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}\colon \bar X\to\bar X</math>
과 기하 프로베니우스 사상
:<math>\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}X\colon \bar X\to\bar X</math>
은 [[토포스]] <math>\bar X_{\operatorname{\acute et}}</math> 위의 같은 [[기하학적 사상]]
:<math>f\colon\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}=\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}\colon
\bar X_{\operatorname{\acute et}}\to \bar X_{\operatorname{\acute et}}</math>을 유도한다.

특히, <math>\bar X_{\operatorname{\acute et}}</math> 위의 [[아벨 군]] 값의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal F</math>이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 <math>\mathcal F</math>의 [[에탈 코호몰로지]] 위에 똑같이 작용한다.
:<math>\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}^*
=\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}^*
\colon\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^\bullet(\bar X;\mathcal F)
\to\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^\bullet(\bar X;f^*\mathcal F)</math>

=== 수론적 성질 ===
[[대수적 수론]]에서, [[국소체]] 또는 [[대역체]]의 비분기 확대에 대하여 '''프로베니우스 원소'''({{llang|en|Frobenius element}})라는, [[잉여류체]] [[갈루아 군]]의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 [[유체론]]에서 [[아르틴 기호]]를 정의하는 데 사용된다.

==== 국소체 ====
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 비아르키메데스 [[국소체]] <math>L</math>, <math>K</math> 사이의 [[분기화|비분기]] [[유한 확대|유한]] [[갈루아 확대]] <math>L/K</math>
[[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_L</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]]을 <math>\mathfrak P\in\operatorname{Spec}\mathcal O_L</math>라고 하고, <math>\mathcal O_K</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]]을 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K</math>라고 하자.

그렇다면, [[잉여류체]] <math>\mathcal O_L/\mathfrak P</math>와 <math>\mathcal O_K/\mathfrak p</math>는 둘 다 [[유한체]]이며,
:<math>[\mathcal O_L/\mathfrak P:\mathcal O_K/\mathfrak p]=[L:K]</math>
이다. (여기서 <math>[:]</math>는 [[체의 확대의 차수]]이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소
:<math>\operatorname{Frob}_{L/K}\in\operatorname{Gal}\left(\frac{\mathcal O_L/\mathfrak P}{\mathcal O_K/\mathfrak p}\right)</math>
가 존재하며, 이를 <math>L/K</math>의 '''프로베니우스 원소'''라고 한다.
:<math>\operatorname{Frob}_{L/K}(x)\equiv x^{|\mathcal O_K/\mathfrak p|}\pmod{\mathfrak P}\qquad\forall x\in\mathcal O_L</math>

==== 대역체 ====
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>K/\mathbb Q</math>가 [[갈루아 확대]]인 [[대수적 수체]] <math>K</math>
* 소 아이디얼 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}(\mathcal O_K)</math> (<math>\mathcal O_K</math>는 [[대수적 정수환]]). 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\mathfrak p\mid p</math>이며, <math>\mathfrak p\mid p</math>가 [[분기화|비분기]]라고 하자.
<math>\mathfrak p</math>가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)</math>은 <math>\mathfrak p</math>를 [[고정점|고정]]시킨다. 즉, <math>\mathfrak p</math>에서의 분해군({{llang|en|decompsition group}})
:<math>G_{\mathfrak p}=\{g\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)\colon g\cdot\mathfrak p=\mathfrak p\}</math>
은 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)</math> 전체이다.

이 경우,
:<math>g(x)\equiv x^p\pmod{\mathfrak p}\qquad\forall x\in\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}</math>
를 만족시키는 유일한 원소
:<math>g\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}/\mathbb F_p)</math>
가 존재한다. (여기서 <math>K_{\mathfrak p}</math>는 <math>\mathfrak p</math>진 [[자리 (수론)|자리]]에 대한 완비체이며, 이는 [[잉여류체]]가 <math>\mathbb F_p</math>인 [[이산 값매김환]]의 [[분수체]]이다.) 이를 <math>\mathfrak p</math>의 '''프로베니우스 원소''' <math>\operatorname{Frob}_{\mathfrak p}\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}/\mathbb F_p)</math>라고 한다.

== 예 ==
[[유한체]] 계수의 [[유리 함수체]] <math>\mathbb F_p(t)</math>의 프로베니우스 사상은 [[전사 함수]]가 아니다. 예를 들어, <math>t</math>는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 <math>\mathbb F_p(t)</math>는 [[완전체]]가 아니다.

== 역사 ==
[[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]가 1896년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=F. G.|성=Frobenius|저자링크=페르디난트 게오르크 프로베니우스|제목=Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe|저널=Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin|날짜=1896|쪽=689–703|url=http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=10-sitz/1896-1&seite:int=705|jfm=27.0091.04|언어=de|확인날짜=2020-06-01|보존url=https://web.archive.org/web/20160425045501/http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=10-sitz%2F1896-1&seite%3Aint=705|보존날짜=2016-04-25|url-status=dead}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[완전체]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Frobenius endomorphism}}
* {{eom|title=Frobenius automorphism}}
* {{매스월드|id=FrobeniusAutomorphism|title=Frobenius automorphism}}
* {{nlab|id=Frobenius morphism}}
* {{웹 인용|url=https://www.ma.utexas.edu/users/benzvi/math/frobenius.html|제목=The Frobenius page|이름=David|성=Ben-Zvi|언어=en}}
* {{수학노트|title=프로베니우스 원소}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/30302/geometric-vs-arithmetic-frobenius|제목=Geometric vs arithmetic Frobenius|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-04-10|보존url=https://web.archive.org/web/20160417215454/http://mathoverflow.net/questions/30302/geometric-vs-arithmetic-frobenius|보존날짜=2016-04-17|url-status=dead}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:체론]]
[[분류:갈루아 이론]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:유한체]]