합성열 문서 원본 보기

[[추상대수학]]에서 '''합성열'''(合成列, {{llang|en|composition series}})은 [[군 (수학)|군]]이나 [[가군]]을 보다 단순한 부분들로 분해하는 방법 중 하나이다. 합성열은 존재하지 않을 수도 있고, 존재한다 해도 유일하지 않을 수 있다. 그러나 [[카미유 조르당]]과 [[오토 횔더]]의 이름을 딴 '''조르당-횔더 정리'''({{llang|en|Jordan–Hölder theorem}})에 따르면 합성열에 나타나는 [[몫군]]이나 [[몫가군]]들의 [[동형류]]와 각각의 동형류가 나타나는 횟수는 유일하게 결정된다. 단, 합성열 안에서 각 동형류가 나타나는 순서는 달라질 수 있다. 이는 [[슈라이어 세분 정리]]를 통해 보일 수 있다. 조르당-횔더 정리는 초한 오름차순 합성열에 대해서도 성립하지만, 초한 내림차순 합성열에 대해서는 성립하지 않는다. {{Harv|Birkhoff|1934}}

합성열과 비슷한 개념으로 '''주합성열'''({{llang|en|principal series, chief series}})이 있다. 합성열은 극대 부분정규열인 데 비해, 주합성열은 극대 정규열이다. (모든 정규열은 부분정규열이지만, 주합성열이 합성열일 필요는 없다.) [[작용소군]]의 개념을 사용하면 [[군 (수학)|군]]과 [[가군]]의 합성열 및 군의 주합성열을 통일되게 기술할 수 있다.

== 정의 ==
=== 작용소군 ===
[[모노이드]] <math>\Omega</math> 위의 [[작용소군]] <math>_\Omega G</math>의 '''부분정규열'''({{llang|en|subnormal series}})은 다음 두 조건을 만족시키는, <math>G</math>의 부분 작용소군들의 열
:<math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_n=G</math>
이다.
* 모든 <math>G_i</math>는 <math>G_{i+1}</math>의 부분 작용소군이다.
* 모든 <math>G_i</math>는 <math>G_{i+1}</math>의 [[정규 부분군]]이다 (<math>G_i\vartriangleleft G_{i+1}</math>).
부분정규열에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분정규열을 '''합성열'''이라고 한다.
* 몫 작용소군 <math>G_{i+1}/G_i</math>들은 단순 작용소군(=자명군과 스스로를 제외한 정규 부분 작용소군이 없는 비자명 작용소군)이다. 이 몫군들을 '''합성인자'''({{llang|en|composition factor}})라고 부른다.
* 모든 <math>i</math>에 대하여, <math>G_i\ne G_{i+1}</math>이며, <math>G_i\vartriangleleft H\vartriangleleft G_{i+1}</math>인 부분 작용소군 <math>H\ne G_i,G_{i+1}</math>가 존재하지 않는다.
* 모든 <math>G_i</math>는 <math>G_{i+1}</math>의 극대 정규 부분 작용소군이다.
즉, 합성열은 더 큰 부분정규열의 일부가 아닌 부분정규열이다.

=== 군 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math> 위에는 다음과 같은 두 작용소군 구조를 부여할 수 있다.
* 자명 모노이드 <math>\Omega=1</math>의 자명한 작용. 이 작용소군 구조에 대한 부분정규열과 합성열은 군 <math>G</math>의 '''부분정규열'''과 '''합성열'''이다.
* [[내부 자기 동형군]] <math>\Omega=\operatorname{Inn}(G)</math>의 작용. 이 작용소군의 부분정규열을 군 <math>G</math>의 '''정규열'''({{llang|en|normal series}})이라고 하며, 이 작용소군의 합성열을 군 <math>G</math>의 '''주합성열'''이라고 한다.
즉, [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 부분군의 열
:<math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_n=G</math>
에 대하여,
* 만약 모든 <math>G_i</math>가 <math>G_{i+1}</math>의 [[정규 부분군]]이라면, 이 부분군의 열을 '''부분정규열'''이라고 한다.
* 만약 부분정규열이며, [[몫군]] <math>G_{i+1}/G_i</math>들이 [[단순군]]이라면 (즉, <math>G_i\ne G_{i+1}</math>이며, <math>G_i</math>를 포함하는 <math>G_{i+1}</math>의 [[정규 부분군]]이 <math>G_i</math>와 <math>G_{i+1}</math>밖에 없다면), 이 부분군의 열을 '''합성열'''이라고 한다.
* 만약 모든 <math>G_i</math>가 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이라면, 이 부분군의 열을 '''정규열'''이라고 한다.
* 만약 정규열이며, [[몫군]] <math>G_{i+1}/G_i</math>들이 <math>G/G_i</math>의 [[극소 정규 부분군]]이라면 (즉, <math>G_i\ne G_{i+1}</math>이며, <math>G_i</math>와 <math>G_{i+1}</math> 사이에 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이 <math>G_i</math>와 <math>G_{i+1}</math>밖에 없다면), 이 부분군의 열을 '''주합성열'''이라고 한다. 따라서, 주합성열은 더 큰 정규열에 포함되지 않는 정규열이다.
[[아벨 군]]의 경우, 모든 [[부분군]]이 [[정규 부분군]]이므로, 부분정규열과 정규열의 개념이 일치하며, 합성열과 주합성열 역시 같은 개념이다.

=== 가군 ===
[[왼쪽 가군]]은 그 [[환 (수학)|환]]의 작용을 갖춘 [[작용소군]]으로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 작용소군·[[정규 부분군|정규]] 부분 작용소군·[[부분 가군]]의 개념이 일치한다. 따라서, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 '''부분정규열'''은 단순히 부분 가군의 열
:<math>0=M_0\subset M_1\subset M_2\subset\cdots\subset M_n=M</math>
이며, 모든 몫가군 <math>M_{i+1}/M_i</math>가 [[단순 가군]]일 때 이 열은 '''합성열'''이다.

== 성질 ==
=== 존재 ===
임의의 [[모노이드]] <math>\Omega</math> 및 <math>\Omega</math>-[[작용소군]] <math>_\Omega G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 합성열을 갖는다.
* <math>G</math>의 부분정규 부분 작용소군의 (포함 관계에 의한) [[부분 순서 집합]]은 [[오름 사슬 조건]]과 [[내림 사슬 조건]]을 만족한다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** 임의의 <math>G</math>의 부분 작용소군의 열 <math>G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots</math>에 대하여, 만약 모든 <math>G_i</math>가 <math>G_{i+1}</math>의 [[정규 부분군]]이라면, <math>G_n=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots</math>인 <math>n\in\mathbb N</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>G</math>의 부분 작용소군의 열 <math>G_0\vartriangleright G_1\vartriangleright\cdots</math>에 대하여, 만약 모든 <math>G_i</math>가 <math>G_{i-1}</math>의 [[정규 부분군]]이라면, <math>G_n=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots</math>인 <math>n\in\mathbb N</math>이 존재한다.
특히, 모든 [[유한군]]은 합성열을 갖는다. 무한군은 합성열을 갖지 않을 수 있다. 예컨대 <math>\mathbb Z</math>는 합성열이 없다.

=== 유일성 ===
'''조르당-횔더 정리'''에 따르면, 임의의 [[작용소군]]의 두 합성열은 ‘동형’이다. 즉, [[모노이드]] <math>\Omega</math> 및 <math>\Omega</math>-[[작용소군]] <math>_\Omega G</math> 및 <math>G</math>의 두 합성열
:<math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G</math>
:<math>1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G</math>
이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
* <math>m=n</math>
* 모든 <math>i</math>에 대하여 <math>G_i</math>와 <math>H_{\sigma(i)}</math>가 [[동형]]이 되는 <math>\{1,\dots,n\}</math>의 [[순열]] <math>\sigma</math>가 존재한다.
{{증명|부제=조르당-횔더 정리}}
[[슈라이어 세분 정리]]에 의해 두 합성열은 동형인 세분을 갖는다. 그러나 합성열의 몫군은 모두 단순 작용소군이므로 어떠한 합성열도 더 이상의 세분을 갖지 않는다. 따라서 임의의 두 합성열은 동형이다.
{{증명 끝}}

== 참고 문헌 ==
*{{인용
|title=Transfinite subgroup series
|last=Birkhoff
|first=Garrett
|journal=Bulletin of the American Mathematical Society
|volume=40
|issue=12
|year=1934
|pages=847–850
|url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183497873
|doi=10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
|doi-access=free
}}
* {{인용|author=Baumslag|first=Benjamin|title=A simple way of proving the Jordan-Hölder-Schreier     theorem|journal=American Mathematical Monthly|volume=113|year=2006|issue=10|
pages=933–935|doi=10.2307/27642092}}
*{{인용| last1=Bourbaki | first1=N. | title=Algebra | publisher=Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass. | year=1974}}
*{{인용| last1=Isaacs | first1=I. Martin | title=Algebra: A Graduate Course | publisher=Brooks/Cole | isbn=978-0-534-19002-6 | year=1994}}
*{{인용
| last=Kashiwara
| first=Masaki
| last2=Schapira
| first2=Pierre
| title=Categories and sheaves
| year=2006
}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:군론]]