핵작용소 문서 원본 보기

[[함수해석학]]에서,  '''핵작용소'''(核作用素, {{llang|en|nuclear operator}})는 그 성분들의 <math>p</math>거듭제곱들의 합이 수렴하는 [[콤팩트 작용소]]이다. 특히, <math>p=1</math>일 경우(즉, 성분들의 합이 [[절대 수렴]])를 '''대각합류 작용소'''(對角合類作用素, {{llang|en|trace-class operator}})라고 하며, 이 경우 무한 차원의 경우에도 '''[[대각합]]'''을 정의할 수 있다. <math>p=2</math>인 경우를 '''힐베르트-슈미트 작용소'''(Hilbert-Schmidt作用素, {{llang|en|Hilbert–Schmidt operator}})라고 한다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]] 가운데 하나라고 하자. 임의의 양의 실수 <math>p\in\mathbb R^+</math>가 주어졌다고 하자.

두 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>V</math>, <math>W</math> 사이의 [[유계 작용소]]
:<math>T\colon V\to W</math>
가 다음과 같은 꼴의 [[급수 (수학)|급수]]로 표현될 수 있다면, <math>T</math>를 '''<math>p</math>차 핵작용소'''(<math>p</math>次核作用素, {{llang|en|<math>p</math>-nuclear operator}})라고 한다.
:<math>T=\sum_{0\le i<N}\alpha_if_i\langle e_i,-\rangle</math>
여기서
* <math>0\le N\le\infty</math>이다.
* <math>(e_i)_{0\le i<N}</math>는 <math>V</math> 속의 정규 직교열이다. 즉, <math>\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}</math>이어야 한다. (그러나 <math>(e_i)_{0\le i<N}</math>는 <math>V</math>의 [[정규 직교 기저]]일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 <math>V</math>가 [[분해 가능 공간]]이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
* <math>(f_i)_{0\le i<N}</math>는 <math>W</math> 속의 정규 직교열이다. 즉, <math>\langle f_i,f_j\rangle=\delta_{ij}</math>이어야 한다. (그러나 <math>(f_i)_{0\le i<N}</math>는 <math>W</math>의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 <math>W</math>가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
* <math>(\alpha_i)_{0\le i<N}\in\operatorname L^p(\{i\}_{0\le i<N};\mathbb K)</math>. (여기서 <math>\operatorname L^p(\{i\}_{0\le i<N};\mathbb K)</math>은 크기 <math>N</math>의 [[이산 공간]] 위의 [[르베그 공간]]이다. 만약 <math>N=\infty</math>라면 이는 <math>\ell^p(\mathbb K)</math>이며, <math>N<\infty</math>라면 이는 <math>\mathbb K^N</math>이다.)
* 급수의 수렴은 [[유계 작용소]] 공간 <math>\operatorname B(V,W)</math>의 [[작용소 노름]]에 대한 것이다.

만약 <math>p=1</math>일 경우, 1차 핵작용소는 '''대각합류 작용소''' 또는 단순히 '''핵작용소'''라고 불린다.<ref name="RS">{{서적 인용
|성=Reed | 이름=Michael C. |이름2=Barry |성2=Simon
|제목=Functional analysis
|총서=Methods of modern mathematical physics |권=1
|출판사=Academic Press
|날짜=1980
|isbn=0-12-585050-6
|zbl= 0459.46001
|언어=en
}}</ref>{{rp|207, §VI.6}} 만약 <math>p=2</math>일 경우, 2차 핵작용소는 '''힐베르트-슈미트 작용소'''라고 불린다.<ref name="RS"/>{{rp|210, §VI.6}}

<math>V</math>와 <math>W</math> 사이의 <math>p</math>차 핵작용소들의 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]]을
:<math>\mathfrak S_p(V,W)\subseteq\operatorname B(V,W)</math>
로 표기하자. 이는 [[유계 작용소]] 공간 <math>\operatorname B(V,W)</math>의 부분 공간이므로, 따라서 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]을 이룬다.

=== 바나흐 공간의 경우 ===
핵작용소의 정의는 <math>0<p\le1</math>의 경우 [[바나흐 공간]]으로 일반화될 수 있다.<ref>{{저널 인용|이름=Alexander|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|날짜=1955|제목=Produits tensoriels topologiques et espace nucléaires|저널=Memoirs of the American Mathematical Society|권=16|mr=75539|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Alexander|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|날짜=1956|제목=La theorie de Fredholm|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|권=84|쪽=319–384|mr=88665|언어=fr}}</ref> 그러나 <math>p>1</math>일 경우 이는 그렇지 않다.<ref name="HP">{{저널 인용|이름=Aicke|성=Hinrichs|이름2=Albrecht|성2=Pietsch|제목=''p''-nuclear operators in the sense of Grothendieck|doi=10.1002/mana.200910128|저널=Mathematische Nachrichten|날짜=2010-02|권=283|호=2|쪽=232–261|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|doi= 10.1007/BF01200378|제목=Grothendieck’s concept of a ''p''-nuclear operator|이름=Albrecht|성=Pietsch|날짜=1984-03|권=7|호=2|쪽=282–284|저널=Integral Equations and Operator Theory|언어=en}}</ref>

== 연산 ==
=== 대각합  ===
임의의 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>V</math>에 대하여, <math>\mathfrak S_1(V,V)</math> 위에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 '''[[대각합]]'''이라고 한다.
:<math>\operatorname{tr}\colon\mathfrak S_p(V,V)\to\mathbb K</math>
:<math>\operatorname{tr}\left(\sum_{0\le i<N}\langle e_i,-\rangle\alpha_{ij}e_j\right)=\sum_{i=0}^N\alpha_{ij}</math>
이는 사용되는 정규 직교 벡터열 <math>e_i</math>에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

이는 <math>\mathfrak S_1(V,V)</math> 위의 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]을 이룬다.

=== 샤텐 노름 ===
마찬가지로, <math>\mathfrak S_p(V,W)</math> 위에 다음과 같은 '''샤텐 <math>p</math>-노름'''({{llang|en|Schatten <math>p</math>-norm}})을 정의할 수 있다.
:<math>\|\|_p\colon\mathfrak S_p(V,W)\to\mathbb R_{\ge0}</math>
:<math>\|\|_p\colon T\mapsto\operatorname{tr}_V(T^*T)^{p/2}
=\operatorname{tr}_W(TT^*)^{p/2}
</math>
(<math>T^*</math>는 [[에르미트 수반]]이다. <math>1/q</math>거듭제곱을 취하는 것은 <math>T^*T</math>가 [[자기 수반 작용소]]이기 때문에 가능하며, 그 결과는 항상 <math>\mathfrak S_1</math>에 속한다.) (물론, <math>p<1</math>일 경우 샤텐 <math>p</math>-노름은 사실 [[노름]]이 아니다.) 이는 위와 동치로 <math>T</math>의 (대수적 중복수를 고려한) [[특잇값]] <math>(s_i)_{i=0}^N</math>들이 주어졌을 때
:<math>\|T\|=\sum_{0\le i<N}|s_i|^p</math>
로 정의될 수 있다.

위와 같은 <math>p</math>-노름을 부여하면, <math>\mathfrak S_p(V,W)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다.<ref name="HP"/>{{rp|232, §1}}

=== 힐베르트-슈미트 내적 ===
특히, <math>p=2</math>인 경우, <math>\mathfrak S_2(V,W)</math>는 [[힐베르트 공간]]을 이룬다. 구체적으로, 그 내적은 다음과 같다.
:<math>\langle S,T\rangle=\operatorname{tr}(S^*T)</math>
이 내적은 '''힐베르트-슈미트 내적'''(Hilbert-Schmidt內積, {{llang|en|Hilbert–Schmidt inner product}})이라고 한다.

이에 따라, 다음과 같은 <math>\mathbb K</math>-힐베르트 공간 사이의 동형([[유니터리 변환]])이 존재한다.
:<math>\mathfrak S_2(V,W)\to \bar V\hat\otimes_{\mathbb K}W</math>
:<math>\sum_{0\le i<N}\langle e_i,-\rangle\alpha_{ij}f_j\mapsto \sum_{0\le i<N}\alpha_{ij} \bar e_i\otimes_{\mathbb K} f_j</math>
여기서 <math>\hat\otimes_{\mathbb K}</math>는 (대수적) <math>\mathbb K</math>-[[텐서곱]]의 완비화 (=힐베르트 텐서곱)를 뜻한다.

임의의 <math>0<p<2</math>에 대하여, <math>\mathcal S_p(V,V)</math> 위에도 힐베르트-슈미트 내적을 부여할 수 있으나, 이 경우 일반적으로 이 [[내적 공간]]은 [[힐베르트 공간]]을 이루지 못하며, 내적에 대한 완비화는 <math>\mathfrak S_2(V,V)</math>이다.

== 성질 ==
=== 포함 관계 ===
정의에 따라, 임의의 <math>0<p\le p'<\infty</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\mathfrak S_p(V,W)\subseteq\mathfrak S_{p'}(V,W)</math>
또한, 만약 <math>V</math>와 <math>W</math>가 무한 차원이라면 이 포함 관계는 일치하지 않는다. (만약 <math>V</math>와 <math>W</math>가 유한 차원이라면 물론 항상 <math>\mathfrak S_p(V,W)=\operatorname B(V,W)</math>이다.)

특히, 두 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] 사이의 [[선형 변환]]에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[선형 변환]] ⊇ [[유계 작용소]] ⊇ [[콤팩트 작용소]] ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소

=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 <math>0<p<\infty</math>에 대하여, <Math>\mathfrak S_p(V,W)</math>는 <math>\mathbb K</math>-벡터 공간을 이룬다. 즉, 이들은 유한 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다. 또한, 임의의 <math>T\in\mathfrak S_p(V,W)</math>에 대하여, 그 [[에르미트 수반]] 역시 다음과 같은 핵작용소이다.
:<math>T^*\in\mathfrak S_p(W,V)</math>

만약 <math>V=W</math>일 경우, 임의의 <math>0<p<\infty</math>에 대하여, <math>\mathfrak S_p(V,V)\subseteq\operatorname B(V,V)</math>는 [[바나흐 대수]] <math>\operatorname B(V,V)</math>의 [[양쪽 아이디얼]]을 이룬다.<ref name="HP"/>{{rp|232, §1}}

다음과 같은 '''곱셈 정리'''(-定理, {{llang|en|multiplication theorem}})가 성립한다. 임의의
:<math>0<p,q<\infty</math>
에 대하여,
:<math>1/r=1/p+1/q</math>
를 정의하면, 임의의 세 <math>\mathbb K</math>-힐베르트 공간 <math>U,V,W</math>에 대하여 다음이 성립한다.<ref name="HP"/>{{rp|232, §1}}
:<math>\mathfrak S_q(V,W)\mathfrak S_p(U,V)\subseteq\mathfrak S_r(U,W)</math>
:<math>\|TS\|_rr\le \|T\|_q\|S\|_p\qquad\forall S\in \mathfrak S_p(U,V),\;T\in\mathfrak S_q(V,W)</math>

=== 위상수학적 성질 ===
힐베르트 공간 <math>V</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathfrak S_2(V,V)\subseteq\operatorname B(V,V)</math>는 ([[유계 작용소]]들의 [[바나흐 대수]] <math>\operatorname B(V,V)</math>에 [[작용소 노름]] 위상을 부여하였을 때) [[닫힌집합]]이다.
* <math>V</math>는 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]이다.

=== 고윳값과의 관계 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K</math>-힐베르트 공간 <math>V</math>
* 대각합류 작용소 <math>T\in\mathfrak S_1(V,V)</math>
* <math>T</math>의 [[고윳값]]들이 (대수적 중복수를 포함하여) <math>(\lambda_i)_{0\le i<\dim_{\mathbb K}\mathcal H}</math>라고 하자.
그렇다면, '''리츠키 정리'''(Лидский定理, {{llang|en|Lidskii’s theorem}})에 따르면 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{tr}T=\sum_{0\le i<\dim_{\mathbb K}\mathcal H}\lambda_i</math>

== 예 ==
힐베르트-슈미트 작용소의 대표적인 예는 '''힐베르트-슈미트 적분 작용소'''({{llang|en|Hilbert–Schmidt integral operator}})이다.

[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 함수
:<math>f\in\operatorname L^2(U\times U;\mathbb C)</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f</math>에 대응하는 힐베르트-슈미트 [[적분]] 작용소는 다음과 같다.
:<math>T\colon\operatorname L^2(U;\mathbb C)\to\operatorname L^2(U;\mathbb C)</math>
:<math>Tu(x)=\int_Uf(x,y)u(y)\,\mathrm dy</math>
이 경우, 그 힐베르트-슈미트 노름은 <math>f</math>의 [[르베그 공간|L<sup>2</sup> 노름]]과 같다.
:<math>\|T\|_2=\|f\|_{\operatorname L^2}</math>

== 역사 ==
힐베르트-슈미트 적분 작용소는 [[다비트 힐베르트]]<ref>{{저널 인용|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|제목=Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Erste Mitteilung)|저널=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematische-Physikalische Klasse|권=1904|날짜=1904-03-05|쪽=49–91|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002499967|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|제목=Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Zweite Mitteilung)|저널=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematische-Physikalische Klasse|권=1904|날짜=1904-06-25|쪽=213–260|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002500086|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|제목=Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Dritte Mitteilung)|저널=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematische-Physikalische Klasse|권=1905|날짜=1905-07-22|쪽=307–338|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002500515|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|제목=Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Vierte Mitteilung)|저널=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematische-Physikalische Klasse|권=1906|날짜=1906-03-03|쪽=157–228|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002500787|언어=de}}</ref>와 [[에르하르트 슈미트]]<ref>{{저널 인용|이름=Erhard|성=Schmidt|저자링크=에르하르트 슈미트|제목=Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener|저널=Mathematische Annalen|권=63|쪽=433–476|날짜=1907|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002261464|issn=0025-5831|언어=de|확인날짜=2017-01-15|보존url=https://web.archive.org/web/20161231170608/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002261464|보존날짜=2016-12-31|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Erhard|성=Schmidt|저자링크=에르하르트 슈미트|제목=Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Zweite Abhandlung. Auflösung der allgemeinen linearen Integralgleichung|저널=Mathematische Annalen|권=64|쪽=161–174|날짜=1907|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002261634|issn=0025-5831|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Erhard|성=Schmidt|저자링크=에르하르트 슈미트|제목=Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III Teil. Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer Lösungen|저널=Mathematische Annalen|권=65|쪽=370–399|날짜=1908|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00226207X|issn=0025-5831|언어=de}}</ref> 가 1900년대에 연구하였다. 이후 그 특성을 임의의 [[힐베르트 공간]]에 대하여 추상화하여 힐베르트-슈미트 작용소의 개념이 도입되었다.

[[힐베르트 공간]]에서, 임의의 <math>p</math>에 대한 <math>p</math>-핵작용소의 개념은 로베르트 샤텐({{llang|pl|Robert Schatten}}, 1911~1977)과 [[존 폰 노이만]]이 1948년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=R.|성=Schatten|이름2=J.|성2=von Neumann|저자링크2=존 폰 노이만|제목=The cross-space of linear transformations III|저널=Annals of of Mathematics|권=49|호=3|쪽=557–582|날짜=1948-07|jstor=1969045|doi=10.2307/1969045|언어=en}}</ref>{{rp|580}}

리츠키 정리는 우크라이나 태생의 수학자 빅토르 보리소비치 리츠키({{llang|ru|Ви́ктор Бори́сович Ли́дский}}, {{llang|uk|Ві́ктор Бори́сович Лі́дський|빅토르 보리소비치 리지키}}, 1924~2008)가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Nuclear operator}}
* {{eom|title=Hilbert-Schmidt operator}}
* {{eom|title=Hilbert-Schmidt norm}}
* {{eom|title=Hilbert-Schmidt integral operator}}
* {{매스월드|id=Trace-ClassOperator|title=Trace-class operator}}
* {{매스월드|id=Hilbert-SchmidtOperator|title=Hilbert-Schmidt operator}}
* {{매스월드|id=Hilbert-SchmidtNorm|title=Hilbert-Schmidt norm}}
* {{nlab|id=trace-class operator|title=Trace-class operator}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/76386/trab-trba|제목=tr(ab)=tr(ba)?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:연산자 이론]]
[[분류:함수해석학]]