행사다리꼴행렬 문서 원본 보기

'''행사다리꼴행렬'''(Row Echelon Form matrix, 약자 REF)이라고도 불리는 사다리꼴행렬(echelon form matrix)은 [[가우스 소거법]] 및 [[가우스 조단 소거법]] 알고리즘을 통해서 알 수 있듯이, 모든 성립하는 연립 n차 방정식 으로부터 [[첨가 행렬]]의 과정을 거쳐 해를 갖는 행사다리꼴행렬(REF) 또는 기약행 사다리꼴행렬(Reduced Row Echelon Form, 약자 RREF)로 변환할 수 있다.<ref>{{웹 인용 |url=http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?nav=1&m_temp1=4359&id=698 |제목=보관된 사본 |확인날짜=2017-05-31 |보존url=https://web.archive.org/web/20150316021541/http://ktword.co.kr/abbr_view.php?nav=1&id=698&m_temp1=4359 |보존날짜=2015-03-16 |url-status=dead }}</ref>

이것은, [[선형 대수학]]에서 [[행렬]]이 가우스 소거법으로 인해 사다리꼴(에쉴론, echelon) 형태의 모양을 갖는다는 것을 의미한다.

사다리꼴 행렬(Echelon form matrix)은 가우스 소거법이 행과 열에 대해 작동한다는 것을 의미한다. 바꾸어 말하면 행렬이 행의 형태로 다루어지는 경우 행 사다리꼴 형태의 행렬 모양을 갖게 됨으로써 이처럼 일반적으로 행에 대한 사다리꼴 행렬이 고려되지만 여전히 사다리꼴 행렬(column echelon form matrix)의 동등한 성질은 행사다리꼴형식의 모든 성질을 전치시킴으로써 얻어낼 수도 있다.<ref>https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%EB%B3%B8%ED%96%89%EB%A0%AC</ref>

또한, 연립방정식의 풀이가 행렬식의 과정을 통해서 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬에 대한 풀이로 귀결될 수 있다면 [[데카르트]] [[좌표평면]]상의 경우를 포함해서 수식에 의한 ([[대수적 수|대수적]]) 연립방정식보다 상대적으로 쉽고 빠른 결과에 대한 정보를 얻을 수 있게되는데,
이러한 사다리꼴행렬 변환처리는 오늘날 컴퓨터에 의한 그래픽처리 등에 있어서 [[윌리엄 로언 해밀턴|헤밀턴]]의 [[사원수]]와 함께 주요한 이슈이다.<ref>https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3571563&cid=58944&categoryId=58970</ref>

사다리꼴행렬은 [[삼각행렬]]의 특수한 경우이다.

== 조건 ==
행렬, 특히 행사다리꼴행렬(REF)에서, 다음과 같은 조건이 나타난다.
* 모든 <math>0</math>이 아닌 행(적어도 하나의 <math>0</math>이 아닌 요소가 있는 행)은 모두<math>0</math>인 행 위에 있는다. (따라서, 모두<math>0</math>인 행이 있는 경우 그 행은 모두 행렬의 맨 아래에 있게 된다)
* 모든 <math>0</math>이 아닌 행의 [[계수#선형 대수학|선행 계수]](즉, 최고차 계수)는 항상 그 위 행의 선행 계수의 오른쪽에 있다. (일부 문헌에서는 선행 계수를 <math>1</math>로 표기하기도 한다<ref>See, for instance, {{harvtxt|Leon|2009|p=13}}</ref> )

이 두 조건은 선행 계수 아래의 열에 있는 모든 항이 <math>0</math>임을 의미한다.<ref>{{harvnb|Meyer|2000|p=44}}</ref>

* 다음은  <math>3 \times 5 </math>행렬의 예이다.
:<math>
\left[ \begin{array}{ccccc}
1 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\
0 & 0 & 2 & a_4 & a_5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & a_6
\end{array} \right]
</math>

* 기약행 사다리꼴 행렬(RREF)의 조건
행사다리꼴행렬(REF)의 두 조건을 모두 만족하고 다음의 조건을 만족할 때 '기약행 사다리꼴행렬' 이라고 한다.<ref>[[가우스 소거법#행사다리꼴행렬|행사다리꼴행렬 정의]]</ref>

<math>{\color{black}{\rightarrow}}</math> [[계수#선형 대수학|선행 계수]] <math>1</math>이 존재하는 열에서 그 선행 계수 <math>1</math> 이외의 열의 배열원소가 모두 <math>0</math>인 경우이다.

이러한 행렬식의 과정에서, 행렬의 많은 속성은 행 및 [[커널|커널(Kernel)]]과 같은 행 단위 형식으로부터 추론할 수 있다.

== 사다리꼴행렬의 형태의 행렬 예 ==
* 행사다리꼴행렬
: <math>
\left[ \begin{array}{ccccc}
x & x & x & x  \\
0 & x & x & x  \\
0 & 0 & x & x
\end{array} \right]
</math>
: <math>
\left[ \begin{array}{ccccc}
x & x & x & x & x \\
0 & 0 & x & x & x \\
0 & 0 & 0 & x & x
\end{array} \right]
</math>
: <math>
\left[ \begin{array}{ccccc}
x & x & x & x & x & x \\
0 & 0 & x & x & x & x \\
0 & 0 & 0 & 0 & x & x
\end{array} \right]
</math>
: <math>
\left[ \begin{array}{ccccc}
0 & 0  \\
0 & 0
\end{array} \right]
</math>

<math>
\left[ \begin{array}{ccccc}
x & x & 0 & x & 0 & x \\
0 & 0 & 1 & x & 0 & x \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & x
\end{array} \right]
</math>

* 기약행사다리꼴행렬
:
: <math>
\left[ \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0   \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
</math>

== 행 사다리꼴행렬변환 ==
n차 연립방정식의 일반행렬 유도 과정 기술하는 방식은 다음과 같다.
:<math>M = \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   4 & -6 & 0 & -2  \\
   -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} </math>
*  첫째, 열을 사다리꼴로 변형시키기 위해 첫째 행을 이용하여 나머지 행들을 변형시킨다.
:<math>M = \begin{pmatrix}
  {\color{blue}{2}}  &  {\color{blue}{1}}& {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{5}} \\
   4-({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{2}}) & -6-({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{1}}) & 0 -({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{1}}) & -2-({\color{red}{2}}\times {\color{blue}{5}} ) \\
   -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} </math>
:<math>M = \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   0 & -8 & -2 & -12  \\
   -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} </math>
:<math>M = \begin{pmatrix}
   {\color{blue}{2}}  &  {\color{blue}{1}}& {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{5}} \\
  0 & -8 & -2 & -12  \\
   -2-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{2}}) & 7-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{1}})   & 2-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{1}}) & 9-({\color{red}{-1}}\times {\color{blue}{5}} )

\end{pmatrix} </math>
:<math>M = \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   0 & -8 & -2 & -12  \\
   0 & 8 & 3 & 14
\end{pmatrix} </math>

* 둘째, 열을 사다리꼴로 변형하기 위해 둘째 행을 이용하여 마지막 행을 변형시킨다.
:<math>M = \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   {\color{blue}{0}}  &  {\color{blue}{-8}}& {\color{blue}{-2}} & {\color{blue}{-12}} \\
   0 -({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{0}})& 8-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-8}}) & 3-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-2}}) & 14-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-12}})
\end{pmatrix} </math>
:<math>M = \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   0 & -8 & -2 & -12  \\
   0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix} </math>
이렇게 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.

 
다음처럼 사다리꼴행렬을 얻을 수도 있다.
:<math> \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   4 & -6 & 0 & -2  \\
   -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} </math>
* 먼저, 열을 사다리꼴로 만들기 위해 첫째 행을 이용하여 나머지 행들을 변형시킨다.

:<math> \begin{pmatrix}
  {\color{blue}{2}}  &  {\color{blue}{1}}& {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{5}} \\
   4+({\color{red}{-2}}\times{\color{blue}{2}}) & -6+({\color{red}{-2}}\times{\color{blue}{1}}) & 0 +({\color{red}{-2}}\times{\color{blue}{1}}) & -2+({\color{red}{-2}}\times {\color{blue}{5}} ) \\
   -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} </math>
:<math> \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   0 & -8 & -2 & -12  \\
   -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} </math>
:<math> \begin{pmatrix}
   {\color{blue}{2}}  &  {\color{blue}{1}}& {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{5}} \\
  0 & -8 & -2 & -12  \\
   -2+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{2}}) & 7+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{1}})   & 2+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{1}}) & 9+({\color{red}{1}}\times {\color{blue}{5}} )

\end{pmatrix} </math>
:<math> \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   0 & -8 & -2 & -12  \\
   0 & 8 & 3 & 14
\end{pmatrix} </math>
* 둘째 열을 사다리꼴로 만들기 위해 둘째 행을 이용하여 마지막 행을 변형시킨다. 

:<math> \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   {\color{blue}{0}}  &  {\color{blue}{-8}}& {\color{blue}{-2}} & {\color{blue}{-12}} \\
   0 +({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{0}})& 8+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{-8}}) & 3+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{-2}}) & 14+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{-12}})
\end{pmatrix} </math>
:<math> \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   0 & -8 & -2 & -12  \\
   0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix} </math>
이렇게도 같은 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8 |쪽=102-103}}</ref>
이렇게 <math>M</math>에 대한 사다리꼴행렬을 얻을 수도 있고, 행렬식의 성질을 이용해 다른 계산 과정으로도 <math>M</math>의 다른 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.
:<math>M = \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 1 & 5  \\
   4 & -6 & 0 & -2  \\
   -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} </math>
이 과정에서 [[소행렬식]]의 4차방정식 판별식유도과정에서의 행 사다리꼴 출현한다.

== 사다리꼴행렬의 성질 ==
[[가우스 소거법]]을 사용해서,
다음과 같은 행렬 <math>M</math>의 단위행렬 <math>I</math>을 [[첨가 행렬]]로 계산하면,
역행렬 <math>M^{-1}</math>를 얻을 수 있다.
:<math>M = \begin{pmatrix}
   -1 & 1 & 2  \\
   3 & -1 & 1  \\
   -1 & 3 & 4
\end{pmatrix} </math>
[[기본행렬#기본행연산|기본행연산]]을 가하면, 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
  \begin{pmatrix}
   \ M &\vert& I
\end{pmatrix}  &\to \left( \left. \begin{matrix}
   -1 & 1 & 2  \\
   3 & -1 & 1  \\
   -1 & 3 & 4  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left(\left. \begin{matrix}
   -1 & 1 & 2  \\
   0 & 2 & 7  \\
   0 & 2 & 2  \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   3 & 1 & 0  \\
   -1 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left(\left. \begin{matrix}
   -1 & 1 & 2  \\
   0 & 2 & 7  \\
   0 & 0 & -5  \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   3 & 1 & 0  \\
   -4 & -1 & 1  \\
\end{matrix}\right)\\
&\to\left( \left. \begin{matrix}
   1 & -1 & -2  \\
   0 & 1 & 3.5  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
   -1 & 0 & 0  \\
   1.5 & 0.5 & 0  \\
   0.8 & 0.2 & -0.2  \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left( \left. \begin{matrix}
   1 & -1 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   0.6 & 0.4 & -0.4  \\
   -1.3 & -0.2 & 0.7  \\
   0.8 & 0.2 & -0.2  \\
\end{matrix} \right) \\
 & \to \left( \left. \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   -0.7 & 0.2 & 0.3  \\
   -1.3 & -0.2 & 0.7  \\
   0.8 & 0.2 & -0.2  \\
\end{matrix} \right)
\end{align}</math>
따라서 <math>M^{-1}</math>은 다음과 같다.
:<math>M^{-1}=\begin{pmatrix}
   -0.7 & 0.2 & 0.3  \\
   -1.3 & -0.2 & 0.7  \\
   0.8 & 0.2 & -0.2
\end{pmatrix}</math>

== 증명 ==
* 위에서처럼 사용한 [[라플라스 전개]]는 행뿐만 아니라  열로도 가능하므로, 따라서 열 사다리골 행렬변환도 가능하다.


== 역사 ==
16세기와 17세기 이후 들어 [[가우스]]가 제안한 연립방정식 행렬의 [[삼각행렬]]로의 변형을 위한 행사다리꼴행렬인 [[가우스 소거법]]에 대하여 1888년 [[빌헬름 요르단|조르단]]은 좀더 강한 변형법으로 [[가우스-조르단 소거법]]인 [[기약행사다리꼴행렬]]을 제안한 것으로 잘 알려져있지만 프랑스의 동시대의 클라센(Clasen) 역시 같은 해에 발표한 이와 관련한 자료를 그의 논문에서 볼 수 있다. 조르단과는 독립적으로 기약행사다리꼴행렬을 연구하여 발표한 것으로 여겨진다.<ref>{{인용| last1=Althoen | first1=Steven C. | last2=McLaughlin | first2=Renate | title=Gauss–Jordan reduction: a brief history | doi=10.2307/2322413 | year=1987 | journal=The American Mathematical Monthly | issn=0002-9890 | volume=94 | issue=2 | pages=130–142 | jstor=2322413 | publisher=Mathematical Association of America}}</ref><ref>CLASEN Bernard – Isidore, 1888, « Sur une nouvelle méthode de résolution des équations linéaires et sur l’application de cette méthode au calcul des déterminants », Annales de la Société scientifique de Bruxelles (2), 12, 251 – 281.(http://gfol1.lareq.com/download/The%CC%81ore%CC%80me_de_De%CC%81composition_de_Cholesky_ws1022334435.pdf{{깨진 링크|url=http://gfol1.lareq.com/download/The%CC%81ore%CC%80me_de_De%CC%81composition_de_Cholesky_ws1022334435.pdf }})</ref>

이러한 [[행렬식]](determinant)들은 행과 열 및 커널(Kernel)과 같은 행열단위 형식인 배열원소들을 통해서 [[행렬]](matrix)의 많은 속성을 보여줌으로써 순수한 행렬 개념을 얻게 되는데 많은 기여를 하였다.<ref>[[행렬식#역사|행력식의 역사]]</ref>

== 같이 보기 ==
* [[크래머 공식]]
* [[벡터 공간]]
* [[LU 분해]]
* [[QR 분해]]
* [[밴드 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:행렬]]
[[분류:수치선형대수학]]